В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 126
Текст из файла (страница 126)
(134.10) ) Все эти утверждения находятся, конечно, в согласии с результатами 1 81 — см. (81.1Ц и задачу 6. В Случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сечение рассеяния на углы й — 2Г убывает по закону (134.3),(134.4) ') . Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния электрона на электроне не меняются и при учете радиационных поправок. Для этого рассзлотрим поправки различного рода к диаграмме (73.13) . Мы уже видели, что диаграммы., представляющие собой поправки к внутренней .0-функции (см. (113.11)) или к вершинным частям (см. (117.1)), приводят лишь к логарифмическим поправкам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости (134.8).
Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей рассеченгзе по двум (вместо одной) внутренним фотонным линиям: Знаменатель не будет содержать в, если до и д (ось я: -. по направлению рз = — рз) будут сс 1/зззв, а компоненты 9„, дх могут быть сс 1/, Я; тогда область интегрирования сх 1/в. Числитель же изиеет порядок величины рзрз х в. Таким образом, замена одной внутренней фотонной линии в диаграмме двумя не меняет ее зависимости от в (при заданном 1 ') ).
Другими словами, вклад диаграммы (134.9) в алшлитуду рассеяния следует тому же асиьщтотическому закону (134.8), что и вклад основной диаграммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а также при введении поправок к внутренним электронным линиям. Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, которая может быть 1>азрезана в 1-канале или в и-канале на две части путем пересечения любого числа внутренних фотонных линий, отвечает вклад зз амплитуду с аснмптотнкой соотвстстззсппо МВ сс в/1 при Е = соззв1 или в/и при и = сопв1 1В. Г.
Горшков, В. Н. Грибов, Л. Е1. Липашов, Г. В. Фролов, 1967; Н. СЪепд, Т. Т. И'и, 1969). В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рассеяние, описываемое двумя диаграммами (74.14). Эти диаграммы не допускают рассечения в 1-канале, но вторая из них рассекается в и-канале по внутренней электронной линии; в обозначениях этого параграфа она имеет вид Б (134.11) Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи направления назад (как это уже было отмечено в конце 3 86; см. (86.20)).
Для нахождения асимптотики в этой области замечаем, что множитель С, отвечающий внутренней линии диаграммы (134.11), имеет порядок величины 1,1су(рз — р1) сх 1,1,~Я. з Поэтому амплитуда рассеяния ЛХу; сс сз(в/~и~) В; в пее введен множитель сз в соответствии с тем, что диаграмма (134.10) второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: з1в/е1и сх сх сзз/~и~в. Интеграл этого выражения по ~и~ определяется областью значений ~и~ << в. В результате полное сечение убывает с ) Снова напонннм, что речь идет тОлько о степенных аснмптотнках, и потому можно не обращать вннмання на логарифмические расходнмоетн прн интегрировании. Мы вернемся к более подробному исследованию диаграмм вида (134,9) в 3 137.
672 асимптотнчвскив ьоемхлы квантовой элвктгодинаьзнкн гл. хш 1 134 АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 673 ростом энергии по закону сг сх о 1гя (точнее, гг сх (О /я) 1п(я/ггг )); ср. (86.20)) ') . Но для этого процесса радиационные поправки меняют асимптотику. Изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка типа (134. 12) Рг Ояи допускают в 1-канале рассечение по двум внутренним фотонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптотикой Му, сс ст я/г множитель о' отвечает шестому порядку диаграммы.
При достаточно больших я эта часть амплитуды становится основной и тогда дифференциальное сечение сЬ/111 сх а ф . Интеграл этого выражения по 1 определяется областью малых значений (1! гп2, т. е. областью углов рассеяния О ги/ьгя (обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное сечение перестает убывать с энергией; и сс ст '1 т = а )г,. (134. 13) Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной ЧаСтЬЮ Е = Хггя СС Пг(сх . Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света па свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается «квадратными» диаграммами (127.1), которые могут быть рассечены по двум внутренним электронным линиям.
По 4-импульсу этих линий в диаграмме производится интегрирование, причем существенны импульсы ьгз, и малые значения 1 (или и) ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при любом 1 = сопв1 (или и = сонэк) дается законом (134.5); Ы72 = = сопе1 сх сг2. При этолг полное сечение убывает с ростом энергии: о сс ст4/з (ср. (127.23)); углы, близкие к нулю или к я, здесь никак не выделены.
Но в восьмом порядке появляются диаграммы, допускающие рассечение (в 1- или в и-канале) по двум ) Точный вид зависимости сечения от ~о4 или ~ 1 ~ при их значениях ( т, разумеется, не может быть выяснен на основании излагаемых соображений. Подразумевается, что интеграл по (и! (или по (4() сходится на значениях иг .
Это действительно так для всех процессов, за исключением упругого г рассеяния заряженных частиц. 22 Л. Д. Ландау н Е.М, Лифшиц, том 1У 674 асимптотичвскив еоемхлы квантовой элвктгодинвмики гл. хш внутренним фотонным линиям, например, (134 14) Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения: о сх сг (пг при ~'в )) гп~(сг Постоянная аснмптотика дпя полного сечешля. - характерное свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются (в 2- или в и-канале) по внутренним фотонным линиям.
