В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Найти вероятность ионизации атома из К-оболочки за счет энергии возбуждения ядра м (так называемая внутренняя конверсия у-излучения) при ядерном Л41-переходе в пренебрежении энергией связи электрона в атоме и влиянием поля ядрана его волновые функции '). Р е ш е н и е. Процесс описывается диаграммой )Ч рэ р1 где р~ и рэ относятся к неподвижному ядру в различных состояниях, а р = = (т, О) и р' = (т+м, р') — 4-импульсы начального и конечного электронов. Этой диаграмме отвечает амплитуда Мд = с~ — в(р')(у,70)и(р), 1э где 0 и ток перехода ядра.
После суммирования по конечным и усреднения по начальным поляризациям электрона получим (ч')' — ~Л11,~~ = е' (9э(уд,71,) -~4(удр)(Уу,р)) (использовано, что 7Н9 = 0 и поэтому Удр =,Уу,р'). Вероятность конверсии вычисляется как 4ш„„„, = 2~ф,(0)~ ( — 4п) где г)а — сеченио рассеяния, изображенного диаграммой (1) с р = (с, р), а ль - волновая функция атомного электрона; для К-электрона 'РСА(0)) = (Кот) /х. Множитель 2 учитывает два электрона в К-оболочке атома. Сечение 4п вычисляется как ,з ~ 4п = йг 6(е -Р м — е )~ЛХП( 2~р~2е'(2я)з (ср.
примеч. на с. 710). Для ЛР1-переходов ток,7д надо взять из (142.9). Интегрирование г(ш„,„„ по 4Е' устраняет б-функцию, а ингегрирование по 4о' обращает квадрат ~Ъ'~„,~ ~в в 1. В результате вероятность конверсии окажется выраженной через квадрат ~11,"', ~ . Но через эту же величину выражается согласно (46.9) ве( ) роятность ю спонтанного излучения фотона при толг же ядерном переходе. Окончательно получается 2 '"" = 2О(ло)~ — (1 4- — ) шэ Ю (это отношение называют коэффициентом конверсии). ') Это приближение требует малости заряда ядра и достаточно больших энергий возбуждения ш (в то же время 1/м предполагается большим по сравнению с размерами ядра). Фактически такое приближение малоудовлетворительно, и более точное вычисление требует учета кулонова гюля ядра. 712 гл, хш ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ '2.
То же для ядерного Е!-перехода. Р е ш е н и е. Тем же способом с током перехода из (142.7),(142.8) получается " "" = 2О(ЯО) (> + — ) 3. То же для монопольного перехода ядра. Р е ш е н и е. С током перехода из (142.14) получается з> -.... = --'( -)зшз-'( + — '"') 'йМ' Поскольку л>онопольпое непускание фотона невозможно, исключить отсюда Це~ нельзя й 143. Неупругое рассеяние электронов адронами 4яе> л Му, = — (и;у„ие) 77, ,)> е (143.1) (такая амплитуда уже использовалась в задаче 1 к 8 142, где рассматривалась передача энергии электрону; аналогичную структуру имеет амплитуда в задаче о возбуждении ядер электронами) .
Будем считать энергию начального электрона достаточно большой, чтобы в конечном состоянии могло образоваться большое число адронов. Мы будем интересоваться так называемым и>зклюзив>гь>м сечением, отвечающим тому, что в конечном состоянии фиксируется только импульс электрона, а по всем адронным состояниям произведено суммирование. В 8 139 было рассмотрено упругое рассеяние электронов адронами.
Аналогичным образоь> может быть поставлена задача о неупругом рассеянии. Отличие состоит в том, что конечное адронное состояние будет теперь отвечать другому адрону или же совокупности адронов. Закон сохранения импульса (139.1) останется в силе, если под р~ь подразумевать 4-импульс конечного адрона или суммарный 4-импульс всей образовавшейся в процессе рассеяния совокупности адронов. Таким образом, теперь р'ь ф рзь у= М2, где М масса начального адрона. С этим отличием процесс неупругого рассеяния описывается той же диаграммой (139.2). Нижнюю вершину этой диаграммы мы обозначим через,уу>з как это делалось в 8 138.
Однако в отличие от (138.3) или (138.Г>) мы не будем выражать ток перехода через вершинный оператор и амплитуды состояний, чтобы не фиксировать заранее характер конечного адронного состояния. Теперь можно записать амплитуду рассеяния в аналогичном (139.3) виде 1 143 НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ АДРОНАМИ Такое дифференциальное сечение запишем, в соответствии с формулами 3 64, в виде 3» Г1о = Р' ~~ (2Я)46Г'111А + рр~ — р, — р',Иму,.~~. (143.2) 41(2Я)»2«', "у Инклюзивное сечение может зависеть лишь от трех кинематических инвариантов, которые могут быть определены путем измерений, про1лзводимых только над электронами.
