В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Поэтому окончательно можно представить Г~ 1 в виде (0 Р П) ",и17 2ФЕ (135. 11) ГДГ 1 = д~ — — 2(рГр2). (135.12) Отметим, что интеграл 7Г сходится при больших 2" и потому уже не тробует регуляризапии. Основной пункт дальнейших вычислений введение новых, более удобных переменных интегрирования.
Разобьем 2" на составляющие, тангенциальные и нормальные по отношению к плоскости рм р2: (135. 13) (135. 14) 1' = иР1 + ЕР2 + 2А = 2 ~ + ~т, ,7трГ = ~тр2 = О. В качестве жс новых переменных выберем коэффициенты и, и и величину Р = — 1А. 2 (135 15) Из условий (135.7) видно, что метрика в плоскости рГр2 псевдо- евклидова. Поэтому временную ось можно выбрать в этой плоскости, так что ~т пространственноподобный 4-вектор и р > О. Обозначим временно индексами 0, л компоненты 4-векторов в плоскости рГр2, а индексами у, е - компоненты в нормальной плоскости.
Для преобразования элемента 4-обьема й47" = = й ~тй 2' ~ к новым переменным пишем й22А = Я ~йЯ~й р = '12йр йр — э яйр (имея в виду, что подынтегральное выражение в (135.9) не зависит от угла ~р). Далее, й'13= ' ' й й = ~~ВР2*-РЕВР1*~й й =-М'М й д(7В, 1.) д(н, В) 2 Переставляя порядок матричных множителей и пренебрегая каждый раз, согласно условию (135.7), возникающими квадратами р„р2, т по сравнению с ~рГр2), получаем 2 2 2 678 лоимнтотнчвокив иогмилы квлнтовои элвктгодинлмнки гл. хщ Действительно, ввидУ малости квадрата Рг имеем Ргв Рго, и 2, 2 2 поэтому (Р1орги — Ргор1и) = (Ргорго — Рг Р1 ) = (Ргрг) = (ч !2) .
2,, 2, 2 2 2 Таким образом, Й 1 = — ! 1 (с~и гЬ Й ~т — ~ — ! 1~Йи йи дР. 2 2 (135.16) 2(ргг') 2(гнУ)(Уг -~- го) Для величин же (Р17), (рг)), 7 имеем = (иРг + орг) — Р = — Ью — Р, 2(Р1 1') = 2Р1 (ир1 + ирг) — йй 2(рг 7" ) — 1и. (135.19) Тогда йр ии 4~ 1,=- 2)П / р-ьйии — хо и и (135.20) Согласно условиям (135.18) интегрирование по р производится в пределах от О до меньшего из ~й~~ или ~1и~ и дает т1пйьи, )ы() й 1 о (135.21) Дальнейшие вычисления зависят от соотношения между ве- 2 ли гиьгами Рм Рг, т-. 1 ассмотйим два слУчаи. Случай вйртуальных электронных линий.
Пусть импУльсы Рм Рг отвечают виРтУальным электРонам, пРичем )р,), (рг( )> т . (135.17) Мы увидим, что основной областью интегрирования, приводящей к дважды логарифмическому выражению,. является в этом случае область, определяемая неравенствами 2 О < р « (1и), )Хо); ~— ' << (о! << 1; ' 2<< )и) << 1. (135.18) Соответственно жгому в знаменателе подынтегрального выражения в (135.9) можно пренебречь тг, Рг» Ргг, 12 по сравнению с (Р11) или (Ргг ), так чтО 679 1 13а Выделение ЛВАжды лОГАРиФмических членОВ Логарифмическое же интегрирование по в производится в пределах от — 1 до — ~рГ~Я и от )рзГ/й! до 1 (и аналогично по и).
При подстановке ((135.21) в (135.20) интеграл по диГ1в от первого плова обращается в нуль ввиду иечетвости подыитегральиой функции. Интегрирование же второго члена производится по интервалам значении и и и одинакового (при 1 < 0) или различного (при 1 )0) знака. В обоих случаях области е ) 0 и и < 0 дают (после интегрирования по 22) одинаковый вклад, и в результате находим (знак интеграла совпадает со знаком 8) 72 = — 2 !й — — = — 1п —, 1п —, . (135.22) и / в 8 р,' р2 ~,;72~ НВКОГГец, подставив значение 72 в (135.11), получим окоичатель- но 2 2 Ги~ 1(рз, рП д) = — — уи!п —, 1п— (135.23) И» И, ~14~ » -' Случай физических электронных концов.
Пусть теперь импульсы рГ, рз отвечают реальным электронам, так что 2 з 2 Р1 = Рв = ГП (135. 24) В этом случае существенна область интегрирования 0 < р « ~1п1 ~Ь2~; 0 < (в(, (и) << 1. (135.25) (135.26) Далее, имеем 7~ — — 122в — р, 2(р27) — — 1в + 2тпи, 2(рэли) — — 1и + 2ГГГ 20 так что 12 = — —, т = — « 1.
