А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В качестве примера, иллюстрирующего зависимость матрицы рассеяния от волнового числа й, рассмотрим рассеяние нейтрона на протоне. Как было указано в $110, такое рассеяние характеризуется в синглетном спиновом состоянии длиной рассеяния а, = — 2,5 1О-м см, а в триплетном спинозом состоянии — длиной рассеяния а~ =4,3 10 'з см. Учитывая (110,15) и связь матрицы э-рассеяния с фазовым смещением я см с1або+ ! (123,21) сск а. — ! КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл.
х[ч Таким образом, амплитуда рассеяния также является функцией волнового числа Й, и ее можно аналитически продолжить в область комплексных значений й. При этом нулям и полюсам матрицы рассеяния будут соответствовать 'нули н полюсы функции йА(0). В частном случае рассеяния в кулоновском поле (см. (111,10)) эта функция имеет вид УХ([+ [Х) ехр1 — 2[А[ив!Я(В/2)1 вг([-[л) м (э[в) где й=+.— ° е 1У2е'[2 [[2А (123,24) где знак плюс соответствует случаю отталкивания, а знак минус — случаю притяжения. Таким образом, при кулоновском притяжении между частицами функция ЯА(0) имеет нули, лежащие на отрицательной мнимой оси, при значениях Ы,г,е2Р Ь2Л Этим значениям й соответствуют связанные состояния с энергией [[2А2 К2К2 е Е При 22 = 1 эта формула в точности совпадает (см.
5 38) с дискретными уровнями энергии электрона в поле ядра заряда 2[е. Итак, связанным состояниям системы соответствуют нули функции йА (О) на отрицательной мнимой оси. Обратная теорема не.всегда справедлива. В некоторых случаях матрица рассеяния может иметь лишние нули, не соответствующие свнзанным состояниям. Лишние нули матрицы рассеяния всегда отсутствуют в системах с потенциалом конечного радиуса действия.
Поэтому при вычислении спектра связанных состояний можно исключить лишние нули, заменив реальный потенциал потенциалом с обрезанным краем на некотором достаточно большом расстоянии 1[. Затем и выражениях, определяющих нули матрицы рассеяния этой люднфицированной системы, следует перейти к пределу Й-еле (см. примеры в книге [115)). Нули функции ЙА(0) соответствуют значениям А, при которых аргумент гамма-функции Г(1 — (А) равен целому отрицательному числу или нулю, т. е. при значениях (Л = л, где л = = 1, 2, ... Подставляя эти значения в (123,24), находим значения й, при которых функция ЯА(0) обращается в нуль (123,25) э ма диспп сионные соотношения в теогии.тлссвяння зш Амплитуда и матрица рассеяния являются аяалитическимн функциями в комплексной плоскости й = д, +;~)г Это их свойство является следствием принципа причинности~ согласно которому причина должна предшествовать следствию.
Аналитические свойства матрицы рассеяния зависят от вида потенциальной энергии. Используя аналитические свойства матрицы рассеяния и амплитуды рассеяния на потенциале конечного радяуса действня. можно по аналогии с рассмотренным выше случаем днэлектрн веской проницаемости установить ряд полезны» (см. Рябо™ (116 — 1191) интегральных соотношений, которые также носят название дислерсионных соотношений, Здесь мы рассмотримтолько простейшие днсперснонные соотношения для амплитуды Рассеяния вперед Аз = А (0).
Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния вперед легко получить, если учесть, что для любой аналитической функция 1(а) от комплексного переменного з согласно теореме 1(ошн можно написать равенство ~ '(*,'",* =2п(',)'„р, где интегрирование ведется по замкнутому контуРУ не в«лючающему точку а, ~~~~ р обозначает сумму вычетоя от всех полю- И! сов функции 1(з) внутри контура. Если точка а леж"т на дей ствнтельной оси и функция 1(г) не имеет полюс~~ на действнтельной осн и убывает достаточно быстро при г - '~ а верхней полуплоскости, то прн соответствующем выборе контура н"те грирования последнее равенство можно преобразовать к внду О У ~ 1(* ) "~;д~ (з) — 2п( ч~)~~~ р (123,26) Здесь знак У указывает, что интеграл следует ив|числить в смысле'главного значения в точке а=з', Из (123,26) непосредственно следует связь между мнимой н действительной частями функции 1(а) на действительной оси Ке((з) = — з.
1 ~ш)(а)~~ 2ре ~~1~~ р . (123,27) Если взаимодействие между частицами обладает конечным радиусом действия, то амплитуда рассеяния впеРед прн й стремится к конечному действительному пределу Аз(оо) Слепо вательно, Функция Цй) = Аз(й) — Аз(ао) буде'г стРемитьсЯ к [гл. Хщ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 592 нулю при й- оо и к ней можно применить соотношение (123,27); тогда получим Йе Ао(й) — Ао(оо) = — „У ~ А, с(Я' — 2йе ~„р, (123,28) где р — вычеты функции Аа(й), соответствующие связанным состояниям. При рассеянии медленных частиц З~ ~ 1 только для ! = О, поэтому, согласно (123,23), имеем Если выразить За через длину рассеяния а согласно (123;22), то получим АО(А) — А2+ ((, ° (123,29) Из этого равенства следует, что при з-рассеянии АА(оо) = О.
