А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Чтобы выделить процессы, связанные с реакциями в канале Ь, надо эту функцию преобразовать к виду, который при гь-а со соответствовал бы расходящейся рассеянной волне относительно переменной гь. В силу (!16,1) функция Ча 1=Ч",+'(га, ~) =Ч'а ~(гь, ~), удовлетворяющая уравнению (116,8) (и интегральному уравнению), одновременно удовлетворяет уравнению (Еа Нь) Ч~а+ = Уь 1"а+. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !ГЛ. х2Ч С другой стороны, если бы мы исходили не из уравнения (116,8), а иэ уравнения (116,11), то амплитуда реакции в борновском приближении определялась бы выражением Ааа(п) = — ~яяяа) (Фа! Ь'а! Фь) н, следовательно, существенно отличалась бы от (116,16).
Эта неоднозначность приближенных выражений связана с неортогональностью функций начального Ф, и конечного Фь состояний, поскольку они являются функциями различных гамильтонианов Н„и Нь. ' й 117. Рассеяние электрона на атоме водорода с учетом обмена В $115 было рассмотрено рассеяние электрона атомом при условии, что падающий электрон и электрон атома считаются разными частицами. В этом случае асимптотическое значение волновой функции Ара+~ (Гьг2) = е' '"22 (Г2)— й„~а~-Г~ ~ — Явва ~~~~~ та(Г2) ~ та(Г2) ! 11 !а(Г!Г2)Ч (Г12 2)~~ ~ 1~~ ~2 а (117,1) при больших значениях Г, сводилось к виду Чга+~(Г,Г2) =еьта'12ра(Г2) + 1 <р„(Г2) А„(6) ехр(Й„Г,) —, (117,2) где Ааа= да (Фа!) а ! Ч"а+); Фа= э а"'Чга(ГЯ); (1!7,3) оператор 1'а определен (115,2). Если считать электроны различимыми, то наряду с указанным выше процессом рассеяния электрона 1 при возбуждении атома в л-е состояние, возможен еще процесс захвата электрона 1 в п-е состояние атома при испускании электрона 2 в направлении угла 6.
Такой процесс соответствует столкновению с перераспределением частиц, описанному в предыдущем параграфе. В этом случае оператор взаимодействия между электроном 2 н атомом, в котором место электрона 2 занял электрон 1, имеет вид 22 аеа ГЬ(ГТГ2)= (117,4) г„г, ' и конечному состоянию соответствует функция Фь(Г~ГЯ) 2р (Г,) ехр (Й Г2). гхссяяние элщп~онх нх хтомя водогодл $ нп Яз где Вла= ~р Ль [~ ь! Чга ). (1!7,8) Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния электрона а возбуждением атома в состояние и с.одновременным обменом электронами определяется выражением Нп„,= — "[ В„,(О) Рдй: (117,7) Чтобы учесть тождественность электронов, надо провести правильную симметризацию (по отношению к перестановке координат электронов 1 и 2) координатной волновой функции Чн~+>(г,гз), определяемой уравнением (!17,1). В системе двух электронов симметрия координатпой функции. зависит от спинового состояния системы.
Если при столкновении спины антнпараллельны (синглетное спиновое состояние), то координатная волновая функция должна быть симметричной относительно перестановки г~ и им следовательно, Ч",= Ч",+ (г,г,)+Ч",+>(гМ (117,8) Учитывая (117,2) и (117,5), мы убедимся, что функция (117,8) при больших значениях г1 имеет асимптотическое значение Ч',= е" '>фа.(г,) + ИлГ! + ~~)~~ ф„(г,) [А„ч+ В„,[ —, если г, велико.
