В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Я. Поллеранчук, 1952). В произведенном в предыдущем параграфе расчете сдвига уровней обычного атома был учтен, в частности, эффект поляризации электронного вакуума (электронная петля в диаграмме (121.2,а)). Если, аналогичным образом, для мезоатома учитывать эффект поляризации мюонного вакуума, то весь расчет полностью переносится и па этот случай, с заменой лишь везде массы электрона т = т, массой мюона тгР Поскольку относглтельный сдвиг уровней оказался не зависящим от массы электрона (см. (123.19)), для мезоводорода получился бы тот же самый результат. Легко видеть, однако, что значительно больший вклад в сдвиг уровней мезоатома внесет эффект поляризации электронного вакуума.
Действительно, замена мюонной петли в диаграмме электронной означает замену мюонного поляризационного оператора электронным. Но поляризационный оператор 'Р(92) обратно пропорционален квадрату массы частицы (при нерелятивистских значениях !) ). Ясно поэтому, что указанная замена приведет к 2 увеличению эффекта в (ти/т,) раз.
именно этим вкладом и 611 Радиационное смещкниь' уговнвй мвзоатомОВ 124 определится порядок вели плны сдвига уровней, который будет т. е. на четыре порядка больше, чем у обычного водорода ') . Более наглядно происхождение этого эффекта можно понять, вспомнив, что искажение кулонова потенциала поляризацией электронного вакуума простирается на расстояния 1/гпе Я 114). В обычном атоме водорода электрон находится на расстояниях от ядра 1/(тест), т. е. вне основной области искажения поля, в мезоводороде же мюон находится на расстояниях 1/(тису), как раз попадающих в эту область.
Для точного вычисления сдвига уровней мезоатома нельзя, однако, пользоваться приближенным нерелятивистским выражением для поляризационпого оператора, как это было сделано в формуле (123.7), использованной при вычислении сдвига уровней обычного атома. Дело в том, что характерные импульсы мюопа в атоме мезоводорода ~рд~ отд. Для мюона такие импульсы являются нерелятивистскими, но по отношению к электрону--- уже релятивистскими. Мы должны, следовательно, воспользоваться полным релятивистским выражением (114.5) для эффективного потенциала поля ядра, искаженного поляризацией электронного вакуума. Сдвиг уровня определится путем усреднения по волновой функции мюона в атоме: бЕн1 = — ~е~ ~4(1нДЬФ(г) г1йх = — ~е~ ге~1(г)5Ф(г)г241г. (124 1) 2 з 1 пм 5Ен1 = — — Ст тдЯЯн1 11 Зк Ь лг (124.2) где ) По аналогичной причине вклад поляризации мюонного вакуума в сдвиг уровней обычного атома водорода будет, напротив, пренебрежимо малым.
где Л„1 — радиальная часть кулоновой (нерелятивистской) волновой функции. Для водородоподобного иона с зарядом ядра У~с~ функции И 1(г) зависят от г лишь в безразмерной комбинации р = 2опг г (расстояние, измеренное в кулоповых единицах). Учитывая это и подставляя 5Ф(г) из (114.5) (с зарядом У~с~ вместо е1), приведем интеграл (124.1) к виду 612 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПО11РЛВКИ Так, для нескольких первых уровней мезоводорода, численный расчет дает следующие значения относительного сдвига: ~Е1«6,1.
10-3 ~Е1« 2 6. 10-« ~Е«1 2 0. 10-5 ~Е1«( )Е»о) (Е11) 6 125. Релятивистское уравнение для связанных состояний Метод, примененный в предыдущих параграфах к вычислению радиационного сдвига атомных уровней, неприменим для решения такой задачи, как определение поправок к уровням позитрония системы из двух равноправных частиц, ни одна из которых не может рассматриваться по отношению к другой как источник внешнего поля. Систематический метод решения этой задачи основан на том, что уровни энергии связанных состояний являются полюсами точной амплитуды взаимного рассеяния двух частиц (амплитуду нужно рассматривать как функцию суммарной энергии частиц в системе центра инерции).
Действительно, позитроний в каждом из своих дискретных состояний можно рассматривать как «промежуточную частицу» определенной массы, через образование которой может идти процесс рассеяния электрона и позитрона; каждому же «одночастичному» промежуточному состоянию отвечает полюс амплитуды рассеяния (разумеется, эти полюсы лежат в нефизической области 4-импульсов рассеивающихся часгиц) . Согласно (106.17) точная амплитуда рассеяния строится из точной «четыреххвостой» вершинной части Г,» н„и поляризационных амплитуд и частиц.