Таких 14нвариантов существует три: 2 (, !)2 ( + )2 (143 3) и р А. Необходимость учета третьего инварианта связана с тем, ~г что в отличие от упругого рассеяния р А -- «масса» конечного ~2 адронного состояния - теперь не задана. Вместо р'А удобно, однако, пользоваться инвариантом (143.4) " = ЧР1О Связь между и и р ь следует из равенства рь — — ра + д: ~2 / р'~, —— М + 2+ 2и. (143. 5) Если начальный адрон стабилен (например, протон), то энергия покоя конечного состояния больше чем М, т, е, р А » М, и из р2 (143.5) следует (ввиду того, что 2 ( 0): и > )1)/2 (143.
6) (знак равенства отвечает упругому рассеянию). Кинематические инварианты можно выразить через энергии электрона в начальном и конечном состояниях е«и е', и угол рассеяния О. Ниже будем считать электрон ультрарелятивистским (е, » т, е', » т) и пренебрегать его массой. Тогда в системе покоя начального адрона (лабораторная система) получим 2 = — 4е«е',ЕГП (О/2), и = М(е, — е',),  — М2 = 2МЕ. (143.7) Подставив (143.1) в (143.2) и выполнив обычным образом суммирование по поляризациям электронов, получим сечение рассеяния неполяризованных электронов. ЗВ11ишее1 его в виде 43 (143.8) (22)» (2я)». ЗЛЗ« е~ или (143.9) 714 гл.
хтм ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ где тори — 4Редреи 2птеиЧи + РеиЧД) + Ч влит (143.10) Ие"' = ~~) (2тт)~бИ)(р~~ — РА — Ч)Я~.Я/,'. (143.11) / Тензор И~"", конечно, существенно зависит от свойств адронных токов, и мы можем в общем случае только поставить задачу о его феноменологической структуре, аналогичную задаче о формфакторах адронов. Прежде всего, воспользуемся тем, что тензорная структура И™и должна определяться только 4-векторами, имеющими отношение к нижней вершине диаграммы (139.2), т.
е. РА и Ч. Из них (а также метрического тензора 8„) можно составить всего пять независимых тензоров. Требование инвариантпости относительно обращения времени сводится к требованию симметричности тензора; таких тензоров можно построить четыре. Наконец, условие сохранения тока, т. е. И и Ч 0 И ™ Ч р 0 сводит чисчо независимых тензоров к двум. Их можно выбрать в виде .0.) = и,. „...„,) = („„„.,„) („„,.) Ч и записать И'„ как Итр, — — 4ттМ%1тртЦ + — И12трт~). (143.13) М Подставив в (143.8) выражения (143.10) и (143.13), представим сечение в виде т6т = (И'2 + 2И'1 18~ †)т/в',т/о „р, (143.14) где И' 1 е'1 ( ) т И 2 т'2 ( ) (143.15) (зактетим., что отношение М/те нс зависит от М).
сов'тд/2) ~ 4е,' В1п тд/2) сечение рассеяния ультрарслятивистского электрона в кулоновом поле (ср. (80.7)). Мы видим, что сечение определяется двумя структурными функциями, зависящими от двух инвариантов 1 и о. Если при больших энергиях физика адронов не содержит характерных величин размерности массы (гиттотпези маститпабной инвариантностпи), то можно ожидать, что структурные функции будут зависеть при больших энергиях от единственного безразмерного параметра 1/и.
Тогда функции И'1, Итз должны иметь вид функций одной переменной; 144 пгеВРАщение электРОн-пОзи'ГРОннОЙ пАРы В АПРОны 715 й 144. Превращение электрон-позитронной пары в адроны (144.1) Нижней вершине этой диаграммы отвечает ток перехода из вакуума в некоторое адронпое состояние ~п), который обозначим, как это делалось в з 104, через (п~,7~0). Диаграмме (144.1) соответствует амплитуда рассеяния М„= — и( — рт) у„и(р )(и/У'!0).
(144.2) Мы будем интересоваться полным сечением аннигиляции в ад- роны пь, т. е. просуммируем по всем конечным состояниям )и). Тогда, в соответствии с (64.18),. '- ~ ~М„~ (2п)44()(р„,) (144З) и где и = р. + р„. В дальнейшем будем пренебрегать массой электрона; тогда д2 = 2(р .рь), 1 = цз/2. Аналогично тому, как мы поступали в ~ 143, запишем сечение в виде (4п)' ии пь — ш 14 РР~ 2~З (144.4) где нз" = о(р" д +р'и" — 2р'"р' — 1l у~йл ), (144.5) И'„= о~ (2п)~ВОО(рк — д)(0~,7,~п)(п~,У„~О) (144.6) н1=пв ) О. Заметим, что 1 является единственным кинематическим ипвариантом рассматриваемой задачи («треххвостойа диаграммы Рассмотрим теперь процесс превращения электрон-позитронной пары в адроны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