(135.27) 2/ П / р-Ь Сив+ Л2 — 20 22 — тв в — ти' Г Поскольку р~~ — гпэ = р~ ~— тз = О, то пренебрегая р~~ и р~з по сравнению с (рГ~) или (рз~), снова приводим интеграл (135.9) к виду (135.19). Для устранения появляющейся в этом случае инфракрасной расходимости надо, однако, ввести еще в фотонный пропагатор конечную массу фотона Л « гн (ср.
3 117): 680 АоимптОтичвские ФОРмулы кВАнтОВОЙ элвктРОдинАмики Гл. х1!! После интегрирования по р (аналогичяого (135.21)) находим 2(С( ./,т' и — ти Р— ти' причем интегрирование производится при условии Хин+ Л < О. 2 Области и > 0 и н < 0 снова дают одинаковый вклад, и после интегрирования по и находим 1 тт' /" ГР— Р~ т)Р— 1п ,/ (А — ГВ2)(т — В) Р 0 О 47 (135.
28) где д = Л2/1, ~5~ << ~т~ и учтено, что т) << 1. В интеграле (135.28) три области значений н приводят к дважды логарифмическим выражениям: 1) ~т~ << е << 1, П) Ят << е << ~т~, П1) ъ'т8 << е <<,Ят. (Для определенности считаем, что Ят « ~т~. Ответ от етого предположения не зависит.) Делая в каждой области соответствующие пренебрежения, получаем (135.29) 21 тт л~ Наконец, подставив в (135.11), найдем окончательно Г"161трзт р1,' т)) = — — ГЛ ()п~ ~ + 41п ~ 1п — 1, 1т135.30) 4тт Л тпт тпт Л ' )т) )» )р~! = (р~! = т, что совпадает с (117.21).
8 136. Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки Г М достигают значений порядка единицы, вычисление вершинного оператора требует суммирования всей бесконечной последовательности дважды логарифмических членов всех степеней по Гт. Решение втой задачи оказывается возможным благодаря тому, что такие члены возникают только от диаграмм определенного типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются связанными друг с другом простыми соотношениями. 1 136 двлжды логлвиомичвокля лсимптотикл опввлтовл 681 Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы убедимся ниже, от всех диаграмм вида (136.1) Ре „фп) р(1о ) (136.2) 2(р1 11 ) 2(р1 11+р112)... 2(р111+... -~- р11 ) 2(ре11 )...
2(реу~+... +Ре1 ) 2 2 е~ лее2 уе' (сумма берется по всем перестановкам индексов у импульсов ~ь в произведениях (р2~Ь); члены 10 и Л в знаменателях для крат- 2 кости не выписываем). Очевидно, что если переставить в сумме (136.3) каким-либо образом индексы у множителей 2"а в произведениях (р1Я, то это сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изменит значения Тп.
Поэтому можно распространить суммирование в (136.3) по всем перестановкам множителей ~ь как в произведениях (р2~ь), так и в (р1~ь), разделив после этого результат на пй и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую и левую электронные линии; при этом они могут любым образом пересекаться друг с другом. Перепумеруем фотонные импульсы 1ы 22..... в порядке следования, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диаграммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга перестановкой левых концов фотонных линий.
В каждом интеграле Фейнмана прои:зводим пренебрежения в числителе и знаменателе,. подобные тем, которые были сделаны в интеграле (135.5); после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при выводе (135.11). В резулыате сумма всех диаграмм с и фотонными линиями, составдяющая член оп в Г, представится в виде 682 ао1гмптотнчвокнк аогмклм квантовой элвктгодннамнкн гл.
хш Воспользуемся теперь важной формулой (136.4) ~ а1(а~+ос)... (ае+ая+... +а„) а1ае а„ аер где сумма берется по перестановкам индексов 1, 2, ..., ьз ') . Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегралов к произведению п одинаковых интегралов вида (135.19) (или (135.26)), так что 7а = 1'~')гй (136.5) Подставив это в (136.2) и просуммировав Г1а) по всем и = О, 1, 2, ..., получим окончательно Г" (р2, р1, .г)) = уд ехр( — ", 171). (136 6) В частности, подставив сюда 71 из ((135.22), получим дважды логарифмическую асимптотику вершинного оператора с виртуальными электронными концами ГР(р2, р~, 'д) = уи ехр( — — 1п — 1п— (136.7) 2Я Ре Рэ 3 ' ~ч'~ » И, Ы» т' (В. В. Судаков, 1956). Подставив же 11 из (135.29), найдем асимптотику для вершинного оператора в случае реальных электронных концов: Г (р2, р1, д) = у ехр~ — — ~1п — + 41п — 1п — ~ г, (136.8) Р .
1 / 2~9~ )О! 4я '1 ае л,) 1' 2 2 2 2 Множитель, отличающий Г" от его невозмущепного значения З", определяет также и отличие амплитуды рассеяния электрона во внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому сечение рассеяния сЬ = сЬн ехр( — — ()п —, + 41п — 1п — ~11. (136.9) оl 2~Ч~ ~~Г~ ш11 2н тэ лИ Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако, еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания различного числа мягких фотонов с энергией, пе превышающей некоторого малого га„,,о, т, е, на величину (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
