В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 128
Текст из файла (страница 128)
(122.2)) и„, Ю,, 1 + с~шм + — гггдм, агом, + = еэгр гном О О О О (136.10) ') При п = 2 эта формула очевидна, а ее обобщение легко достигается индукцней от а к и -> 1. дважды логлгиФмичеокля Асимпто'гика амплитуды 683 137 Интеграл в экспоненте берем из (120.14) (выражение, стоящее множителем при с1сг „„) и в результате находим окончательно следу.ющую асимптотическую формулу для сечения рассеяния электрона с энергией а при большой передаче импульса: йт = дггв ехр( — — 1п ~ 1п — ), (136.11) я' ж (9 !»т,, — 1п — -1 2г т (А. А. Абрикосов, 1956).
Первый (по о) член разложения этого выражения совпадает, естествеано, с формулой (122.12). Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить оз „г, то один из логарифмов в (136.11) становится порядка единицы; другими словами, дважды логарифмические поправки сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным испусканием фотонов любых энергий ') .
В принятом приближении экспопенциальный множитель в (136.11) обращается тогда в единицу, так что сечение оказывается совпадающим с борновским в соответствии с общим утверждением в конце 8 98. 8 137. Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния электрона на мюоне В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние электрона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем рассеяния строго назад, т, е, на угол й = я (В. Г. Горшков, В. УХ. Грибов, Л. Н.
Липатов, Г. В. Фролов, 1967). Этот процесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, ввиду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диаграммы. Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено излучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфракрасной расходиыости. Действительно, согласно (98.8), сечение испускания мягких фотонов 1 1 — У,'и 1 — У,',и 1 — У,п (137.1) гДе зге, Уи и тге, УР— скоРости частиЦ До и после столкновении. Но в ультраречятивистском случае равенство импульсов равнозначно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе ) При рассеянии на конечный угол сформулированное в З 98 условие мягкости фотона требует только, чтобы было ы„,„„« -, что позволяет с логарифмической точностью применять полученные здесь формулы и при м а 684 лсимптотичвскив в огммлы квлитовов элвктгодиилмики гл.
хш центра инерции при рассеянии назад м, = — ъи = — ъ', = м',. В резулыате выражение (137.1) обращается в нуль. Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает в-каналу реакции, то в 4-канале он переходит в процесс превращения электрон-позитронной пары в пару р~р . В этом канале условие 0 = я означает, что совпадают направления движения е и р (и е+ и 1л ь). Подавление тормозного излучения в этом канале имеет особенно наглядный смысл, так как направление движения заряда каждого знака вообще не меняется.
Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды логарифмические поправки. Соответственно пе возникает (с той же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расходимости и при интегрировании по импульсам виртуальных фотонов в амплитуде рассеяния. ЕОли описывать процесс с помощью инвариантных переменных и = (Р, + Ри), 1 = (Р, — Р,,), и = (Р, — Р„) ., то РассеЯпию назад в улырарелятивистском случае будут отвечать значения и = — 4 )> гп„, и = О. (137.2) В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние электрона на мюоне описывается диаграммой Рв (137.3) Рв Ре Ри Ри Соответствующая амплитуда: у~~) — 4ко (й(иУ, иибл))(й(е)', и(е)) (137 4) уг Переход к предельному случаю (137.2) в этом выражении осуществляется заменой матричного 4-вектора з его «проекцией» з~т на плоскость, нормальную плоскости р, р, (или, что то же, плоскости р„, р'„, поскольку при ультрарелятивистском рассеЯнии назаД Р, — Ри, Р, — Ри).
Действительно, паРаллельными плоскости Р„р составляющими являются матрицы Ьрв + ~Ре) ~ (зрв Зре) (пеРваЯ совпадает с У,а втоРаЯ Равна ив 7, где и, -- оРт напРав- О лепия р,). Используя уравнения Дирака для биспиноров пой и и~и~, находим, что (й~"~ у~ибв~)(й~'~ у ~~и~'~) 1/в, и потому эти члены могут быть опущены. 1 137 двлжды 22ОГАРПФмичеокля Асимптотикл лмплитУды 685 В следующем приб.пижении добавляется диаграмма (137. 5) и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, которую удобно изобразить в виде, отличающемся от (137.5) лишь направлением одной из сплошных линий: (137.6) РР РР Исследование соответствующих интегралов показывает, что в обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады от областей мягких виртуальных фотонов: ~ (~ — р,) ~ << 2вв или 2 ~ (1 — р,) ~ << т,.
Эти вклады связаны с инфракрасными расходи- ! 2 2 мостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном случае заведомо должны взаимно сокрагцатьсгь В диаграмме (137.6) имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и от области больших импульсов: ~~~~ >> тЛИ Именно этот вклад и должен быть вычислен. Диаграмме (137.6) отвечает интеграл (2) .и ) (й~'~ З'(77+ИМ)-риа2ийпв З (чу+ п2Р)З МОО))Л 72 222 / (р' 7)2(72 П22)(72 П22)ОМ уР)2 (137. 7) где уже учтено, что р, р'„. Положим снова 1 = ир, + гр, + 1л (137.8) (ср. (137.13)). Дважды логарифмический вклад возникает от области, определяемой неравенствами ~эи~, (ае! >> р >> т~~; т~/э << (и), )п! << 1, (137.9) где р = — ~~. В (137.8) 4-вектор ~л определен так,.
