В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 131
Текст из файла (страница 131)
ттозепд1НХ)2, 1950). Обратим внимания на то, что формфакторы Ге и г,в дают независимые вклады в сечение, интерференционные члены отсутствук>т. Это оправдывает целесообразность сделанного выбора формфакторов. Задача Найти сечение рассеяния электрона па адроне со спином О. Р е Ри е н и е.
Используя (138.5), имеем вместо (139.3) 4яет Мп = — — (й (1РА)п,)Р)с22). 212 Наконец, папигпем формулу для сечения рассеяния ультрарелятивистского электрона на нуклоне при /41/» пи Под с)2 мы по- прежнему понимаем квадрат передачи иъ2пульса в системе центра инерции, так что инвариант 1 = — с)2. В системе же покоя назального нуклопа (лабораторная система) имеем — 2(РВР',) = 2сее',(1 — сов д), где е„е, начальная и конечная энергия электрона, а д угол РассеЯниЯ в этой системе. В УльтРаРелЯтивистском слУчае ее свЯ- вана с д той же формулой, что и при рассеянии фотона (ср. 140 низкоэнеРГетичеокАя теОРемА для тОРмОзнОГО излучения 699 Для сечення получаем ССо— 11О сСС)12 — и)' + С4Ъ| — С)С) Р СС) сг 1 1 )2]~ сМ )2)12 Собозначення те же, что н в 1139.4)).
При / С /» гаг ,д 2 СОЗ Р 2(С) 4н = 1)о',—, 4Е, 4 2е , 2 '. Ин — 1 Š— веа 2 ЛХ 2 Собозначения те же, что и в (139.10)). 9 140. Низкоэнергетическая теорема для тормозного излучения В 3 98 был исследован процесс испускания фотона при столкновении частиц в пределе, когда частота фотона стремится к нулю. Оказалось, что амплитуда процесса обратно пропорциональна пг и простым образом выражается через амплитуду того же столкновения без испускания мягкого фотона (об этой последней мы будем снова говорить условно как об амплитуде «упругого» рассеяния и обозначать ес как ЛХсУ,"Р). В следующем по пг приближении будет С вЂ” 1) СО) +и, (140.1) где к главному члену (сс п1 ') добавляется не зависящий от щ (сс щ ) поправочный член. Мы увидим, что и этот поправочный Сунр) (как и главный) члея может быть выражен через ЛХС, Р, причем независимо от деталей электромагнитной структуры адрона.
Это утверждение называют гсизкозгсергетической теоремой для тормозного излучения (Г'. Е. Лою, 1958). Мы видели в 3 98, что основной вклад в амплитуду испускания мягкого фотона (отвечающий первому члену в (140.1)) возникает от диаграмм, в которых фотон излучается непосредственно на Сальной или конечной частицей.
Это - диаграммы вида е Сс Р1 Рг Р1 (140. 2) Рг Рг 700 ГЛ. ХГР ЭЛВКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ в противоположность диаграммам вида ф (140. 3) в которых фотонная линия выходит из внутренних частей диаграммы. Для графиков (140.2) характерно, что они могут бьггь рассечены на две части путем пересечения одной линии виртуального адрона (начального или конечного). Другими словами, они иллюстрируют существенное в данном аспекте свойство: наличие одночастичного промежуточного состояния с одним адроном. Мы видели в ~ 79, что в силу требований унитарности это свойство уже само по себе приводит к появлению полюсной особенности в амплитуде. Предположим для простоты, что из двух сталкивающихся адронов электрически заряжен (и потому может излучать) лишь один (первый) и что оба адрона не имеют спина.
Волновые амплитуды и таких адронов -- скаляры, которые полагаем равными 1. Тогда вклад в амплитуду от полюсной части диаграммы (140.2,а) имеет вид зМ~,~ = ъ~4яе*(2ри1 — 1с")ег',1Г. (140.4) У~ и 1 йн Р)г М Первый множитель отвечает фотону й (еи его 4-вектор поляризации). Второй множитель отвечает электромагнитной адронной вершине (жирная точка на диаграмме); она записана в форме (138.5), г' - формфактор адрона. Третий множитель -пропагатор виртуального адропа р1 — А (М- его масса).
