В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Величина Г" представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину 7" ее называют веригиггным оператором, или веригтгной функцггей. 528 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. хс Приведем все диаграммы верппшного оператора с точностью до величин пятого порядка: — геГ б е г (106.10) 'А'А'А'А'Л д е аю 3 и (точный верпсияный оператор — 1ЕГ здесь обозначен черной точкой).
Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорньсх) и один 4-векторный индекс; он является функцией двух электронных (рм рв) и одного фотонного (й) импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно относиться к реальным частицам: диаграмма (106.4) сама по себе (не как часть более сложной диаграммы) отвечала бы поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему. полю).
Вершинные части можно разделить еще на две категории: непрссводимые и прпводимсме. 11еприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических поправок к внутренним линиям н в которых нельзя выделить частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам.
Так, из диаграмм (106.10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы зю), з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме о) верхнюю горизонтальную штриховую линию можно рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые штриховые в диаграммах д) и е) - . как поправки к боковым вершинам. Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии такими же жирными линиями, а вершины черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы 1Э, С точными Ю, ы, а приближенные верпгинные операторы у точными Г '), мы получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей.
') Получающиеся таким образом диаграммы называют скелетнмзси. 529 1 106 ВеРшинны14 ОнеРАТОР Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид (106.11) Это равенство представляет собой по отношению к Г интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой его части. Г1з изложенного ясен общий принцип составления точных выражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Т-произведений гейзенберговских операторов: по одному оператору ~г(х) на каждый конечный электрон, 4Р(х) на каждый начальный электрон и А(х) на каждый фотон. Приведем еще один пример: диаграммы вида (106.12) с четырьмя электронными концами («электронная четыреххвостка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию Кгь,1т(х1 ° х2~ хз, х4) = (40]Т4144'4х1йь(х2) 611(хз)Ф«п(х4)]0) (106.13) (зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов).
Ее компоненты Фурье можно представить в виде Г гх х . х х 464(Рпх11Р4хг — Ргхг — Ргх4) 14 ~4 14 ~4 = (2я) 5 (р1 + Р2 — рз — р4)Ка,1 (рз1 Р4; р1, р2): (106 14) причем Кгь,ьп(Р31 Р41 Р1~ Р2) =(2я) ]Я (Р1 Рз)611(Р1)мы(Р2) 0 (Р2 Рз)игт(Р1)6»1(Р2)] + + 6 (РЗ)ЯДР«Ц вЂ” 1Г,,«1(РЗ, Р4' Р1, Р2)]6»1(Р1)Я1 (РЗ). (106 15) В выражении (106.15) первые два члена исключают из опреде.ления функции Г(рз, Р4; Р1. Р2) диаграме«ы, распадающиеся па две не связанные между собой части с двумя внегпними концами 530 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл.
х1 каждая О О -О или рз ч — ( )ч — ра В третьем же члене множители й исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям. Отметим также, что по свойствам Т-произведения фермиевских гр-операторов функции Г(рз, р4; р1, рз) обладают свойствами антисимметрии: Г~ь 1тп(рз~ Р1: Р11 Рз) Гьйьп(Р4~ Рз~ Р~ ~ Рз) = -Г,ь „ы(рз, Р4:, Рз, Р1). (106.16) Если импульсы рг, рз, рз, р4 отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы (106.12) изображают процесс рассеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процес.- са, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов й) '): газ — и,(Рз)ив(Р4)( — геГ1ьдгп(рз, Р4! Ры Рз)1и1(Р1)иш(рз).
(106.17) Вследствие (106.16) эта амплитуда автоматически обладает должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов. й 107. Ъ равнения Дайсона Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между собой определенными интегральными соотношениями. Их происхождение становится в особенности ясным из диаграммного метода. Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимости или приводимости распространяется не только на вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энергетические электронные диаграммы.
Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это --диаграмма второго по- рядка ) Мы увидим в дальнейшем (см. З 110), что при составлении амплитуд реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в свободных концах диаграммы. 531 1 107 уРАВнвния даисонл Всякое усчожнепие этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершин ') . Поскольку, таким образом, из всех компактных собственно- энергетических электронных частей лишь одна неприводима, совокупность всех таких частей (т.
