В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 108
Текст из файла (страница 108)
и1. Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграмму (110.16) процесса взаимодействия электрона с внешним полем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния Л471 = — еу~,А~;) Я, (116. 7) где Ад эффективное (с учетом поляризации вакуума) внеш- 1«) псе поле. Амплитуда (116.7) описывает два канала реакции. В канале рассеяния инвариантная перелленная г = А' = (рг — р1) < О. Заменив же рг -+ р ., р1 — ~ — рт, мы перейдем к аннигиляционному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами р . и рт. В этом канале 1= (р +р«) > 4т .
Область же значений О < 1 < 4тг нсфизическая. ) Во избежание недоразумений напомним: в определении (11б.б) предполагается, что й — 4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для выходящей линии знак второго члена был бы обратным. 572 Гл. хп Рлдилционные !1Опглвк!л Обратимся к условию унитарности (111.12). В канале рассеяния (! < О) нет в данном случае физических промежуточных состояний; один свободный электрон не может изменить свой импульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно, и в нефизической области. Поэтому при 1 < 4тз правая сторона в равенстве (111.12) отсутствует, так что матрица Т~! (или, что то же! Му!) эрмитова: Перестановка начального и конечного состояшлй означает перестановку рз и рл, а тем самым замену к — л — к.
Представив М7, в виде (116.7), имеем поэтому у,",А~,'~(й) = у,", А~'р(-й). Но А!е!( — к) = А!е! (к), так что отсюда следует, что матрица токов перехода тоже эрмитова: лл! = 1,*л пРи 1 < 4п! . (116. 8) Используя свойства матриц з (21.7) ! легко проверить, что (итйли!) = (и!вниз)', (изои и!) = — (или!' из)*.
Поэтому 1,*.~ отличается от лй лишь заменой функций 7'(!) и 8(1) комплексно-сопряженными. Из равенства (116.8) следует тогда, что эти функции вещественны. Таким образом, 1пл~(1) = 1лпн(8) = 0, 1 < 4п-!!. В аннигиляционном же канале (~ > 4т~) состояние 7' пара, которая может превратиться в пару же с другими импульсами (упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему. Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля, матрица М7! (а с нею и 17!) не эрмитова, а потому формфакторы комплексны. Аналитические свойства функций 1(г) и 8(г) вполне аналогичны рассмотренным в ~ 111 свойствам функции РЯ (хотя это и затруднительно доказать столь же прямым способом).
Эти функции аналитичны в комплексной плоскости 1, разрезанной вдоль положительной вещественной оси 1 > 4пл~,причем .ГИ) = П~'), 8*(1) = 8(~'). Условие перепормировки (110.19), примененное к вершинному оператору (116.6), приводит к требованию (116. 10) 7'(О) = 1. 573 6 116 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА (116.12) БМ7, = — 'И( — и )(й2Хи1)7(1«Ак~), 27~ где Е ь1атрица (21.2Ц. Произведение л(1ЕАк) заменяем напря- женностью магнитного поля Нь, после чего можно перейти к пределу 1с — » О. Наконец, введя нерелятивистские спинорные ам- плитуды ю17 юя, согласно (23.12), и1 = л72тт( О ), иа = ъ'2тт(ю2 0)7 находим окончательно 6М7; = — а(0)Н1«2гп(юзсгю1). 2П7 (116.14) Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычислении функции 1(1) по ее мнимой части), надо применить диспсрсионное соотношение вида (111.8) не к самой функции 1'(2), а к (7" — 1)776 Тогда получим дисперсионнос соотношение «с одним вычитанием»: 1 (1) 1 = — 722'.
(116. 11) 47П» Для формфактора же 8(г) никакие значения физическими требованиями заранее не предписываются. Поэтому для него дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»: 1 / 17ПЕ(1 ) 77 7' и 1 70 47П» Значение 8(0) имеет важный физический смышк оно дает поправку к магнитному момеяту электрона. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в постоя~лом, медленно меняющемся в пространстве магнитном поле.
Член в амплитуде рассеяния (116.7), связанный с формфактором 8(й ), имеет вид ОМ74 = — 8(й2)(и26777»и1)14 А~~~(й). (116.13) 27П Для чисто магнитного поля АОО" = (О, А); постоянство поля во времени означает, что 4-вектор И = (07 1с), а медленному изменению поля в пространстве отвечают малые 1с (имея в виду дальнейший переход к пределу 11 — » О, сразу пишем в (116.13) А1«) вместо эффективного А7«7). Раскрыв выражение (116.13) и выразив его через трехмерные величины, получим 574 РАДИАЦИОННЫВ ПОНРАВКИ Гл. хп Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоянном электрическом поле со скалярным потенциалом Фи1 Му, = — етигз~ттт)ФИ вЂ” — еФК 2ттт(тттзнтт).
Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать дополнительную потенциальную энергию — — 'д'(0) тгНИ. 2ти Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным моментом (116.15) (обычттые единицы) в дополнение к «нормальному» дираконскому магнитному моменту ей/(2тпс). й 117. Вычисление формфакторов электрона Обратиълся к фактическому вычислению формфакторов электрона (Х БГ7ттлтпдег, 1949). В нулевом приближении теории возмущений вершинный оператор Г" = .у", т. е. электронные формфакторы д = О. Первая радиационная поправка к формфакторам определяется вершинной диаграммой (117.1) (с двумя реальными электронными концами и одним виртуальным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых частей формфакторов.
