А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Поэтому Тьа называют матричными элементами Т-оператора на энергетической поверхности (см. $101). Множитель 2п1 выбран для удобства (см. ниже). Матричные элементы Т-оператора на энергетической поверхности связаны с матричными элементами оператора У соотношением ~ьа 2п»1! (Еь Еа) Тьа. (118,9а) Из равенства (118,9) находим 8»,= (Ь! а) — 2тиТ»аб(Е, — Е„), (118,10) кВАнтОВАя теОРия РАссеяния [гл. хщ вава —— (Ь|а) +~.х-(Ь !а)1тТва+ — ! Тьа |»Ь(Еь — Еа)) ~ »Ы. Следовательно, средняя вероятность перехода в единицу времени Рьа=а (Ь |а) 1впТ»а+ в ! ТьаРЬ(Е» — Е ) (118,!!) При Ь Ф а вероятность перехода в единицу времени равна Рва= Ь ! Тьа | Ь(Еь Еа) (118,11а) При Ь = а.это же выражение определяет и вероятность упругого рассеяния (в указанном 'перед формулой (118,8) смысле).
Чтобы получить сечение рассеяния и реакций надо разделить (118,11а) на плотность потока падающих частиц 1,=ЬЬ,/!ь,. Таким образом, получим д „= Ь',"' ! Т, |в Ь (Ев — Е ). а (118,!2) Конечные состояния лежат в непрерывном спектре. Если ввести число конечных состояний р(Еь) в объеме У, приходящихся на единичный интервал энергий, й провести интегрирование,по энергии конечных состояний, то можно преобразовать вероятность рассеяния и реакций (а- Ь) в единицу времени к следующему виду: Рьа=ф Тва !"Р(Е») =-~|(Р» !Т |тйа) |»Р(Е).
(П8,13) Сравнивая формулу (118, 13) с вероятностью перехода в единицу времени в первом приближении теории возмущений ($93), мы убедимся, что это приближение соответствует замене в (118,13) где (Ь|а) = Ь„. Подставляя (118,!О) в (1!8,5), можно вычислить вероятность перехода из состояния а в состояние Ь Та»а= ! Б»а |В= (Ь ГЧТ)»+ +~ Ь (Ь !а) 1тп Ть + Ь ! Тьа ! Ь (Еь Еа) ~2ЯЬЬ (Еь Еа). Заменяя в этом выражении 2ЯЬЬ(Е» — Е,)= ~ ехр~ Ь (Е» — Еа) 1(Ф и учитывая, что из-за наличия множителей (Ь|а) и 8(Еь — Еа) в фигурных скобках, в интеграле можно положить Еь = Е„ по- лучим мАТРицА РАссвяния а !щ оператора рассеяния Т оператором взаимодействия г', определяющим переход.
Этот предельный переход оправдывает выбор множителя в (118,9). Если система описывается оператором Гамильтона Н = = Но+ У, где Но — оператор бесконечно удаленных частей системы, то вероятность перехода в единицу времени, как показано в $1!4, определяется выражением 1 ьа= а ! (Фь !) ! Ч а+ ) ! р (Еь) (118,!За) где функция Ч" является решением интегрального уравнения +) Чь+''= Ф. + (Е, — Но+ !т!) ' тЧ"а '; (118,14) Е, = Еь — энергия системы.
Сравнивая (118,13) с (1!8,!За), мы видим, что с точностью до-фазового множителя (Фь! Т !Ф,) = (Фь !У ) Ч"„+'). (118,15) Если ввести оператор ьв+> с помощью соотношения то из (118,!4) будет следовать операторное равенство 4)ь~~ = 1+ (Š— Но+ 1т!) У(1~~~. Чтобы выполнялось равенство (118, 15), можно положить Т = г'ьь'+', (118,15а) тогда оператор Т будет удовлетворять операторному уравнению Т=.'г'+ $" (Š— Но+ (ч) Т.
