В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 132
Текст из файла (страница 132)
аналогичное замечание в связи с условием (127.5)). Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь члены, начиная с пропорциональных н505 05, т. е. не дает ни- ! 2 какого вклада в интересующие нас члены, пропорциональные н5~ и 05 . Все последние содержатся, следовательно, в выражении 1 (141.3). Для их фактического вычисления выбираем лабораторную систему отсчета, в которой покоится начаиы1ый адрон.
Для фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку, в которой ев = е50 — — О. Тогда (ре) = О, (р е'*) [р'[ 05, и из (141.6) видно, что первые члены разложения Му; будут пропорциональны 05, а члены, соДеРжаЩие 45аи, ДаДУт вклаД лишь в члены, 0 пропорциональные 05 . Волновые амплитуды начального и конечного адронов в лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид Где ю, ю'-- З-спипоры. Прямое вычисление приводит к следующему результату; М . = — 855(УЕ) (е'*е)(ш'*н!), (141.8) М,,~ = — 16тМр~~ио5(т' 55И5) [[и'е" Цне~й— — 44ГгУер„,ГН(И5' ГГТН)(п([пе)е' ) + [пе)(пе' )— — и'([и'е5*) е) — [и'е'*) (пе) — 2[е" е) ), (141.9) где п = 14/ГН, п' = 14'55ц5'. Сечение рассеяния (141.
10) (см. (64.19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от нуля как Му,, твк и М7, . Принятая точность допускает при этом (1) , [0) сохранение в квадрате [М1;[ членов [М1, [ и В.е(Му! Му,. ). 2 (О) 2 (О) (В* Первый дает томсоновское сечение, Второй же обращается в нуль 23 Л. Д. Лацдау и Н.М, Лифшиц, том 1У 706 гл.
хне ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ 4 с(ст = ~' (2+ Вшй д)с(о', Лее4 (141.11) где д угол рассеяния фотона, а аномальный магнитный момент совпадает с полным моментом )4. Отметим, что по своей угловой зависимости это сечение соответствует случаю антисимметрического рассеяния (см. задачу 2 к 8 60). 8 142. Мультипольные моменты адронов Рассмотрим теперь ток перехода, соответствующий такой же как (138.2), диаграмме (142.1) в которой, однако, линии р1 и ро отвечают разным частицам (массы ЛХс и Мз); фотонную линию Л = р| — рв удобнее представлять здесь исходящей из вершины. При этом фотон может быть теперь как виртуальным, так и реальным: должно быть лишь к~ ( (ЛХ~ — ЛХэ), так что значение кз = 0 допустимо. Таким образом, применения рассматриваемой диаграммы включают в себя, в частности, процессы испускания фотона при превращениях частиц, в том числе ядер (в последнем случае начальной и конечной частицами является ядро в различных состояниях).
В связи с поставленным вопросом наиболее интересен случай, когда длина волны фотона велика по сравнению с характерными «размерами» частицы (т. е. размерами, входящими в ее форм- факторы; для ядра опи совпадают, конечно, с его «радиусом»). Тогда ток перехода может быть разложен по степеням )е ') . Отметим прежде всего, что должно быть (142.2) ХХ; = 0 при й = О.
') Ниже мы следуем методике, предложенной В, Б. Бересжеиким (4948). при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправки проявляются только в поляризационпых эффектах. Для рассеяния же на электрически яейтральном адронс (о) (1) з МХ, — — 0 и сечение определяется квадратом ~МХ, ~ .
После усредпейия по поляризациям начальных и суммирования по поляризапиям конечных частиц оно оказывается равным (в обычных единицах) 707 4 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ Действительно, пределу и — + 0 отвечает постоянный в пространстве и времени потенциал. Но такой потенциал не имеет физического значения и не может являться причиной каких-либо реальных процессов.
