В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 111
Текст из файла (страница 111)
В 8 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона Л. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в ~ 98 формулы так, 588 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ чтобы они описываци излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой. С формальной точки зрения такой фотон относится к авек- торным» частицам со олином 1, свободное поле которых рассматривалось в 8 14. Оно описывается 4-векторным ц'-оператором »12ы иа (120.1) (здесь изтлепепы обозначения и нормировка по сравнению с (14.16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем). Взаимодействие «фотонов» (120.1) с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов: — е1ИЦ1, (120.2) (с заменой операторов потенциала А„на фи).
Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием,что 1Е2 12 (120.3) Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц (120.4) (ср.
(14.15)) с последующим умножением на 3. Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой (ср. (76.18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов: 4К ПИР ., 8ИР (120.5) (которым мы и пользовались в 8 117, 119). Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в 8 98 смысле) фотонов. 1 420 ИСПУСКЛНИВ МНГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ Л1АССОИ 589 Произведенный в 2 98 вывод формул (98.6),(98.6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р~ к) в знаменателях электронных пропагаторов прибавляется член )с2 = Л2.
В результате вместо (98.6) получим 1р')4) + лг/2 (рй) — лг)2 4ягьг где 4145 „р сечение того же процесса без излучения мягкого фо- тона (который называем условно «упругим» процессом). В даль- нейшем при интегрированиях по г)згг будут существенны значе- ния (1с) Л. При этом р )с р)с » Л, так что членами Л2 в зна- менателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120.4). После сделанного пренебрежения второй член в (120.4) нс даст вклада в сечение, и остается ') ! Л1Р: ~~)~ 4ягы Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98.7), в которой, однако4 надо понимать теперь щ как ю= Л(Ы+Л2.
(120.7) Формула (120.6) имеет совершенно общий характер. Она при- менима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего инте- грирования по 41' Й зависит от 4-векторов р и р', иными словами, от характера основного процесса рассеяния.
Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда !р(=)р), с=е, и определим полную вероятность испускания фотонов с часто- тОй, МЕНЬШЕЙ ПЕКОтОРОГО Огпгах; ПРИ ЭТОМ ПРЕДПОЛаГаЕтСЯ, ЧтО (120.8) а сверху значение ог„, „ограничено условиями применимости тео- рии излучения мягких фотонов (98.9),.(98.10). Вычислим прежде всего интеграл гю 44~к в нерелятивистском пределе. При ~р~ = ~р ~ <( гп имеем ( — '- — )'= Р Р 1 '5Ч)с) Ч (Р'Ц (РЙ) г' гиг»54 пгг»гг 1 ) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости пренебрежения Лг до усреднения ввиду наличия Лг в знаменателе второго члена в В20.4). Однако легко непосредственно убедиться в том, что этот член при 4 — г усреднении дает вклад Л Л которым можно пренебречь. гл.
хп 590 РАДИАЦИОННЫЕ 11О11РАВКИ 171 = р — р). Интегрирование этого выражения по направлениям 1с дает 4ЕЧТ ( 177 ( — - 1'). пггмг 13огг После этого имеем из 1120.6) ппго,/ ~ 31177 -~- ЛТ) ~ (1сг 4- Ло) х' о или, произведя интегрирование в предположении ю„, /Л» 1, Йт — Йтуггр ' (!и ), с1 « Тп . (120.9) В общем релятивистском случае для вычисления интеграла, воспользуемся формулой 1131.4). С се помощью имеем для интеграла по углам 1 х 71ое ЬЮОУЮ ! .I 1Жх -Р ФвН1 — х)Р ' о г г lг ИЛИ, РаСКРЫВ СКаЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ С Р = '1Е, Р)г Р = 1Е, Р ), 1 о с)огс 71х l 17 — 14 *+ р'11 — х)))о о Интеграл дои легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль вектора рх + р'11 — х), после чего 1 1 т О 7 т 4 4пс1х Геог)о — 1рх -г р'11 — х))71сг,/ [то+ Чгх(1 — х)1с~ Е В~Л' о о Два других интеграла 1с (рА) и 1р'Й) в знаменателях) получаются отсюда при с) = О.
Заметив также, что рр' = е' — рр' = т + с)~772, ПОЛ)г СИЕТ вЂ” 1 т' 4- 977'2 Йт = — дх гг ./ ъ%'+ Л' (~т' -Р цгх(1 — х)1ст 4- етЛТ о о — 1сЬуор. ~120.10) Гт71,7+ЕТЛ74 1 Р. ИСПУСКЛНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ О НЕНУЛЕВОЙ Л!ЛССОИ 591 1 12о Интегрирование по Щ сводится к вычислению интегралов вида ы м Г й'4Ц 1 Г Щ Л' Ё 8~И (а1се+Ле)~/Не+ Л! а / ~/из+Ля а / (а$сз+Лв)у!не+Ля О О О . ) (а,~, 1),~;е-~ — 1 о Во втором интеграле подставлено (Ц -э Лх и верхний предел (са ах/Л) заменен на Ос, что ДопУстимо ввиДУ схоДимости интеграла. Возникающие затем интегралы по х в (120.10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде ГЬ Гх[Р( ) 1п +Г11с(о р (120.11) где ') 1® 2[ 2с~т1 1 (с г~2 ) 2е е+ ~р~ 2т' Э- Чв 1 с1х 1+ з/Т вЂ” а я!!р~ ги кез / а~/Т вЂ” а уса о а = —,[гп + с1 х(1 — х)).