Это свойство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии реакции возникает более двух частиц. 8 135. Выделение дважды логарифмических членов в вершинном операторе Поправки вида (оЛ)" (Л-- большой логарифм) могут стать существенными, как уже было отмечено в конце 8 133, лишь при фантастически высоких энергиях и потому имеют только теоретическое зна~ение. Но в амплитудах реальных процессов рассеяния возникают также и гораздо болыпие поправки вида (оЬ2)»». Такие члены, содержащие по квадрату логарифма на каждую степень ст, называгот дважды логарифмическими.
Характерным параметром разложения в дважды .логарифмических поправках является величина е — 1п — ' (135.1) я л»2' где е фигурирующие в задаче энергии (скажем, суммарная энергия сталкивающихся частиц в системе их центра инерции). Условие применимости теории возмущений требует малости этой величины; оно нарушается при энергиях (135.2) е тсхр~ — ~ — ) 3 10 т. 2у'о 1 ) Сечение когерентного рассеяния фотона в поле ядра имеет постоянную асимптотику уже в первом неисчезающем приближении, описываемом «квадратшыл»и» диаграммами, два из концов которых — линии внешнего поля (слл.
1128.7)). В действительности, однако., зти диаграммы должны были бы изображаться в виде (134.12), где верхняя сплошная линия была бы линией ядра. Линии внешнего поля становятся тогда внутренними линиями диаграммы и происхождение постоянной асимптотики становится очевидныль 675 13в Выдьленив ЛВАжды лОГАРиФмических членОВ Поставим себе целью освободиться от этого условия и получить формулы, применимые прн условии (135.3) Ясно, что это потребует суммирования бесконечного ряда поправок всех степеней (стх~)". Дважды логарифмические поправки возникают в двух категориях случаев.
К одной из них относятся процессы рассеяния на фиксированный конечный угол; их сечения (как мы видели в предыдущем параграфе) всегда падают в асиьпгготической области высоких энергий. Дважды логарифмические поправки в этих случаях тесно связаны с инфракрасной расходимостью. Сюда относится, в частности, упругое рассеяние электрона во внешнем кулоновом поле; в Э 122 была найдена первая дважды .логарифмическая поправка к его сечению.
Полному определению этих поправок при условии (135.3) посвящены этот и следующий параграфы. К другой категории относятся убывающие с ростом энергии сечения реакций при заданном квадрате передачи импульса, т. с. для углов, асимптотическн Г~риближающихся к нулю или к я; как было показано в предыдущем параграфе, это имеет место для процессов, диаграммы которых не могут быть рассечены в 1- или в и-канале по внутренним фотонным линиям. В этом случае дважды логарифмические поправки не связаны с инфракрасной расходимостью.
В качестве такого рода примера в э 137 будет рассмотрено электрон-мюонное рассеяние назад, т. е. при и = = сопв$,. Отметим прежде всего, что прн условии (135.3) однологарифмические поправки Х ГП2 и потому могут быть опущены. Поскольку в й и Ю дважды логарифмические поправки вообще отсутствуют, эти функции можно полагать теперь равными просто их певозмушенпым значениям С и Р. Вычисление же вершинного оператора Г требует суммирования дважды логарифмических членов, возникающих из бесконечного ряда диаграмм. Этой задаче посвящен следующий параграф. Предварительно же изложим метод, позволяющий выделять дважды логарифмические члены из отдельных интегралов ФейГГмана до фактического проведения в них интегрирования по всем переменным (В.
В, Судаков, 1956). Рассмотрим поправку первого (по СГ) порядка к вершинному оператору, изображаемому диаграммой (117.1), которую удобно 676 лоимнтотичвокив вогмклы квлнтовои элвктгодинлмики гл. хш изобразить здесь (переобозначив переменные) в виде !д ! (135. 4) рг или, аналитически, Г "[')(р„р,; О) = — — 1г (гр 1г1 )у (и 1 ) 'г 1 (1355) 4кг [[рг — 1)г — т — г0][[рг — 1) — тг + ге)[1> + го) Будем предполагать,что [гу~[ >> р» ~4, тз, (135.6) причем концы рм рв могут быть как физическими, так и виртуальными. Из (135.6) следует, что [Р>Р2[ ~гув[гу [ >> Р1 Р2 т (135.7) т.
е. 4-векторы рм рз имеют большие компоненты при малых квадратах ситуация, возможная в силу псевдоевклидовости четырехмерной метрики. Дважды логарифмические члены возникают именно при условиях (135.6). Мы увидим в дальнейшем, что при иптегрироваяии по гг у будут существенны относительно малые значения 1. Поэтому можно пренебречь 1 в числителе подынтегравьного выражения, после чего Г[И приобретает вид Г"[') = — — 'У~('УРз + т)'Уи('УР> + т)"У„1г г (135.8) 4яз где г уг 1! = .
(135.9) [(рг — 1)' — т' -г- го][[рг — 1)г — тг -!- гО) [1> -!- гО) Матричный множитель в (135.8) можно упростить., если учесть, что Г всегда входит в диаграммы, по существу, умноженным на матрицы ( урт + т) н (ург + т); ( ура + т)Г(ур> + т). (135.10) Действительно, если линии рг и рз виртуальные, то множители происходят от С(рг) и С(рз); если же линии отвечают реальным 677 1 13а Выделение ЛВАжды лОГАРиФмических членОВ электронам, то Г умножается на й2, и им причем в силу уравне- ний Дирака имеем -~~е + ш ие = ие 2ГЛ и1= ~~ ип 2РЛ ГВ ('урэ+ гп)ГН ('ур~ + т) — — — ' (р1рэ)(ур2+ т)7и(урГ + ш)1Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