К этому же выводу можно подойти и с более формальной точки зрения: рассмотренные в 3 138 токи были отличны от нуля при и = 0 за счет членов, пропорциональных 4-вектору Р = р1 + р2, но при М1 ф МР произведение (РЛ) ф О, так что такие члены запрещены условием поперечности тока. Запишем условие поперечности тока ф = (рХ;, ДХ;) в трехмерном виде; [142. 3) 14-гХг = шРХ4 Этому ушювию можно удовлетворить двумя способами: (142.4) 37, = гнп(~, ы)г ру, = 1стг(1сг ш) или [142 5) ЛХ, = [1га(14, )), ~Х, = О.
Здесь ч.— некоторый полярный, а а-- аксиальный векторы. В первом случае говорят о токе электрического, а во втором — магнитного типа. Согласно [142.2) гг и а при 1сг ш — 4 0 остаются конечными или обращаются в ну.ль. Пусть энергия фотона ы « М1. Тогда можно пренебречь эффектом отдачи и считать покоящейся (в системе покоя частицы М1 ) также и конечную частицу Мз, при этом ш становится заданной величиной: ш = М1 — Мз. Состояния покоящихся частиц М1 и ЛХя хаРактеРизУютсЯ тРехмеРными спиноРами нг1 и гнв Рангов 2Н1 и 2вз, где в1 и вз спины частиц.
Ток перехода должен быть билинейной комбинацией ю1 и ш~. Из произведений компонент этих спиноров можно составить неприводимые тензоры рангов 1 = в1+ вя,, ~Н1 — вз~ [при заданном 1 это будет истинный или псевдотензор в зависимости от внутренних четностей частиц ЛХ1 и ЛХЕ). Кроме этих тензоров в нашем распоряжении имеется только вектор 14. Чтобы построить первый член разложения тока по степеням 1с, надо с помощью этих величин составить вектор как можно более низкой степени по 14. ггХы достигнем этой цели, взяв тснзор наименыпего ранга и умножив его скалярно 1 — 1 раз ва вектор 14.
Это и будет полярный вектор тг или аксиальный вектор а. Пусть 1,11„, сферические компоненты тензора, составленного из волновых амплитуд частглц. Сферические же компоненты тензора ранга 1 — 1, составленного из компонент 14, равны ~14~~ 11'1 1 (и), где п = 1сггнг. По общему правилу сложения сферических тензоров [см.
Ш, (107,3)) сферические компоненты 708 гл. хге ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ вектора и можно написать в виде ч = ( — 1)л-ь1,4 А74К 21-"1~1 ~1 1 х (21 — 1)0 'т' х /1 — 1 1 ~ (Л+ т, — Л вЂ” т) 1~)й — тУЬ-1 Лэтм(П)1 т где Л пробегает значения 0, ~1 (о выборе общего множителя см. ниже). Исгюльзуя формулы (7.1б), можно выразить и через шаровые векторы: ъ'4г~Ц~ 1 ~ ( )~ (21 — 1)!!А7)(21+ Ц (,У)+1К,"( )+ЛК,',"„)( )), (142.б) Подставив в (142.4), найдем Е1-ток перехода; 4 ъ'44~"~Ч' ' ~ ~~ 11с-тф) ' (21 — 1)0 7(21 + 1) ~ х Ф+ 1з~г~п,(п) + ~Р~1„, (и)), (142,7) (мы различаем везде (Ц и Вэ, имея в виду возможные применения как к реальным, так и к виртуальным фотонам, для которых эти величины не совпадают).
В (142.7),(142.8) подразумевается, что сферический тензор 01. (обозначенный здесь 1,), ) истинный тензор. Коли же (В) это псевдотензор (в таком случае обозначим его фт ), то форму(И) ла (142.6) определит псевдовектор а. Подстановка в (142.5) дает тогда М1-ток перехода: ъ'4е 1-Р 1 ~~ ~~ ~ ~( )1 т~)(м) ~,(м)( 1)й ~) 1(21+ 1) ~ м м0 — т ьт т Р7, =0. Величины Я и Ят представляют собой адронные элоктри- (В) М ческие и магнитные мультипольные моменты перехода. Их роль в электродинамике адронов вполне аналогична роли соответствующих величин в электродинамике электронов.