(117,9) Г~ Прн больших значениях г~ та же функция имеет нсимптотиче- ский вид Ч~ = е ~а"~фа(г1) + жди + ~~~ф (г~)[А,(0)+В,(6)[ —,, если г, велико; л (117,9а) Из (117,9) (или из (117,9а) ) следует, что в синглетном спинозом состоянии дифференциальное сечение рассеяния Асимптотическое значение волновой функцииЧл'н(гхг,) при больших значениях г, в соответствии с (116,13) можно записать в виде Ч'~+>(гзг,)=~Ь ф„(г,)В„,(0) ~ '', если гх велико, (117,5) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. Х!22 электрона на атоме с возбуждением атома в и-е состояние определяется выражением О,=~АР.(6)+Вл.(6)р (а — '„". Если прн столкновении спины параллельны (триплетное спнно- вое состояние), то координатная волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки г, и го.
По- этому Ч', =ТР',+'(г,го) — 'Ч12+'(еог2). (117,10) 22ол 3 + ,')', фл (еа) (Ал. (6) — Вла (6)) — ', если г, велико, Ч'2= — е "гфо(в2) — ' Ьт г Л 2 — ~) 2рл (г,) (Ал,(6) — Вл,(6)) ЕСЛИ Е2 ВЕЛИКО. Следовательно, при рассеянии в триплетном спнновом состоянии г(о2=! Ала(6) — Вл,(6) ~22(й ф. " (1!7,11) а Для неполяризованных электронных состояний эффективное сечение рассеяния электрона на атоме при его возбуждении в н-е состояние равно 2(о = ( 4 ~ Ала — Ваа ) + 4 ! Ала + Вла ) ) пьт 2 В бориовском приближении в формулах (117,3) и (117,6) надо ЗаМЕНИтЬ Ч', (ГРГ2) ЗНаЧЕНИЕМ Е а 2фа(Г2), тОГда ПОЛУЧИМ СЛЕ- еы Ро г дующие выражения для амплитуд рассеяния: )Р о(г2) ~ ф (г )~ ~фон<~ гм Г иа Г .
-ыг+м ° г ~ 2ЛЙ',) Л 2 Г!2 22 где Тогда, используя (117,2) и (117,5), получим аснмптотические значения 2рг= е 2 фо(го)+ матрицА РАссеяния $11а) й 118. Матрица рассеяния При изучении общих свойств процессов рассеяния и реакций удобно использовать оператор рассеяния В, матричные элементы которого образуют Зсматрицу, или матрицу рассеяния. Матрица рассеяния связывает начальное состояние системы, когда сталкивающиеся части системы еще находятся на бесконечном рассгояннн, с конечными состояниями, соответствующими разлету продуктов реакции на бесконечные расстояния.
Пусть Ф,( — оо) — волновая функция начального состояния, характеризующая в момент временИ 1 = -оо относительное движение двух подсистем и их внутренние состояния. Оператор рассеяния В. определяет асимптотическое поведение волновой функции Ч' (оо) вне области взаимодействия, т. е. конечного состояния, возникающего к моменту 1= оо после столкновения. Таким образом, Ч. (-) = ВФ. ( — -). (118,1) Если Н вЂ” полный эрмитовый оператор Гамильтона системы, то оператор рассеяния В можно определить соотношением *) В= . 1(ш й(1 1о), (118,2) 1.+оо, го-+ — оо где й (1, 1о) = ехр~ — й Н (1 — (е) ~ (118,3) — унитарный оператор.
Функция Ч" (оо) характеризует все возможные процессы рассеяния и реакции, которые могут произойти после столкновения подсистем, находившихся при 1= — оо в состоянии Ф,. Обозначим через Фь одно из возможных конечных состояний, определяющих тип разлетающихся частиц, их внутренние состояния и относительное движение. Каждая из возможностей распада, *) С помощью оператора Гамильтона Н можно проследить за непрерывным изменением состояния от Фо( — оо) до Чг,(оо). Гайэенберг высказал мнение, что такое подробное описание не является необходимым, Для описания процессов рассеяния и реакций достаточно знать асиаптотическое поведение волновых функций до столкновения и после него, когда сталвивающиеся и разлетающиеся частицы являются свободнммн.