(118,!6) Из операторного уравнения (118,!6) следует (Е,— Н+ 1т!)(Е,— Но+ !т!) 'Т=У, где Н = Но+ г' — полный оператоР Гамильтона. Умножая полученное операторное равенство слева на (Еа — Но+ !Ч) Х Х(Е,— Н+!и)-', находим Т= $~+ У(Е,— Н+ !т!) 1У. (118,16а) Вспоминая общий вид амплитуды рассеяния (114,13), можно выразить амплитуду рассеяния непосредственно через матричный элемент оператора Т. Для этого достаточно использовать соотношение (1! 8,15), тогда имеем Аа'а = — у (Фа' ! Т ! Фа). (118,17).
356 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. хщ Для вычисления эффективного сечения рассеяния и реакций надо подставить в формулу (118,13) явное выражение для р(Еь) и Разделить на плотность потока 1а падающих частиц. Во всех предыдущих з(араграфах этой главы мы нормировали плоские волны, описывйющие движение свободных частиц„на плотность потока, численно равную скорости относительного движения, т.е.
Ф, = ~р„($) ехр (йага), Ььа Ва Фь = Ч'ь (ь) ехр (1йьгь) Число конечных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии при рассеянии в направлении единичного вектора пь в элемент телесного угла з(ь1, определяется выражением яььь '~~ ззр(Еь) = (ен)з аз ° Следовательно, яаьзьзь з(аь =1- ь(Рььз 1 „„ьзь 1(Фь(Т!Ф ) 1дй.
(11818) Если функции Ф, и Фь сталкивающихся и разлетающихся частиц нормировать на дельта-функцию в энергетическом пространстве, т. е. положить 1 зава 1эз 1 аЕап ) = Гзйзаз-) Ф, ~ ЬЕьпь) = ~апззйз/ Фью то эффективное сечение рассеяния и реакций (118,18) преобразуется к простому виду зззаьа= — (ЬЕьпь!Т!аЕапа) Рзй2в Еь=Е ° (118з19) В формуле (1!8,19) начальное состояние задано значениями полной энергии Е, н единичным вектором па распространения падающих частиц. Состав частиц н нх состояния определяются буквой а.
В центрально-симметричных полях интегралом движения частиц без спина является орбитальный момент количества движения, поэтому начальные состояния удобнее характеризовать парциальными волнами с определенными значениями квантового числа 1. Это легко осуществить с помощью преобразования (ЬЕьззь ~Т ~аЕ,па) = Х (ЬЕьпь1Т ~ аЕа1т) (1т !п,), (118,20) где функция преобразования (см. $27) (1т Ььа) = Уьа (па).
(118,20а) (ЬЕааь! Т ! аЕа10) = (яь ! 10) (ЬЕа10 ]Т ! аЕа10) Усо(ссь) (Ь !Тс ! а), где (Ь ! Тс ! а) = (ЬЕ,10 ! Т !.аЕ 10). Подставляя это значенпе в предыдущую форлсулу, находим а = —,/~)'2!.Й)' ) )сыт,) )! аа спь)ц После интегрирования по всем направлениям испускания, а также учитывая ортогональность функций Уссь находим интегральное сечение рассеяния и реакций аьа= + ~' (21 + 1) ! (Ь ! Тс ! а) аг.
(118,22) а Если ввести матрицу рассеяния 8Я на поверхности энергии с помощью соотношения (Ь ! 3 ! а) ~ Ььаб (Еь Еа) (118,28) то, используя равенство (118,9), можно найти связь между матричными элементами оператора Т и матрицы рассеяния 8~ы бьа"= — 2пс(Ь ! Тс !а). Подставляя это значение в (118,22), находим интегральное сечение рассеяния и реакции оьа — — ь ~)~~(21+1) !8ьа — бь !'.
