А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Для реакции, идущей по 1У возможным каналам, комплексная матрица рассеяния содержит 2ЖА вещественных параметров. Вследствие унитарности матрицы рассеяния н 1 теоремы взаимности только — Ф(У+ 1) нз этих параметров яв-- и ляются независимыми. Для доказательства этого утверждения запишем матрицу рассеяния в следующем виде: Ф 2 5= (! 19,15)' 1+ — й 2 где Я вЂ” эрмцтова матрица, т.
е. Ю = Ют. Представление (119,15) удобно тем, что в этом случае унитарность матрицы Я выполняется автоматически: ЗР= 8 '. Из (119,15) следует 1 — 8 — Ю= —. 2 !+8' Эрмитова матрица 11 (порядка Ф) обладает такими же свойствами симметрии (119,13), как и матрица Я, Следовательно„ в представлении полного момента матрица 1г эрмнтова и симмет- 1 рична. Поэтому она имеет — Ф(0+1) независимых вещественных параметров, которые полностью определяют рассеяние и реакции. квьнтовья таогия гьссзяння [гл. хп~ В заключение этого параграфа рассмотрим различные эквивалентные выражения вероятностей переходов и сечений реакций.
Как было показано в э 118, вероятности переходов н сечения реакций пропорциональны квадрату матричного элемента Тьа (Фь ! Т !Ф.), (1 19,18) где Ф, и Фь — соответственно волновые функции начального и конечного состояний, а оператор Т определен операторным уравнением Т= г'+ г'(Е,— Но+ !т1) Т, (119,17) где »Р вЂ операт взаимодействия; Но †операт, определяющий относительное движение и внутренние свойства сталкиваю- шихся частиц.
Используя равенство (!18,!6) ТФа = УЧ'да~~, тот же матричный элемент Ть можно записать в виде Тьа= (Фб !» 1Ч~а )г (! 19,18) где Ч' — волновая функция, удовлетворяющая интегральному ьы уравнению »Ра = Фа + (Еа Но + 1Ч) У»Ра, (119,19) соответствующему уходящей рассеянной волне при падающей волне Ф,. Введем теперь функцию Ч'ь ~ с помощью равенства (119,20) Ф» Т Ч ~ тогда матричный элемент (119,16) можно записать в виде Т =(Ч) '~Р~Ф.). (119,21) для вывода уравнения, определяющего функцию»рь ~ в (119,21), и выяснения ее смысла,.умножим уравнение (119,17) слева на функцию Фь. Используя равенство Фьр (Еа Но + 1Ч) = (Е Но 1Ч) ~ УФ» следующее из эрмнтовости операторов Но и г', имеем Ф»Т = ФьР+ (Š— Но — 1Ч) ~'Ф»Т.
з по! яоссзяння изваянных нвптоонов атомными ядглми ззз Учитывая (119,20), нз этого уравнения получаем уравнение, которому удовлетворяет функция Ч'о ~ Ч'о = Фо+ (Š— Оо — 1Ч) 1'Ч'о . (119,22) Вспоминая рассуждения, проведенные в 5 107, можно сказать, что интегральное уравнение (1!9,22) определяет'яолновуюфункцию ЧФ~, соответствующую функции конечных состояний Фо и представляющую сходящуюся к центру волну.
Итак, матричный'элемент То„может быть определен' тремя выражениями Тоо = (Фо 1 ТФа) = (Фо! У )Ч~ао ) = ( Ра ~ У! Фо)» (1 19 23) где оператор Т удовлетворяет операторному уравнению (! 19,!7), функция Чу+~удовлетворяет интегральному уравнению (1!9,19), а функция Ч'о ~ удовлетворяет интегральному уравнению (119,22) . 9 !20.
Рассеяние медленных нейтронов атомными ядрами Эффективные сечения рассеяния нейтронов на атомных ядрах определяются ядерными силами и зависят от свойств ядер и энергии относительного движения нейтрона и ядра. Точное вычисление эффективных сечений рассеяния в настоящее время невыполнимо из-за плохого знания волновых функций, определяющих основное и возбужденные состояния атомных ядер; и больших математических трудностей. Приходится прибегать к некоторым упрощениям.
Одно из таких упрощений базируется на малом радиусе ( !О 'кем) действия ядерных сил. Область взаимодействия нейтрона с ядром практически совпадает с объемом ядра. Если обозначить наименьший радиус, при котором еще не проявляются ядерные силы, буквой )г. то прн энергии относительного движения оооо/(2р), соответствующей неравенству Мт ~ 1, в рассеянии участвуют только з-волны (1=0). Неравенство Й!г ~ 1 выполняется в сравнительно широком интервале энергий (Π— 5 МэВ). Нейтроны таких энергий называют медленными нейтронами. Если в первом приближении не учитывать спиноз нейтрона и ядра, то вне области действия сил (г л 1г) волновая функция етноситеяьного движения нейтрона и ядра в з-состоянии может быть записана в виде гф(г)е е — Яое, За=8 -и и ео Эта функция нормирована на поток падающих частиц, численно равный скорости относительного движения.
