А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Из равенства (124,13) и выражения (124,12) следует условие комплексной унитарности матрицы рассеяния 3' (й', Л') = Б ' (й, Л). Согласно (124,12), при фиксированном я матрицы рассеяния имеют полюсы при значениях Л2 (й), удовлетворяющих уравнению !( — й, Л) =О. (124, 14) Эти полюсы называются полюсами Раджа. Если уравнение (124,14) имеет одно решение для каждого вещественного й2, то функция Л;(й) изображает на комплексной плоскости Л кривую, которую называют траекторией Раджа. При наличии нескольких решений уравнения (124,14) каждому решению соответствует своя траектория Редже.
Если функция Цй) вещественна при й2 ( О, то ее полуцелым положительным значениям будут соответствовать связанные состояния системы. Комплексным значениям Ц44) при й2) О, вещественная часть которых близка к полуцелым значениям, а мнимая мала, соответствуют резонансы в системе. Если я = — !4)2, то значения 4)424>, удовлетворяющие равенству Л,(4,) — —,'=1, 1=О, 1,2..., будут определять связанные состояния с энергией Е= — йт(4ф~2)4 и орбитальным моментом, соответствующим квантовому числу!.
4 124) МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ Чав квантовАя' теОРия РАссеяния . " [Гл. х!ъ' В качестве примера рассмотрим-траектории Редже для частицы, движущейся в кулоновском поле р(г) = — уев/г. Как было показано в $1!1, фаза б~(й) кулоновского рассеяния определяется формулой (1!1,21), следовательно, матрица рассеяния выражается формулой 8 тйт вЦ1А1 Г(!+ 1+11А) (124,15) где (124, 1б) Если аналитически продолжить выражение (124,15) на область комплексных значений 1 = 1(й), то' полюсы 8-матрицы будут г соответствовать таким значениям 1=1(й), при которых аргумент гамма-функции Г(1+ 1+ ф) равен нулю или целому отрицательному числу, т. е.
-и» 1(й)+1+ (ьь= т= О, 1, 2, ... (124,17) Каждому значению Р будет соответствовать свои траек-Щ1 торня Редже. Те места этой траектории, в которых Ця) Рие. 26. Две первые траектории Ревже илв ПРИНИМаст ЦЕЛЪ|Е ЗНЕЧЕНИЯ иои'Р'ивово "'" крт " "' им к "в' 1= О, 1, ... будут соотбражвют реальные еоетожпы. ветствовать связанным состояниям. Согласно (!24,!6) и (124,17), такие состояния имеют волновое число апти Йт(в+1+ !) / Рвт ! н энергию в атомных единицах ! — т~ и=О, 1, 2, ...
(124,!8) Сравнивая (124,18) с (38,!4), мы убедимся, что эти выражения совпадают и число т является радиальным квантовым числом иж определяющим число узлов радиальной волновой функции стационарных состояний водородоподобного атома. На рис. 25 изображены две первые траектории Редже для значений Я = О ив=1, потенцихльное и Резонхнсное РА стянне ззг й 125, Потенциальное и .резонаисн4~е Массеяиие В 3 123 было показано, что процессаз2 "аспада квазистационарных состояний' отвечают.'нули .мат!2иц(2 рассеяния при комплексных значения йа= 41 — 142, 41 =" 42) О, которым 0 соответствуют энергии Е = Ео — — Гть 2 (125,1) где (125,2г (41 925 Ед —— , -Го=— зи Исследуем более подробно вид матрицы рассе1ния для энергий, блиаких к Ее.
Согласно (!24,12) и (124,!3), пРН фиксированном вешественном 4"матрица рассеяния как фу"к2(ия волнового числа й выражается через функции Йоста 1(а) ((~1 32(й)=( — 2)'1( А) =(- ) у'(а2 . (125,3) Волновое число йз' распадающихся состо"~2!й удовлетворяет уравнению 1(йе) = О, поэтому, разлагая фу22ЕЦ22ю Йоста в области значений йе и ограничиваясь учетом т2тль22о линейных членов, получаем (и — йе) = а(Я— Следовательно, прн й ж /гз матрица 'рассеяна (125,3) принимает вид (Ч ( 2 (Й 2+4) а'(е — 42 — 2421 Введем обозначения Е= —.
Е,= —. Г,= — — „, . е 2 ( — 1) —.. (!25,5у З2А2 Ищ, 2Иу2й Ьа 20> 2 а 2 ~ ° 2 ЗИ я Тогда выражение (125,4) преобразуется к в22дУ 52(я)=е 2=е'2~~ 1 — ' 2 . (125,6) е — е„'!4 Г Второе слагаемое в (125,6) имеет резонанс22ы" характер. Величины Е, и Г, называют, соответственно, энераятй и ишриной резонанса. Сравнивая (125,5) и (!25,2), мы УЧедимся, что прн 42 ~ 42 онн связаны с энергией и шириной квчзистацнонарного уровня соотношениями Ф~ Ю~ Из (125,6) следует, что при Š— Е, з Гг Фазовое смещение 62 = 6~(0).