Наконец, множитель гТ обозначает весь осгальной блок. Последний отличается от амплитуды упругого процесса Р1 гч (140. 5) заменой реального адрона р1 виртуальным р~ — Й. Среди первых членов разложения выражения (140.4) по сгепеням ы будут члены: 1) обратно пропорциональные ш, 2) не зависящие от ы, по зависящие от направления 1с, 3) не зависящие от ы, 1с вовсе. Члены третьего (и только такого) рода возникнут также от Внеособых» диаграмм — диаграмм вида (140.3), 140 НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕОКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 701 не содержащих полюсной особенности, и от неполюсных частей диаграмм (140.2). Мы увидим, что все такие члены вместе однозначно определшотся по членам первых двух типов условием калибровочной инвариантности н потому не требуют специального вычисления. Амплитуда упругого процесса (140.5) зависит лишь от двух инвариантных переменных: З = (Рс+Рг) = (Рс+Рг); 2 = (Рг — Рг) .
(140.6) Замена рс на рс — А не только превращает з в (рс — А + рг)г, но вводит еще и зависимость от новой переменной (Р1 — й) — М = — 2(рс)с), хаРактеРизУюшей «нефизичностьп импУльса Рс — )Г. Но Уже пеР- вый член разложения по этой новой (малой) переменной устраняет особенность в амплитуде (140.4) и потому может дать в ней лишь не зависящие от Й члены, которые, согласно сказанному выше, нас пока не интересуют. Таким образом, мы приходим к важному заключению, что вместо величины Г в (140.4) можно подставить физическую амплитуду М, (я, 2), лишь заменив в ней е -+ (Рс+Рг — )с) = а — 2А(рс+р2). (140.7) Первые члены ее разложения: дМ,' и" à — у М1,.п" (з, 2) — 2(Крс+Крг)( Л ) .
По такой же причине несуществен тот факт, что электромагнитный формфактор р' относится здесь к вершине, в которой из двУх адРонных концов (Рс и Рс — Й) лишь оДин физический. Его можно поэтому заменить рассмотренным в 2 138 формфактором вершины с двумя физическими концами, а поскольку фотон Й в данном случае реальный, то Г'(А~) = Г'(О) = гс, где егс заряд адрона.
Таким образом, находим из (140.8) д 2(е"рс) (упр) — 2(йрс) дйрСУ"Ю вЂ” е сеъ/4гс2(е*рс) 2(ргй) и +, (140 8) — 2()ерс) де где многоточие означает члены, не зависящие от Й вовсе (между тем как второй член в (140.8) зависит от направления 1с). Аналогичным образом найдем, что вклад в Мс, диаграммы (140.2,б) 702 гл.
хге ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ отличается от (140.8) заменой рм рз, А на р1, р~2, — й. Для главного члена разложения получим в результате известное уже нам выражение ( — 1) /' /(р~е ) (Г1е ) ) (упя) (140.9) 11 ' ~,( ~ь) ( ь),/ гг (ср. (98.5)) Не зависящие же от )е члены можно определить из требования, чтобы амплитуда в целом была калибровочно-инвариантна. Именно, она не должна меняться при замене е* — ~ е* + сопа1 Ач т.
е. должна иметь вид М7; = е,'„7", причем йи,7" = О. Легко видеть, что для этого нужно добавить к (140.8) не зависящий от й член — 2Х1 еу 4я(ряе'), и аналогично для диаграммы (140.2,6). В результате получим окончательно Ф) * ~ И(лей) И ИЬЫ ~И1 Олег Му; — — '2Х~,сч 4яе р~ — — рз + р1 — — ря ~ 0,~) О,ь) ' ~ о. (140.10) Эта формула решает поставленную задачу. Ее можно представить в более компактном виде, заменив тождественно 2рзи( ) = ( ) (и аналогично для д/др1) и введя дифференциальные операторы е11и — — "'" й (140.11) 'и ь) 0г1 0г" (и аналогично е7~ ). Тогда М7, — — Х~ЕАГйе,*„(01~ + д," М~~В~ . (140.12) Сечение определяется квадратом ~Му,~з с требуемой точностью ,з ~М(-1) ~е ( (70 (о)*) Второй член дает искомую поправку к сечению излучения. Просуммировав по поляризациям фотона, получим для этой поправки следующее выражение; — 4Те(Х1е) ( ~ — ~ ) (е11+с1~)д~М иВР ~~.