Действительная часть амплитуды рассеяния является четной функцией й, а мнимая часть нечетной функцией. В частном случае это утверждение следует непосредственно из (123,29). В общем случае в этом легко убедиться, если выразить с помощью равенства Я~= ехр (216() амплитуду рассеяния вперед через фазовые смещения Ао = — ~', (соз бс з(п б, + 1 з!пз б!) (21 + 1), ! с=о и учесть, что, согласно (109,23), фазовые смещения являются нечетными функциями й (б~ — й"+').
В общем случае такая нечетность фазовых смещений следует из (123,14), если учесть, что 8(я) = ехр(218(й)1 Учитывая нечетность 1тпАА(й), можно написать Используя далее связь (118,31) между мнимой частью ампли- туды рассеяния вперед и полным сечением 1т Аа(й) = —, Аа (А) 4я $ Щ МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ здз можно преобразовать (123,28) к виду Ве Аэ(й) — Ао(ео) = я, У ) (а р ь, — 2 Ке~~р„,. (123,30) о ПФ Равенства (123,28) и (123,30) называются дисперсионными соот- ношениями для амплитуды рассеяния вперед.
В $123 было показано, что аналитическое продолжение матрипы рассеяния с вещественной оси волновых чисел Й = д~ в комплексную плоскость й= 4~+!дз позволяет связать ряд важных свойств квантовых систем с особенностями матрицы рассеяния в комплексной плоскости й. В центрально-симметричном поле матрица рассеяния зависит как от волнового числа й, так н от квантового числа 1, определяющего орбитальный момент. Поэтому интересно исследовать поведение матрицы рассеяния при ее аналитическом продолжении в комплексную плоскость 1, В этой плоскости только целочисленные значения ! = О, 1, 2, ... соответствуют реальным орбитальным моментам системы. При исследовании аналитических свойств матрицы рассеяния в плоскости комплексных значений ! удобно ввести величину Л = 1+ 'Й.
Тогда реальным моментам будут соответствовать значения А ='!м э~м ... При этом уравнение (109,5) для радиальной функции Й~(г) преобразуется к виду ~ —,+ Й~ —, ' — 0(г) ~й(й, Х; г) О, (124,1) где функция Й(Й,А; г) удовлетворяет граничному условию (124,2) Рассмотрим вначале з-состояние. 'Тогда уравнение (124,1) н условие (124,2) принимают вид ~ „~, + йт — (~(г)1 ~ ~~, 1; г) = О, Й(я, Чт, '0)=0. (124;3) (124,4) Если на бесконечности потенциал спадает быстрее г-э, то уравнение (124,3) имеет два независимых решения 1(л, '/т, г) и !'( — а, Ъ г), удовлетворяющих граничным условиям ~~ч- л, —; г) -~е™; или !!те*'А'~р й, —; г) =1. (!24 б) ! / Г.Ь О гЗоэ 2 124А. Матрица рассеяния в плоскости комплексных моментов КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл.
х»Р 594 Такие решения называются решениями Йоста. Оии удовлетво- ряют интегральному уравнению 1(а, —; «) =и-»А'+ — ') з(пя(«' — «)!7(«')7(а, —; «')И«'. (124,6) Из решений йоста можно составить линейную комбинацию, образующую функцию К (й, 1, «) — Ст( — й) Е (й, —.
«) — Т(й)1( — й, 1, «и, (124,7) удовлетворяющую граничному условию (124,4), если '1(й).==1(й, »/х, О) и 1( — й) — 1( — й, 1/х, О). (124,8) Функции (124,8) называются функциями Йосга. Учитывая (124,6), мы убедимся, что при «- оо функция (124,7) принимает асимптотический вид Й(й 1, ) ' ~ -»А. 1»А»»А) Сравнив зто выражение с (!09,7) при ! = О, находим, что функции йоста (!24,8) связаны с матрицей з-рассеяния соотношением (й) ! (А) 0 !1 А)' (124,9) Учитывая равенство !( — Я) = ) *(а) и связь ор(а)=еа'а »А» матрицы рассеяния с фазой рассеяния, находим ЬА(й) = агд 7(а), т.
е, Ьс —— »р(й), если 7 (а) = )~ЩФЦ е»Р»А». Решения йоста для об»цего уравнения (!24,1) обозначим через 1(~й, Л; «). Они должны удовлетворять граничным условиям 1пп е'А»А !'(»- й, Л; «) = 1. (!24,10) Решение уравнения (124,1), удовлетворяющее граничному условию (!24,2), можно выразить через решения йоста А+у К (й, Л' «) = л) (7 ( — й, Л) Ий, Л; «) — ) (й, Л) 1 ( — й, Л; «)), (124,1!) где 1 (~ й, Л) == 1 Ы /г, Л; О) — функции Йоста. Асимптотическое значение (124,11) при г- оо в соответствии с (124,1О) принимает вид )с(л.
Л:г)= — ~е 'А' — ' е42'~. (124,1!а) ° ' 'г и, Иль) ',.+' Ть ! !( — ь. Л) Сравнивая это выражение с (109,7), находим связь матрицы рассеяния с функциями Йоста 444 !'1 — А, Л) ' (124,! 2) Предположим теперь, что Л принимает произвольные комплексные значения, н исследуем поведение полученных выше выражений на комплексной плоскости Л. Можно показать, что функция Йоста 1(й, Л) является аналитической функцией в полу- плоскости !(е Л ) О н удовлетворяет равенству ) (/г, Л) = !' ( — й', Л').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