Следовательно, 52(0) определяет фазовое смещение КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. Х['а вдали от резонанса. В окрестности резонансного уровня, используя равенство ,.„+, — — ехр(21 агс!а я), из выражения (125,6) получаем Первое слагаемое в (125,8) описывает потенциальное рассеяние. Если 5[(0) 4. 1, то сечение потенциального рассеяния а)аг 4п(х[+ [) 52(0) (!25,9) В случае з-рассеяния на бесконечно высоком потенциальном барьере радиуса !с, согласно э 110, фазовое смещение бо(0) = = — И!, следовательно, сечение потенциального рассеяния акса 4П)!о о совпадает с поперечным сечением барьера.
Третье слагаемое в (125,8) описывает резонансное рассеяние. При резонансной энергии Е = Е, опо достигает максимального значения ага 4н (о[ + [) [.макс Аа При Е = Ег~ Г/2 сечение резонансного рассеяния равняется половине максимального значения (125,10). Согласно (125,7), при резонансе фаза резонансного рассеяния (125,!О) (б,), (и + ф) и, где и — положительное или отрицательное целое число. Второе слагаемое в (125,8) описывает интерференцию между резонансным и потенциальным рассеянием. Ь[ — — б[(0) — агс!в о!м ' м ) . (125,7) ! г) Это равенство указывает, что возрастание Е при переходе через значение Е, сопровождается изменением б[ на и.
Первое слагаемое в (125,7) называется фазой потенциального, а второе — резонансного рассеяния (см. также $120). Зная элемент матрицы рассеянии, можно с помощью (109,13) вычислить сечение упругого парциального рассеяния а, = —, (21 + 1) ) 1 — 3[ ~=, ~ ~ ! — е ' [[ '1 + Š— йг+ — Г р г $12п когеРентнбй и некогеРентное РАссеяние неитРОнОВ $ 126. !(Огереитное н некогерентиое рассеяние медленных нейтронов Если нейтроны (или другие частицы) рассеиваются веществом с упорядоченной структурой и длина волны сравнима с расстоянием между ядрами, то в рассеянии наблюдаются интер ференционные эффекты.
Поскольку расстояние между ядрами в твердых и жидких телах порядка 10-А см, то указании~ выше условия выполняются для нейтронов с энергией, не пре вышающей 0,025 эВ (что соотнетствует длине волны 1,8)( Р,' 10-з см). Такие нейтроны называют тепловыми нейтроналж Для тепловых нейтронов' безусловно выполняется неравен. ство йа ч." 1, где а — размер атомного ядра. Поэтому тепловнг нейтроны являются медленными нейтронами и их рассеяние ни отдельном ядре возможно только в состояниях, описываемын парциальными волнами с 1=0. Следовательно, рассеяние тею ловых нейтронов сферически симметрично. А(ля данной энергии относительного движения и определенного спннового состояния рйссеяние характеризуется матрицей рассеяния с одним отлич. иым от единицы матричным элементом 5м так что соответствующая волновая функция задачи рассеяния может быть записана в виде ф(г) (е-мР с,вм~) Чтобы найти связь между элементом матрицы рассеяния ЯА и амплитудой рассеяния, выделим из асимптотического значенят волновой функции задачи рассеяния ф = е'"'+ — ем' А парцнальную з-волну, которую обозначим через фм Учитывав, что при больших значениях е О м,, ч~)~~~ (21+ !) т мп !РР— й~/е) 1-0 (126, 1) находим ЧЬ = — ',д (Е-'А' — (1+ 2йЛ) ем'1 (126,2) Сравнивая (126,2) с (126,1), получаем искомое соотношение ~о=1+21й 4.
(126,3) Это соотношение следует непосредственно н из (!09,10). Амплитуда рассеяния А является комплексным числом. Полагаи А = а+ 1(1, находим сечение упругого рассеяния в, = —, ) 1 — ЯР )' = 4п ) Л )2 = 4п (ае + Я, (126,4) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !ГЛ. ХОР и сечение реакции О,= —,, (1 — (Яо(о)= — — 4п(а +()т)= — „— ао. (126,5) 4ЯР Из (126,4) и (126,5) следует, что полное сечение рассеяния и реакции (в соответствии с оптической теоремой (118,3Ц) зависит только от мнимой части амплитуды рассеяния о,=о,+ а,= —,(1 — КеЯо) = —. 4яф о — А ° (126,6) Если известны сечения упругого рассеяния о, и полное сечение рассеяния Ои то из (126,4) и (126,6) можно определить значение р и значение вещественйой части амплитуды рассеяния и (по- следнее с точностью до знака).
Таким образом, (! 26,7) !+!+Ив У вЂ” Ив !+ И+! ' 1- И+! (126,8) Если учесть, что Х = Х+ в и ' 2Ув = Хо — Хо — во, то легко убе- диться, что действие проекционных операторов (126,8) на спи- новую функцию системы Кгм определяется следующими равен- ствами: если Х = Х + 1/о если Х = Х вЂ” Чо. если У=У+'/о если Х = У вЂ” /в. ( ко~ "+Х™=1 (о, т1-хм ( к 1К,,и . Если амплитуда рассеяния не зависит от спинового состояния системы, то рассеянная волна будет когерентной по отношению к падающей волне, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