что ~Ар, = = ~2р', = О; в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует, что в системе центра инерции 1л —— О, так что р = Гл. В числителе интеграла (137.7) можно пренебречь п2„тю а также всеми членами с и или и, множители н или о в числителе сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов. Замечая, что (р', — у) — 1и — — ви, (рв — у) — во, у — вио— — р, и преобразуя элемент интегрирования г1«у" г согласно (135.16), переписываем интеграл (137.7) в виде М(2), а / (и~" ч (у)в).~хгг~")(и~" у ("~Ув) у,игы) ~ у 1зу уг ~ г / ви вв(вигг — р -Ь го)г Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее путем усреднения по направлению Гт и замены (по тем же при- чинам, что и в (137.4)) .у, уУ на 'уз, уль. После простых преоб- разований получим Мг ) — М~ ),УП),,70) — — г — У Р " .
(137.10) уг 4вг г' ив(вив — р+ гО)г Накоггец, заменив в числителе тождественно р = (р — вио) + вио, можно опустить второй член, .который сократил бы простые по- люсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада. Таким образом, 70) 1 4ггг „г' ив(р — «ив — гО) (137.11) Этот интеграл по форме совпадает с (135.20), поэтому интегрирование по р производится тем же способом. Однако поскольку теперь р >) т, возникает условие вио >) т (вместо 2 2 вио > О). В результате находим (137.12) причем область интегрирования ограничена неравенствами нг„ув<и, о<1 вио>т (при вычислении с логарифмической точностью сильные неравенства >) заменяются простыми неравенствами >). Прямое вычисление дает ,У(') = — 1п (137.13) 4гг глг В более высоких приближениях теории возмущений интересующие нас вклады сги 1п "в получаются от аналогичных (137.6) диаграмм «лестничногов типа с большим числом «перекладин«к Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика 686 лггнмнтотнчвокнк воемклы кввнтовов элвктводннлмнкн гл.
хш 1 137 двлжды лоГАРПФАгичеокля Асимптотикл лмплитиды 687 амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой рг р. ггМГг = г + г р.~ р~. ,Гг~) = ( — ) / ' ' ' ' ' (137.15) 2 Г 2и игиг(иг + иг)(иг + иг) М(э) МП) Гсэ) Гг, Гг с областью интегрирования тпсга < он 2, он 2 < 1, аигггм аиэог > т, 2 2 Дважды логарифмическую часть этого интеграла можно выделить, наложив на переменные интегрирования еще условия о2 )> оы и2 )> иы (137.16) Тогда Гсэ) ~ о ) / с)иг с)игр)игссиг ( о ) ( 2гс „с игигогиг 2гг где сг = 1п(аиг/тц)г г)г = — 1по;, а область интегрирования определена неравенствами сг > г)П ( > с)2) о > с2, г)2 > О; и = 1п(а/т~~). Аналогичным образом и-й член ряда может быть представлен в виде М~, ) = М~,),Гги), где Гг Гг 2 Г ,71")(о) = ( — ) / сгСс псс)ю ..
сг(грасс)иг (13717) с областью интегрирования ~г>с)г (г=1,2,...,п), ср>~и,г)и>0. Полная амплитуда рассеяния равна ~,=,'ф;Е '")~ )1 ( ) (137.18) гг=1 Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогательные функции Аси)(б, О), которые даются теми же интегралами (137.17), но с областями интегрирования б; > г)г (г = 1г 2, ..., гг), ( > (и > Ог с) > г)и, > О (137.20) г г г г г (137.14) Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда (137.14)).
Соответствующий ей интеграл можно привести к виду 688 лоимптотичвокик логммлы кнлнтовой элвктгодинлмики гл. хш (137.22) (137. 24) (137.26) (различные пределы интегрирования по С„и п„вместо одинако- вых в (137.18)). Очевидно, что Му; = Му, А(щ о), где Ю А(~ и) ~~~'А~ ~(~ й) А(е) 1 (137.21) п=о Из опРеДелениЯ фУнкЦий А(")(См О) виДно, что они УДовлет- воряют рскуррентным соотношениям: А(")(С, г1) = — / ггс1сЬ~1А~" Оф, п1), 2к / а просуммировав эти равенства по и (от 1 до оо), найдем инте- гральное уравнение, определяющее функцию А(с, и): А(С, О) = 1 + — / А(СМ гд)г18дг2ОМ 2я у гл > 'йы с > с1 > О, и > п1 > 0 Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию А(С, и) в области С > и. Тогда уравнение (137.22) можно запи- сать в виде л А(С, г1) = 1+ — Аф, п1)681 Адм (137. 23) о ~ Дифференцируя зто равенство по я, имеем = — / Аф, О)Н~м дл 2к„/ а дифференцируя затем еще и по с, находим для А(с, г1) диффе- ренциальное уравнение д2 4 — — А = О.
(137 25) днд4 2я Это уравнение должно быть решено с граничными ушювиями А(с, 0) =1, — =О, дп (=л непосредственно следующими из (137.23),(137.24). Решение можно получить с помощью преобразования Лапла- са по переменной С: А(см О) = — еж Я(р, г1) др., (137.27) с 1 137 двлжды ЛОГАРиФмичеокля Асимптотикл лмплиттды 689 где контур С в плоскости комплексного р --замкнутая кривая, охватывающая точку р = О. Подставив (137.27) в уравнение (137.25) и приравняв нулю подынтегральное выражение, получим р — = — Я, Я = 1р(р) ехр —, дЯ о оч дн 2п 2.гр где ~р(р) произвольная функция. Первое из граничных условий (137.26) дает теперыр(р) = 17р+ 1л(р), где гр(р) аналитическая функция, пе имеющая особенностей внутри контура С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