(140.14) 141 ниэкОэнеРГетическАН теОРемА для РАссеяни55 ФОГОнА 703 Таким образом, поправка к сечению излучения выражается через сечение упрутого процесса и его производную по в. Если заряженный адрон имеет спин 1/'2, то вся принципиальная сторона вычислений остается прежней. Меняется лишь конкретный вид вершин и пропагаторов. При этом оказывается, что после усреднения по поляризациям адронов и фотона остается справедливой формула (140.14) (Т.
У. Втгпей, 55". М. КРОИ, 1968). й 141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на адроне й' / 41 / 14 / (141.2) р' а б в из которых первые две снова характеризуются наличием одночастичного промежуточного состояния и потому обладают полюспой особенностью. Аргументация и принципиальная сторона вычиг1ений остаются теми же, что и в З 140. Достаточно фактически вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм (141.2,а б), причем электромагнитные вершины в них выражаются через статические формфакторы (заряд Уе и аномальный мап1итпый момент /5.
В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой неподвижной заряженной частице стремится к своему к.лассическому значенин5, даваемому формулой Томсона. Эток1у пределу соответствует не зависящая от частоты фотона Н5 амплитуда, которуто обозначим через МВ . Оказывается, однако, что и 00 для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем параграфе тормозного излучения) от деталей электромагнитной структуры адрона не зависит не только этот первый, но и следующий член разложения амплитуды по степеням ш: (141.1) где МП) н5 (Е Е.
ЕОИ5, 1954: М. СЕП-Мапп, М. В, Г ОЫЬехуег, 1954) Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех видов: 704 ГЛ. Хга ЭЛВКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ Му, = — 4уу(Ое)~е'*е,(й'арии), (141.3) где абри ( р+ур)тр Рук "Лу( и 8 ) + 17 — Ои) ~р у ~ (у" + Он'), (141.4) и — М~ В = (р+ Й) = (р'+ Й'), и = (р — Й') = (р' — Й) и для краткости введены обозначения рааууУ ЙЛ = хс~~~ раапи ЙЛ вЂ” — 8ЕООР'. р рл г ги Переставляя операторы ур+ М и учитывая уравнения й (ур — М) = (ур — М)и = О, можно преобразовать выражение (141.4) к виду у~Ни ~( р + ур) ('уй)у + 2р + у ('уй) 2р' ( л + ур)~ 20уй) 2(рий) уи(уь') + 2р'и Ои Ои у'(.уЙ') — 2р" ~ -Г '. 2(р%') 2(рй') „, ур Р ть -Р М,. ~, тр — уЙ' -Р М,в У 2(рй) 2(рй)' Такая форма записи (и аналогичная с переставленными Й и Й') делает очевидной калибровочную инвариаптпость выражения (141.3), условием которой являются равенства й~ (й С~' и) = (й арии) Й„= 0 (141.
7) (при проверке надо помнить, что ( уй)( уй) = О, ЙЯ = Й~У = 0). Однако, в отличие от случая тормозного излу.чепия, интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта существуют лишь для частиц со спином. Дело в том, что в случае тормозууого излучения кроме поправок, связанных со спином, имеются также ууоправки, связанные с энергетической зависимостью амплитуды «упругогоа процесса. 11о в данном случае роль последней играют формфакторы, которые для «физических концова сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому для рассеяния фотона поправки возникают только за счет магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина.
Ниже мы рассмотрим рассеяние фотона на адроне со спипом 1уУ2. Понимая под Муп вклад в амплитуду рассеяния от полюсных диаграмм, имеем (ср. (86.3),(86.4)) 141 ниэкОэнеРГетическая теОРемА для РАссеяни5! ФОГО5!А 705 Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама !ю себе, должна быть инвариантной сама по себе также и регулярная часть амп,литуды, включающая в себя и вклад диаграммы (141.2,в). Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой части по степеням Й и Й должно начинаться с квадратичных членов (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
