В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Второму же условию (137.26) можно удовлетворить, положив 1р(р) = = -2яр/сг; действительно, тогда дА1ГН / и — = — — 1 — ехр С ( р + — ) 11р = 0. дч 4=-Л 2кгб / Ыр 2нр) с Собрав полученные выражения и положив С = 77 = о, найдем А(сг, о ) = — — —" р — ехр [сг (р + — ") ~ с1р. 2к1 ап у др 2кр С Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись из- вестной формулой гло= — '.~ [-'( - )'ре С (11(в) = — г,71(г в) -- функция ьесселя мнимого аргумента), получим окончательно для амплитуды рассеяния (137.28) Сечение же рассеяния (на угол д = 7г) соответственно равно а1п (в7тД 1 1' к гпз / ве где йт1 1 — сечение в борновском приближении в ультрареляти- 60 вистском случае (см. задачу 6, 8 81) ') . ' ) Дополнительныо ссылки па работы по дважды логарифмическим асимптотикам можно найти в обзорной статье: Горшков В.
Г.ОУФН..-1973. —. Т. 110. — С. 45. ГЛАВА ХГЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ й 138. Электромагнитные формфакторы адронов До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродинамике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, электронов, позитронов и мюонов. Существует также болыпое пило частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют ас«ромами ') . Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имеющие спин ',сз, л-мезоны со спином 0 и другие частицы. Адронами, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят из протонов и нейтронов.
Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рамках существуюьцей теории невозможно. Ясно, что нельзя составить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодействия адронов без учета значительно более интенсивных сильных взаимодействий. В частности, без у.чета последних нельзя установить и явный вид адронного тока, с помощью которого должны описываться взаимодействия в квантовой электродинамике. В чтой ситуации адронный ток вводится как феноменологическая величина, структура которой устанавливается лишь исходя из общих кинематических требований, не связанных с какими- либо предположениями о динамике взаимодействий ') .
Оператор же электромагнитного взаилюдействия будет иметь по-прежнему вид (138.1) е(,7А), где теперь ток обозначен прописной буквой,1 (в отличие от электронного тока у). Поскольку порядок величины этого взаимодействия задается тем же элементарным зарядом е, можно по- прежнему пользоваться методами теории возмущений а) . Установим вид тока перехода между двумя состояниями свободно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо 1 ) От греческого слова «хадрось, означающего крупный, массивный. ) Вопросы юсектродинамики адронов, связанные с кварковой моделью, в этой книге не рассматриваются. а) В этой главе е обозначает элементарный заряд Се ) О).
элвктРОМАгнитныь' ФОРЫФАктОРы АДРОНОВ 691 1 138 превращением самого адрона). Этот ток входит в «треххвостку» Л (138.2) ) Напомним, что плоская волна записывается в виде 41 = е '"*. Норт/2е мнровке на одну частицу в еднннчном объеме отвечает (для частиц со спнном О) нормировка скаляра согласно и*и = 1; прн атом можно положить просто и = 1 (см. 8 10). Мы определяем ниже ток перехода по отношению к амплитудам и1, н» в соответствии со способом обозначений, принятым в 8 64, Р» Р1 которая сама может входить как часть в какую-либо более сложную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на адроне). Штриховая линия в диаграмме (138.2) изображает виртуальный фотон; она не может отвечать реальному фотону., так ьак свободная частица не может поглотить (или испустить) такой фотон.
При этом п~ = (ря — р1) ( О. Рассмотрим сначала адрон со спипом О. Пусть иг н ит --вол новые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в которых он имеет 4-импульсы р1 и р2, для частицы со спином О эти амплитуды скаляры (или псевдоскаляры) ') . Адронный ток перехода .711 между этими двумя состояниями должен быть билинеен по и1, и и1. Запишем его в виде гуг = и2Гиг, (138. 3) где 4-вектор Г неизвестный вершинный оператор (кружок на диаграмме (138.2)). Если положить иг = и2 = 1, то будет просто ,11, = Г. Универсальным свойством тока в электродинамике, связанным с калибровочной инвариантностью теории, яв.ляется его сохранение. В импульсном представлении оно выражается ортогональпостью тока перехода 4-импульсу фотона д = р2 — р1: 0,1,; =О.