Последние, очевидно, не имеют отношения к полюсным особенностям, и потому удобнее не рассматривать их вовсе, говоря вместо этого о полюсах самой вершинной части, т. е. функции г„, (р',-р«;р, -р',), (125.1) где обозначения 4-импульсов вне1пних концов диаграммы (106.12) отвечают рассеянию позитрона на электроне. Подчеркнем, что утверждение о наличии полюсов относится именно к точной амплитуде рассеяния или к точной вершинной части; в каждом же отдельном члене ряда теории возмущений полюс отсутствует.
Пош1еднее очевидно уже пз того, что в фейнмановских диаграммах каждого приближения фигурируют лишь электронные (и фотонные) линии, по не линии «составной частицы» позйгрония как целого. Отсюда в свою очередь следует, что вычисление амплитуды рассеяния вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности диа- 613 1 12а УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ООО'ГОЯНИЙ грамм. Выясним, какие именно диаграммы входят в эту поснедовательность.
В первом неисчезающем (первом по гт) приближении теории возмущении вершинной части (125.1) отвечают две диаграммы второго порядка: Р— и РЧУР— Р— (125.2) Рг- Р» или в аналитическом виде; Егин 1т — — — е ~г!»Егия»ги(Р— — Р— ) + е -ГгВ"И!»Яг !гР— + РР). (125.3) В следук»щем (втором по гт) приближении имеется уже 10 диаграмм четвертого порядка: Р» Р— г ! ! (125.4) и еще пять диаграмм, различающихся перестановкой Р .Р-» — Р' . Все эти диаграммы имеют по сравнению с диаграммами (125.2) лишнюю степень е = о. Покажем, однако, что в диаграмме (125.4,и) эта лишняя степень малости компенсируется малым (при малых импульсах электрона и позитрона) знаменателем.
614 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ гл. хп Будем рассматривать все величины в сис~емс «де»гтрк инерции», Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются физическими (т. е. р ф т ), то хотя в этой системе р» —— — р, но е«у'= е . Таким образом, 4-импульсы концов Р =1е 1Р), р' = (е', р'), р« = (е«, — р), р» =("+ -р') 1 1 е +е, =е +е«. (125.5) Энергия связи электрона и позитрона в позитронии тст~.
Поэтому в интересующей пас окрестности полюсов амплитуды рас- сеяния (р) - )р') тст « т, )е. — п1) )е« вЂ” тп~ р /т птст, (125.6) Вклад в вершинную часть от диаграммы (125.4,а) Г,, '„„= — »е (-~~С(С7).~")21;у'С(д — р — р«)"~1 )вш х х 72АР1С) — р' )П„Р1р — д) . (125.7) — РР— ~2 )4 В интеграле (125.7) существенна область значений дд = 11)О, с1), близких к по.люсам одновременно обеих функций С. В этой обла- сти ~с)~ и ~с)Π— т~ малы и электронные пропагаторы т Яе — УЧ ш т [ с1 + о + о411 1 1 — ! (д~ 4- ш)(д~ — ш) — с11 4- 10 2 2т те — 11 Ч» .
1 1 С(с1 — р. — рч) = [с)о — е — е«+ гп+ — — гО~ 2 2ш (125.8) Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от вещественной оси в плоскости комплексной переменной до, замкнув пугь интсусрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней по,луплоскости, вычислим интеграл по до по вычету относительно соответствующего полюса ') .
В результате найдем, что 1 (4а) 4 э с1 11 (д — р' Яр — О)1(2т — е — яа 4- Ч»7т) ) Для диаграммы же (125.4,а), отличак1щейся от (12бл,а) лишь взаимным направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений интеграл вообще обратился бы в нуль. 615 1 12в УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СООГОЯНИЙ и отсюда, с учетом (12ог.б), оценку Г о г«о) 2 (гио) 1 1тпо)гпнР гаго Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы второго порядка (125.2,В) (первый член в (125.3)), чем и доказывается сделанное выше утверждение о порядке малости диаграммы (125.4,а).
Аналогичная ситуация имеет место и во всех дальнейших приближениях теории возмугцений. Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности «аномально больших» диаграмм с промежуточными состояниями типа внутренних линий диаграммы (125.4,а).
Для этих диаграмм характерно, что они могут быть рассечены между концами р, — р+ и р, — р+ на части, соединяющиеся друг с другом лишь двумя электронными линиями ') . Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих этому утловию, назовем «компактной» вершинной частью и обозначим через Г,в гш; поскольку аномально большие диаграммы в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной теории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется обеими диаграммами второго порядка (125.2), а во втором — - восемью диаграммами четвертого порядка (все диаграммы, за исключением (125.4,а, б)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