а (118,24) $ ссь! мАТРицА РАссеяния 667 Если выбрать направление оси е вдоль вектора и, то У»а (ва) — б 2с+ 1 4я Подставляя (1!8,20) в (!18,19), получим шд„—,!~Г2$;~)ька,)т) Б,)о)!аа, сл а,: аа!с Учитывая далее, что матричные элементы оператора Т в центрально-симметричном поле диагональны относительно квантовых чисел 1лс, имеем Дифференциальное сечение (!18,21) при этом принимает вид с)оьа = — 1 ~ )/21+1 Усь (ль) (Зь~ — бь Я с)И. (118,25) ьа КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл.
х!ч Сумма всех сечений реакций оьа по всем возможным каналам Ь ~ а называется полным сечением реакции и обозначается буквой о„Таким образом, [та = а~~~и~ пьа = 2 5~' ~ (21+ 1) ! 8ьа ! ° (1!8,26) ь[ь а> ь, а[=о Из (118,24) следует, что интегральное сечение упругого рас- сеяния ОЭ о.= и ~)~~(2!+1)(1 — !8 !'). Ао Если возможно только упругое рассеяние, то аз' — — 0 при Ьчььц Поэтому из (11828) следует !8е'!2=! и 8~'=ехр(2!Ьт), где бь — действительные фазовые смещения. Если возможно не- упругое рассеяние и реакции, то некоторые матричные элементы 8ьа Ф 0 н !8„! (1. Положим 8аа=т[те~'~т, тогда о, = — ~)~ (21+ ! ) (1 — ф.
за[ о Далее, из (118,27) находим о, = — 2 ~~)~~ (2! + 1) (1 + т[[ — 2т~ соз 26,). (118,30) Аа ь о (! 18,29а) При тя = 0 парциальное сечение реакции от достигает максимального значения (от),=(21+1) — „. При этом парциальное а сечение упругого рассеяния имеет такую же величину. При т[ь = 1, 6[ = и[2 парциальное сечение упругого рассеяния достигает максимального значения (о',) „,= +, прн этом о,'=О. 4(Я[+ [) п а о,— оа = — „')' (2!+!)!8, — 1! . (118,27) Условие унитарности матрицы рассеяния можно записать в. виде Х !8;.'!'+!82!'= !.
(1! 8,28) ь [ьта а[ Поэтому полное сечение реакции (118,26) можно выразить через матричный элемент 8 соответствующий только входному е[ каналу мАТРицА РАссеяния $1Щ Вернемся теперь к выражению (1!8,11), определяющему вероятность перехода в единицу времени. Если просуммировать это выражение по всем возможным состояниям Ь (включая и а), то, учитывая, что ~~'.~ьсь = 1, получим ь О= Ь 1шТаа+ В „)' ! Тьа!»Ь(Еь Ед) ь Согласно (1!8,11а), второе слагаемое в этом равенстве определяет полную вероятность Р, в единицу времени рассеяния и реакций из состояния «а» во все возможные состояния той же энергии. Таким образом, полная вероятность рассеяния и реакций в единицу времени выражается через мнимую часть диагонального элемента матрицы Тьа с помощью простого соотно- шения Ра 7~ Ь ! Тьд ! Ь(Еь — Ед) = — Ь 1п1 Таа.
ч,"1 2п 2 ь Разделив это равенство на плотность потока йадающнх частиц ЬЬ,~11, и учитывая равенство (118,12), определяющее сечение реакций и рассеяния, и амплитуду рассеяния (118,17), можно выразить полное сечение о через мнимую часть амплитуды рассеяния вперед 4п о = ~~ оьа = — 1ш А,',. Ьа ь (118,3 1) Это соотношение носит название оптической теоремы. Частный случай этой теоремы при наличии только упругого рассеяния был рассмотрен в $109. В начале этого параграфа уже отмечалось, что 5-матрица диагональна относительно значений физических величин, операторы которых коммутируют с оператором Гамильтона системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