(138.4) В данном случае это значит, что оператор Г должен иметь вид Г = РР(0'), (138.5) где Р = р1 + ря, Р(0 ) скюгирная функция единственной инвариантной независимой переменной — квадрата д~. Поскольку род адропа при переходе не меняется, то р1 — — р2 —— М (М-- масса адрона), и потому Рг1 = О. 692 эльктРОдннАмнкА АдРОнОВ Гл х!м Матричные элементы (138.3) с Г из (138.5) (а с ними и сам оператор 1) истинные 4-векторы. Поэтому оператор взаимодействия (138.1) истинный скаляр.
Таким образом, электромагнитное взаимодействие адронов со сонном 0 оказывается Р-инвариантным автоматически. Оно оказывается также и Т-иьи вариантным. Действительно, обращение времени, во-первых, переставляет начальный и конечный 4-импульсы; при этом сумма Р = р1+ ря не меняется. Во-вторых, обращение времени меняет знак пространственных компонент 4-импульсов, не меняя их временных компонент; но таким же образом преобразуются и компоненты 4-потенциала А, так что произведение ХА не меняется. Инвариантную функцию Р(д~) называют злектролзагнитнььм дзормфакторолз адрона.
В рамках феноменологической теории ее вид, разумеется, не может быть установлен. Можно, однако, утверждать, что эта фуякция вещественна (в рассматриваемой области г)з < 0). Это следует из тех же соображений, которые были применены в 3 116 к формфакторам электрона: при й < 0 во всяком случае отсутствуют промежуточные состояния, 2 которые могли бы фигурировать в правой стороне соотношения унитарности; поэтому матрица Ыу;, а с нею и 1г, оказываются эрмитовыми. При о = 0 начальное и конечное состояния совпадают, так что 11; становится диагональным матричным элементом.
В частности, е(по)н/2е, = еР(0) есть плотность заряда, совпадающая (нормировка на одну частицу в единичном обьеые!) с полным зарядом частицы Уе. Для электрически нейтральной частицы Р(0) = О. Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает еще истинной нейтральности частицы. Если частица истинно нейтральна и обладает определенной зарядовой четпостью, то Р(д~) = 0 при всех д~: так как оператор тока зарядово-нечетен (см. )) 13), его матричные элементы между двумя состояниями одного и того же адрона равны нулю ') . Перейдем к адронам со саином 1/2. В этом случае волновые амплитуды им иг -- биспиноры и адронный ток имеет вид (138.6) ,УП = изГиы 1 ) Это не означает, конечно,что такой адрон вообще не взаимодействует с электромагнитным полем.
Произведение двух операгоров тока, Х(х), Х(х~), уже зарядово-четно,и его матричные элементы отличны от нуля для переходов между состояниями с одинаковой .зарядовой четностью. Поэтому истинно нейтралы|ый адрон может рассеивать фотон, а также испускать одновременно два фотона,т. е. участвовать в процессах более высокого порядка по о. ЭЛККТРОМАГНИТНЫЕ' ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ 693 138 Из билинейных комбинаций йг и и1 и 4-векторов р1, рг можно составить как истинные 4-векторные, так и псевдовекторные величины (удовлетворяющие условию (138.4)). Поэтому условие Р-инвариантности взаимодействия не удовлетворяется автоматически и должно быть поставлено дополнительно ') .
Как было показано в 9 116, при этом условии вершинный оператор содержит два независимых вещественных (при дй ( О) формфактора. Запип|ем его теперь в виде ) Мы не рассматриваем возможные нарушения сохранения четности в электромагнитных взаимодействиях, связанные е учетом виртуальных слабых взаимодействий. ~) Целесообразность определения формфакторов согласно (138.7) (гг. Бее»й», 1962) выяснится ниже.
В литературе используются также формфакторы йЛ, гж определенные аналогично 7 и д в (116.6), т. е. со~ ласно е Г = г1ЗР— — ее'й,. 2М Они связаны г г„г, соотношениями г', = г1 -1- Е'» Я 4йгг Е =Г~-»Гм = (4М Ре д Рт) ~ + (Р— Р„)ов»Д (138 7) где Ре(9 ) и Рл(д ) инвариантные формфакторы (М масса адрона); в эквивалентности трех написагшых выражений легко убедиться с помощью равенств Рг + дг = 4М2 и (116.5) е) .
Электромагнитные формфакторы относятся к категории инвариантных амплитуд., понятие о которых было введено в 9 70. Их можно рассматривать как амплитуды «реакции», представляющей собой (в своем аннигиляционном канале) распад виртуального фотона на адрон и антиадрон. Виртуальный фотон «частица» со спином 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