В то время, однако, 709 1 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ как для электронных систем эти моменты могут быть, в принципе, вычислены по волновым функциям (как матричные элементы соответствующих операторов), в электродинамике адронов они выступают как феноменологические величины, значения которых находятся из опыта. Нормировка этих величин в (142.7) — (142.9) выбрана в соответствии с их определением в ~ 46. В этом можно убедиться, рассматривая токи (142.7) †(142.9) как компоненты Фурье тока перехода в координатном представлении. Так, разложив множитель е дь-" в интеграле ру,(14) = ру,(г)е '"'<1 т, (142.10) с помошью формулы (46.3), получим рр (е) =д 12 д2 )1 рр4 )У,' ('-)д(/Ц )д,' 1, пр Оставив здесь член с наименьшим 1, для которого интеграл отли- чен от пуля, и заменив функцию 91(~14~с) при ~1с~г << 1 ее первым членом разложения (46.5), мы вернемся к формуле (142.9), при- чем Вн=уГ" 1 "рр4)У.ЯдРе (142.11) Мдд = — еъд4ле*Л7,.
(142.12) Если в начальном и конечном состояниях ядро обладает определенным значением проекции момента (М; н М7), то в сумме по кв в (142.7) — (142.9) остается лишь по одному члену". Нт = М,— — Мд. Поскольку согласно (16.23) произведения Ъ'„,е~ )* или л* Ъ " е1А1 (Л = ~1 спиральность фотона, РР0 3 и) пропорциональны РА, мы возвращаемся к формулам, рассмотренным в з 48. в соответствии с определением (46.7). Покажем также, что при применении к испусканию реального фотона полученные формулы приводят к уже известным нам результатам. Амплитуда перехода с испусканием фотона с импульсом 14 = = О2п и полЯРизаЦией е = (Ор е): 710 гл, хгк ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ Ру;(1с) = — — 1с ( ру;(т)т Й ак 6 Сравнив с (142.14), найдем сбю — Р7 Я" 6 ./ (142.15) Сходство этой величины с квадрупольным моментом очевидно.
) Множитель 2хб в этой формуле вместо 12я)эбьи в (64.11) связан с тем. что при пренебрежении отдачей ядра импульс не сохраняется, так что остается лишь сохранение энергии. Дифференциальная вероятность излучения ') с1пз = 2яд~оз — (Е, — Е7ДМ7Д2 (1423 3) 2ш(2я) э (Еб Еу начальная и конечная энергия ядра). Полная вероятность получится су.ммированием по поляризациям и интегрированием по с1зк.
Подставив (142.7) или (142.9) в (142.12) и затем в (142.13) и произведя указанные действия, мы вернемся к формуле (46.9) (или (47.2)). Формулы (142.7) .(142.9) включают в себя все случаи, которые могут иметь место для испускания реального фотона. Для виртуальных же фотонов возможен еще и другой случай, не описываемый этими формулами (т7. Н. Е'оа1сг, 1930). Если спины и четности начального и конечного состояний ядра одгпсаковы, то из нх волновых амплитуд можно составить скаляр Яе, а с его помощью ток перехода вида Ру~ = сбо1с ~ Дуг = сбо«'1с. (142.14) Величину Щ называют монопольным (ЕО) моментом перехода.
Для испускания реального фотона соответствующая амплитуда перехода обращается в нуль (так как е*1с = 0). Монопольный ток, однако, может быть источником переходов, связанных с испусканием виртуального фотона. Более того, он является единственным таким источником при В1 = В2 = О,. когда все мультипольные моменты равны нулю. По своей зависимости от ю и 1с монопольный ток (142.14) аналогичен электрическому квадрупольному. Соответственно и момент Яо представляет собой величину того же порядка, что и квадрупольный момент. 14 этому заключению можно прийти также и путем истолкования (142.14) как компоненты Фурье тока в координатном представлении. Разложив в (142.10) множитель е ' ' по степеням 1сг и положив функцию ру, (г) сфсрическисимметричной, получим 711 з 142 МУЛЬТНПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ Задачи 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