Как было показано в предыдущем параграфе, они отличны от нуля лишь в аннигттляционном канале (й~ > 4пт2); в соответствии с этим 4-импульсы электронных копцов в диаграмме (117.1) отвечают рождающимся электрону и 575 1 117 ВЫЧИОЧЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА позитрону и обозначены через р и — р4.. Аналитическое выра- жение диаграммы (117.Ц: — геБ(р )Вин( — р, ) = 44 =( — ге)~и(р Ц"1' С(р)71'С(р — И)7~12АРЦ) Р,и( — рт), (117.2) или, в раскрытом виде, "ргг(ь2) — 1 (р2)арРЕ, = ( ю (Р)4 Р, (117.3) 2т / (рг Рлг)((рг 1г) глг) ' где обозначено 27'(тр Ф т)7Р(7р — 774 4- т) 7, 4»4(р -р)г н для краткости опущены множители и(р ) ... и( — рт); везде ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих 4обкладкахм Проведенный на диаграмме (117.1) горизонтальный пунктир рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать проме- жуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении мнимой части формфактора по условию унитарности; это есть состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличны- ми от р, рт.
Это же рассечение показывает, где в интеграле (117.2) должна быть произведена замена полюсных множителей, если производить вычисление по правилу (115.9) (в (117.3) эти множители выделены в подынтегральном выражении). Интеграл в (117.3) --того же вида, что и в (115.2).
Поэтому мы можем сразу написать результат преобразования в форме (115.10), минуя промежуточные этапы: 27Р1пт7(8) — — 47" й 1пге(1) = — — 1у1 / уРР(р)47ор, 2га 2 (117.5) где 1 = Й, интегрирование производится по направлению векто- ра р, а 4-векторы р' = р и р', = Й вЂ” р в определении функции 1ри(р) (см. (117.4)) становятся 4-импульсами реальных (а не вир- туальных) частиц. Выражение (117. 5) относится к системе отсче- та, в которой к = 0; это система центра инерции рождающейся пары р, рт (а тем самым- — и «промежуточнойр пары р', рь). В этой системе, следовательно, (ко,0), р- (,Р— ) р+ (, Р-), р (,Р), и легко проверить, что (~ = (р — р ) = — 2рз(1 — сов В) = — (1 — сов 0), (117.б) 2 гл.
хн 576 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ где 0- угол между р и р (причем р = р ). Подставив теперь 2 2 (117.4) в (117.5) и исключив в подынтегральном выражении матрицы 7Р ... у с помощью формул (22.6), получим ли 1шЯ) — — о""Л',1п18(1) = 2т — !')1» -) )1")гг — 11-'; )1 = ! — ! )) 2! — !) I ~ ( — 2т27и + 4т(РН + 2)л') + — .,)! — Ы--„' ы)1 .!)- + 2(ур« — уУ) уи(.ур + у|)), (117 7) После этого — Π— 4пй) | )1(г'г) 1 — 4т = 1п уг — Лг Лг о (117.11) где введены 4-векторы Х = р — р = (О, Г), Р = р — р~.
— — (О, 2р ). (117.8) Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов гси ггл ) / (1, г«Р, гг»7 ) д~~ (117.9) ,) 1 — сог д 2)с с каждым из трех перечисленных числителей. Интегра,л 1 логарифмически расходится при  — » О. Переписывая его как г — 4!Вг — (1 — 4т ) )4(Г') Г '1(уг) Рг )) уг О О мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» виртуального фотона. Таким образом, это - «инфракрасная» расходимость. Мы отложим ее подробное рассмотрение до 5 122.
Здесь отметим только, что она фиктивна в том смысле, что при правильном учете всех физических эффектов подобные расходимости взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем произвольным обр)слом «обрезать» интеграл снизу, а в дальнейшем, при расчете реальных физических явлений, устремить предел обрезания к нулю. Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фотону | малую, но конечную массу Л (Л « т), т. е. заменим в фотонном пропагаторе Т)(72) в (117.2) »2» 2»2 )2 (117.10) 577 1 117 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА Интеграл 1", в котором 2")Р . - прострапственноподобный 4-вектор, должен выражаться через 4-вектор Р" (из двух имеющихся в пашем распоряжении 4-векторов Ри и /о" пространственноподобен прн произвольных рР, р только Р").
Поэтому ум = АР". Умножив это равенство на Рн и вычислив интеграл Риуц в системе центра инерции пары (компоненты 4-векторов у и Р из (117.8)), найдем 1 1 2ра У 1 — сои 8 2 / Таким образом, ТИ 1ОР (117.12) Аналогичным образом вычисляется интеграл 1)рм 1Р2~ )ш Р Р ) + 1р))рм (117.13) (для определения коэффициентов в этом выражении достаточно вычислить интегралы ф и Р"Р„Р,). Дальнейшее вычисление происходит следующим образок). Подставив (117.11) — (117.13) в (117.7), мы получим между сробкладкамиа и(р ) ... и( — рч.) сумму ряда членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