В этом случае можно отказаться от уравнении Шредингера и понятия гаыильтоииаиа и рассматривать равенство (118,!) как определение оператора 8. При таком подходе оператор Л и его матричные элементы, с помощью которых вычисляются ве- Ь оятиости различных процессов, являются основным и величинами теории. ока еще ие удалось на этой основе построить последовательную теорию (без введения уравнения Шредингера), способную описать как реакции, так н все связанные состояния. По-видимому, теория, содержащая только В-матрицу, не будет достаточно полной. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ.
Х[Ч ва2 .Квадрат. модуля коэффициента разложения (Фь|Ч',) в (118,4) определяет вероятность того, что при 1= со система находится в состоянии Фь. Используя (1!8,1), эту вероятность можно записать в виде [еьа=! (Фь !8 !Фа) !ь ! 8ьа Р=! (Ь! 8 !а) !ь. (118,5) Из унитарности оператора (118,3) следует унитарность оператора 8 и унитарность матрицы рассеяни[[. Унитарность матрицы рассеяния 3 определяется соотношением 3~5= !, (118,6) или в подробной записи ,'У[Заь|ьа= Х! Зьа !ь= 1 ь ь (1! 8,7) . Условие унитарности матрицы рассеяния (118,7), как легко видеть при учете (1!8,5), сводится к утверждению, что сумма всех вероятностей перехода равна 1.
Условие унитарности (1!8,7) накладывает некоторое ограничение на элементы матрицы рассеяния. Из определения (118,2) 'следует, что матрица рассеяния диагональна по квантовым числам, соответствующим интегралам движения в системе, т. е. относительно значений физических величин (полная энергия, момент количества движения~и др.), операторы которых коммутируют с оператором О. Квадраты модулей элементов матрицы рассеяния (Ь!5!а) определяют вероятности переходов (118,5) из состояния а в состояние Ь. Поэтому элементы матрицы рас[еяния не могут зави- характеризуемая индексом Ь, называется каналом реакции Начальное состояние и конечное состояние, соответствующие упругому рассеянию, относятся к входному [[аналу„все остальные состояний соответствуют выходным каналам.
В теории 3-матрицы рассматриваются только начальные и конечные состояния„соответствующие достаточно удаленным друг от друга подсистемам, когда можно пренебречь их взаимодействием. Поэтому начальное и конечное 'состояния соответствуют непрерывному спектру. При ядерной реакции происходит переход из определенного начального состояния (определяемого условиями эксперимента),в определенные конечные состояния непрерывного спектра.
Функции Фь (включающие как частный случай при Ь = а и функцию Ф„) образуют по определению полную ортонормированную систему функций, поэтому можно написать Ч'.а,('"') = Х Фь(Фь |Чга). ь МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ »11Ы сеть от выбора системы координат. В связи с этим элементы матрицы рассеяния могут быть функциями только таких интегралов движения, значения которых не зависят от выбора системы координат.
Например, в простейшем случае упругого рассеяния частиц без спина 5 109) матрица рассеяния содержала только диагональные элементы $1, которые зависели от квантового числа 1, характеризующего орбитальный момент количества движения й не зависели от квантового числа т1, определяющего проекцию момента на ось г. Если с падающей волной не происходит никаких изменений, то матричные элементы матрицы-рассеяния равны Зьа = бь . Поэтому процесс рассеяния (и реакции) принято определять оператором У = 5 — 1 с матричными элементами ( )аа1 ( Еьа, если Ь чн а.
(118,8) Новый оператор .аг' не унитарен. Из условия унитарности оператора рассеяния Я следует У»У = — (У + У»), илн в явном виде Х У ааУ аь = —. (У.,ь + У ь). (118,8а) Процесс рассеяния н реакций обычно характеризуется'эффективным сечением, которое определяется как отношение числа переходов в единицу времени к плотности потока падающих частиц (в системе центра инерции). Определим, как выражается вероятность перехода через матричные элементы У ьа илн матричные элементы матрицы рассеяния Зь . Учитывая, что энергия является одним из интегралов движения, можно написать (Ь ! Š— 1(а) = — 2п(Т„Ь (Е, — Е,), (118,9) где матричный элемент Тьа соответствует состояниям а н Ь, относящимся к одной н той же энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