Согласно (118,29) и КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. хщ -'570 о,= —,~ 1 — Яр ~2. (120,3) Злемент матрицы рассеяния Яр можно выразить через безраз- мерную логарифмическую производную функции (120,1) при ,г=Е 1(Е) = )! ~ ~ = — гх — — ~-7„-, (120,4) 1д!"Р)! . !+Я"" гф ~гг=а -1 — яре~'х аде х=эйЕ. Выделим В логарифмической производпой вещественную и мнимую части, положив ЦЕ)= !р — й; тогда, разрешая предыдущее равенство относительно Ер, находим с э-мх !» А) Фр ор= э (. !.А)+;~, ° Подставляя это значение в (120,2) и (120,3), получаем 4я хэ 'х !х+ А)~+ К 4Я! х ~2 а,= — 2~, + +е'".з!Нх~ .
(120,6) Так как функция г2) и ее производная должны быть непрерывны, то значение ЦЕ) при г = Е полностью определяется условиями во внутренней области г Й. Величины !р и й являются функциями энергии относительного движения. Если й = О, то ! = !р, (Ер! = 1, а, = О, т. е. имеется только упругое рассеяние, не сопровождающееся какими-либо реакциями. Значение энергии Е„при которой 1р(Е,) = О, называют резоланслой энергией. При резонансной энергии сечения реакции (120,5) и упругого рассеяния (120,6) достигают максимальных (резонансных) значений.
Разложим !р(Е) вблизи одной из резонансных энергий в ряд по степеням разности Š— Е„;, тогда )р(Е)=(~ ) (Š— Е,)+ г Ограничившись первым членом разложения и введя обозначения хх 2А (дс 1е л ~дЕ)а е (120,7) (118,27), в этом случае полное сечение реакции и сечение упру:гого рассеяния выражаются через Бр простыми формулами о.= ах (1 — 1ЕРВ (120,2) 4 вяз РАссеяние медленных неитРонов Атомиыми ядРАми е71 можно преобразовать сечение реакции (120,5) к виду г,г, А2 (и — и ) +Гт14 (120,8) называется. амплитудой резонансного или внутреннего рассеяния А„= — „е" з)их (120,11г называется амплитудой енешнего или потенциального рассеяния,.
так как эта часть амплитуды рассеяния зависит только от радиуса й и от энергии относительного движения. Иногда А„„называют амплитудой рассеяния на непроницаемой сфере. Это название связано с тем, что сечение рассеяния, обусловленное только этой частью амплитуды, равно ее= 4п! Апьт )г= — аз!от(й)!) ~ 4п!!т. (120,12~ Если бы ядро представляло абсолютно отражающую сферу радиуса )г, то прн г = !г волновая функция обращалась бы в нуль. В этом случае АР, — — О, и сечение рассеяния определялось бы только формулой (!20,12).
Разделение амплитуды упругого рассеяния иа две части: амплитуду резонансного и амплитуду потенпиального рассеяния— зависит от выбора значения !т и является некоторым формальным приемом. На опыте измеряется только сумма Ар +А „. Подставляя (!20,10) и (120,1Ц в (120,9), находим сечение упругого рассеяния 1 — ге + е'АЯ з1 п (йй) Š— Ег — — Г 2 (120,13) Введем обозначение (120,14) 2(Š— Е,) = Гс!дб. где Г = Г,'+ ГЕ В тех же обозначениях сечение упругого рассеяния имеет вид ив= 4И! '1рьэ+ Алат 1 з (!20,9) где Ар„——— (120,10) и Етг — 1' 2 (гл. Яот КВАНТОВАЯ 'ТЯОВИЯ РАССЕЯНИЯ тогда ! 2 Г Г ! " Г .
= — 'з!пбе'А Е Ег — Р 2 и (120,13) принимает симметричный вид о, ==.р- ~ — ' з!и б ем+ з!и (й/(те'Аа ~ . (!20,16) Фазовое смещение 6, определяемое формулой (!20,14), является ункцией энергии. В случае изолированного резонанса прн л Е, фазовое смещение б ж 0; при приближении Е к резонансной энергии фазовое смещение б-+и/2; при переходе Е через резонансное значение Е, фазовое смещение скачком изменяется до '— 'п/2 и при дальнейшем уменьшении 'энергии фазовое смещение снова стремится к нулю. Полученные формулы (120,8) и (120,!3) описывают рассеяние при энергиях, находящихся вблизи резонанса Е,. В области, мало отличающейся от Е„амплитуда резонансного рассеяния значительно больше амплитуды .потенциального рассеяния, поэтому сечение упругого рассеяния при Е ж Е„приближенно выражается только через квадрат модуля амплитуды резонансного рассеяния г ( В)Рм Фа (Е Е Р+ Г2/4 *(120,16) Формулы (!20,8), (120,13) и (120,!6) называются формулами Брейга — Вагнера или дислерсионными формулами для изолированного резонансного уровня.и !, равного нулю.
Из (!20,8) и (120,16) следует, что при значении ~ Š— ЕД = Г/2 эффективное сечение уменьшается в два раза по сравнению с максимальным значением; следовательно, Г равно ширине резонансной кривой (изображающей зависимость сечения от энергии) при значении сечения, равном половине максимального. Величину Г часто называют шириной резонансного урозня.
Величину Г„называют.частичной шириной, отвечающей упругому рассеянию нейтронов во входном канале, так как она определяет вероятность упругого рассеяния (120,16). Величину Г, на зывают частичной шириной, отвечающей реакции. Рассмотрим теперь простейшие случаи, при которых можно вычислить логарифмическую производную (120,4)..При энергии нейтронов, заключенной в интервале .от нескольких МВВ до 40 МэВ, столкновение нейтрона с ядрами со средним и большим атомным весом сопровождается почти полным поглощением нейтронов, т. е. ядро можно рассматривать для таких нейтронов как абсолютно черное тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