е. массовый оператор М изобразится всего одной скелетной диаграммой: р+и + — +Я< — = + — с, ~~ (107.1) Л4(р) = С '(р) — И ''(р) = ,14 й = — 1е 7'Я1р+ И) т" (р+ й, р; й) '01з (к) . (107.2) Аналогичное выражение может быть написано и для поляризационного оператора 77. Среди фотонных компактных собственно-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что 7з представляется всего одной скелетной диаграммой: р+й ч— р (107.3) ') Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокупность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, зависит от того, которой из вершин он приписывается.
Например: где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые играют ршгь вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине. в) Если в (107.1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то в уравнении (107.2) переставятся множители 7 и Г. Обе формы уравнения, разумеется, по существу эквивалентны. Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство даст ') 532 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТСРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х4 Соответствующее аналитическое равенство: '.'" = П„-,'® — 1з„-,'® = = ге Яр ~ЗПЯр+к)Г,(р+Й, р:, 1Т)Яр) — ~ (1074) (2Е)4 (биспинорные индексы в (107.2) и (107.4) опущены). Соотношения (107.2) и (107.4) называют уравнениями Дайсона.
Их можно получить также и прямым аналитическим вычислением. Так, для вывода уравнения (107.2)рассмотрим величину (Тр — т)4аЯ~ь(х — х') = — 4(7р — т)4т(0/Т4(4г(х)4ь(х') /0) (р = 4д - оператор дифференцирования по х). Она вычисляется с помощью (102.5) точно так же, как зто было сделано в з 75 при выводе уравнения (75.7) дня пропагатора свободных частиц. В результате получим (УР— т)476У„.(х — х ) = = — ген,'~(ОКТАР(х)ф~(х)ь~ь(х')~0) + 54ЕВН)(х — х'); д-функционный член в правой части этого равенства такой же, как в (75.7), поскольку коммутационные соотношения при 1 = = ~' для 4)4-операторов в гейзенберговском представ.ленин и в представлении взаимодействия одинаковы.
Первый же член есть — ге у,К~~.(х, х, х'), так что можно написать (снова опуская биспинорные индексы): (ур — т)Ях — х') = — гезпКН(х, т, х') + б(~)(х — х'). (107.5) Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проинтегрировать определение (106.3) по 414А д4рт/(2я)е, то получим 4 4 А К (Р+Й,Щ й) — = К (04 0, хз)е 44 хз (2 )4 Р Ки(х, х, х')е'~~* "' )41~(х — х'), (107.6) 4 откуда видно, что интеграл в левой части представляет собой компоненту Фурье функции Ки(х, т, х').
Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (107.5), использовав затем определение (106.9) и вспомнив, что ур — т = С 4(р), получим С '(р)Яр) =1 — гс "~'Я(р+ Й)Г" (р+ Й, р; И)Я(р) Р„(Й) Наконец, умножив зто равенство справа на й (р), придем вновь к уравнению (107.2). 533 108 ТО>КДЕСТВО УОРДА 3 108. Тождество Уорда Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности.
Для ее вывода совершим калибровочное преобразование (102.8), предполагая т(х) = бт(х) бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат х. Тогда электронный пропагатор изменится па величину б6(х, х') = ген(х — х') [бу(х) — бу(х')]. (108.1) Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида нарушает пространственно-временную однородность и функция б6 зависит уже от аргументов х и х' по отдельности, а не только от разности х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по переменным х и х' в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении б6 является функцией двух 4-импульсов: бд( ) бд(, ) 1Р>х — «Р>х'14ХО>4 1 Подставив сюда (108.1) и произведя интегрирование по п4хп4с или 44 С41 х' (С = х — х'), получим б6(р+ 41> р) = 1еб~(11)[6(р) — 6(р+ д)].
(108.2) С другой стороны, при том же калибровочном преобразовании к оператору Ар(х) добавляется функция бА('->(х) = — — бу, (108.3) которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении: бА~Е) (д) = 1д„,б1с(41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