(120.12) (120.13) Найдем асимптотическое выражение для сечения в улырарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только е » т! но и ~с1~ >> т! т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле (120.13) существенна область значений х, в которой а « 1; после соответствующих пренебрежений с1 1па ( 1 1 1п(Ч !се )+1пх+1п(1 — х) ( х. 2сгее а 2к / х(1 — х) ') Функция Е(5) уже встречалась в задачах к 8 98.
Это неудивительно, так как с логарифмической точностью (120.11) можно получить, интегрируя сечение испускания фотонов нулевой массы (98.8) по са в пределах от Л до ы, . Если ввести вместо 5 переменную е согласно 5 = в1с(0/2), то Е(В) = — (Оссйо — 1). 2 (120.12а) 592 РАДИАЦИОННЫВ ИОИРАВКИ 1Л. ХП Окончательно 2 2 21 сЬ = — [1п — 1п — ' — 1и — 1п — + — 1п — ~ 11лтир, г1 >> т . 2о~ Ч ы, г Ч 1 2Ч~ 2 2 тг А т и12 4 т21 (120.14) й 121.
Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами тг=Р' — у ! Р, (В=у — Р ! I'» (121.1) Р Р М(~ и" Первой из них отвечает амплитуда МП) яе21 рассмотренная в 9 80. Амплитуда же второго приближения М12) (Лез)2. Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются диаграммами (121.2) Р а Р Р б м~гг Интеграл надо обрезать при а т2ггег, т. е. при л т~ггг1~ снизу и при 1 — х 212~/г1~ сверху. Тогда Г2 — — [2 1п —, 1и — — 1п — ~ = — [1п — — 4 1п — 1и — ~ .
ч'1 222 ег шг пгг 911 тг Л1 Нгг" Эта формула справедлива с точностью до квадратов логарифмов, как говорят, с двизкды логиридгмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в (120.11) Р® — — 1пг, ~ >> 1. 1 нн РАссеяние ВО ВтОРОм ВОРнОВскОм НР)иБлижении 593 При этом ЛХ(е) юе ег, и если У 1, то М)з) М)2). Согласно (64.26) сечение рассеяния ~М)П + М)е) + М)е))2 о (121 8) В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохра- )Н 2 нить, наряду с )МХ,.~)2, также и интерференционные члены меж- ну ЛХХ, и МХ, и между МХ,.
и МХ, . Таким образом, с точностью ))) )2) ))) )8) до членов е сечение представится суммой ,1П,1, (0 + Я, (г) +,Х, (121.4) где до:П) - сечение в первом борновском приближении (см. 8 80), а поправки к нему 1 00 2р М)ПМ)г)* ))о' Х$ Х~ 18 з ~ (121. 5) П) (3)* е)о сЬрад = 2 Йх., МХ МХ 11апоыниы (см. () 80), что ЛХХ,. — — ~ е (Б' уеи) Ф(с1), (121. 6) где Ф(с1) -- компонента Фурье скалярного потенциала постоянного внешнего поля (Ф = Ае' ) и учтено, что заряд электрона (е) е = — )е). Два выражения (121.5) могут, очевидно, вычисляться независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе в шгедующем параграфе.
Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме (121.1), дается интегралоги ') 4зХ мь" = — ') ( )е')е',~)+, е' )е))е)Р' — ~)ел — Р) —,',; (121. 7) «4-импульсы» внешнего постоянного поля д1 = Х вЂ” р и чг = р — Х ) не имеют временных компонент. Поэтому Хо = е = е, (121. 8) где е и е —. начальная и конечная энергии электрона, совпадаю- щие друг с другом при упругом рассеянии.
) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техники, относящимся к постоянному внешнему полю, — см. сформулированное в 8 77 правило 8. 594 Гл. хп РЛДИЛЦИОННМЬ ПОПРАВКИ )'(О) ехр ( — 2 — 1п !р/г) . Ф Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходягпияся (при г — > оо) член. При разложении амплитуды рассеяшгя по степеням Яа этот член приведет к расходимости всех членов разложения, начиная со второго (так как сама функция 7(2)) пропорциональна Уо). Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер. Эти рассуждения показывают в то же время, что расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведония вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоповом поле, т, е, положить Ф(9) = (121.9) Ч2 .~ 22 с малой копстантой экранирования б (д « ~р~).
Тем самым устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить д = О. Подставив (121.9) в (121.7), получим где введены обозначения: 2 )Зу ,71 ((р 1)2 + 62)((2 р)2+ д2)(р2 12 + 20) 2 Р+Р' 7 ((Р' — 2)2-Р 42)((à — Р)2-> б2)(Р2 — 12-Р 20) 2 (121.10) Здесь р = е~ — шз = р и интеграл д симметричен по отпоше- 2 1Я нию к р и р', из соображений векторной симметрии очевидно, В чисто кулоцовом поле неподвижного заряда Я~с~: Ф( ) 42ГЯ~В~ ч' Для такого потенциала интеграл (121.7) логарифмичсски расходится (при 1 р и 4 р ). Эта расходимость специфична для кулонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
