А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Если все изотопы, входящие в состав кристалла, имеют одинаковую амплитуду рассеяния, то изотопическая некогерентность отсутствует. й 128*. Упругое рассеяние медленных нейтронов кристалламн с учетом колебаний атомов При исследовании упругого рассеяния нейтронов кристаллом с учетом колебаний атомов около положения равновесия удобно использовать аналитическое выражение энергии взаимодействия медленного нейтрона с отдельным ядром в виде ядерного псевдо- потенциала, введенного Ферми (120] эпв2 У (г) = — — АЬ (г), где А — амплитуда рассеяния медленного нейтрона ядром.
Потенциал (128,1) выбран так, чтобы уже в борновском приближении эффективное сечение рассеяния правильно выражалось через амплитуду рассеяния. Действительно, подставляя (128,!) в (108,5), имеем Р» » Итак, оператор взаимодействия медленного найтрона с кристаллом, состоящим из ядер одноизотопного элемента со спинам нуль, можно записать в виде У (г) = — ~ б (г — Ат„), (128,2) где 1à — радиус-вектор, определяющий положение ядра в кристалле.
Если базисные векторы единичной ячейки кристалла аь аь аз, то Ю» — — и + а„, где вектор и = ,'~~ ~и;а~ указывает узел решетки, а вектор смещения и„характеризует отклонение ядра от равновесного положения в и-м узле. При не очень высоких температурах потенциальная энергия (П) колебаний атомов кристалла представляет собой КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл.
х!ч / 2 Чсз и„= ~~ —, г ет,у,р(((п); (128,4) здесь М вЂ” масса ядра; ~ з)п (йп), если дз > О, г' (дп) = (128,5) ! сов(дя), если дз < О; 99 Р(пп) — плоские стоячие волны с волновым вектором и и поляризацией 1, характеризуемой тремя единичными взаимно ортогональными векторами еч! для каждого вектора д. Вектор д определяется равенством мх зп д = ~ †„, ч,й,. где Ь| — введенные в $127 базисные векторы обратной решетки; тн — целые числа, удовлетворяющие неравенствам — — <т!Г» (з, 1=1 2, 3..' Ф~ .
/Чв Легко убедиться, что функции Р(дп) удовлетворяют соотношению ~)~~ Р (в(п) Г'(дп') = — Фб В дальнейшем для простоты записи вместо двух величин д н 1 будем пользоваться одним индексом з = (я, 1); тогда (128,4) примет вид "" ф~ м~ Х е Ъг пуп) Волновая функция, описывающая колебательное состояние, соответствующее энергии Х йе,т, при определенном наборе в квантовых чисел (тв) осцилляторов, будет иметь вид Ф, =Ц~р, (~'). где «,=)/ — „ ~~'1 — нормированная волновая функция гармонического ~в 1ев/ квадратичную функцию смещений ядер из положений равновесия и может быть записана в виде суммы квадратов и = —,','~~;,у,р (128,3) з9 где утт — нормальные координаты, связанные со смещениями из положений равновесия соотношениями $1ЭЗ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕИТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ ЕОЭ осциллятора типа з, соответствующая состоянию с квантовым ЧИСЛОМ Ты Начальное состояние системы, состоящей из кристалла и нейтрона с энергией Ь'й9(21А), в первом приближении можно изобразить волновой функцией (а)=Ф( )ехр(1йг), а конечное состояние — функцией ~ Ь) = Ф(;) ех р (1йг).
В борновском приближении вероятность перехода в единицу времени из начального состояния (а) в конечное состояние 1Ь) с направлением волнового вектора нейтрона й' под влиянием возмущения (128,2) равна (128,6) 11РАв = — ! (Ы )Г1а) (вор(еь) где (Ь1у( а) = — ~ ~~)~~ ехр(1п (й — й)) Ц М„, (и), (1287) в в М ° (а) — = ~ ехр (1(й — й') е,у,г (1уп))/ — ~1р 1р Г(у',; (128,8) — плотность числа конечных состояний на еди- ДО. (эя)в Ьв ницу телесного угла н энергии. Если воспользоваться свойствами нормированных волновых функций гармонического осциллятора, то можно показать [121),.что Ь(о+к. в (х) — = ~ ехй ( д ) 1Ро+л ( а ) 1Рв ( а ) А('т' = = .„„,.„х(...) „Ы Матричные элементы (128,8) получаются, из (128,8а), если положить х= Г(й — й') е,Г(дп) )/— / Величина х 1у — 'А, поэтому при больших значениях й( в ряду (128,8а) следует сохранять только члены с наименьшими ЕЕ А.
С. Давыдов 1ГЛ. ХГР КВАРТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ значениями х М»,(п) — 1 — з (),'~» + — ) Рч (нп), М»+ь» (и)= рр'ррах з Р(р!п)р М» ~,,(п) = — 1() ~г — ' Р(дп), (128,9) где А), — (й — йр) ер ~1— МФЕр (128, 10) Разделив (128,6) на скорость падающих нейтронов — и за и число ядер в кристалле й(, получим эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла,:отнесенное к одному ядру, д, = ~~ ° .
! (Ц Г (а) (т, (128,! 1) При упругом- рассеянии й'= й и»,' =»,. Подставляя (128,7) при этих значениях в (128,! 1), находим рр~(р — р'а) рр, (128,12) где рр-(Прр...,ь>('-(Ц(р — —,'а.'(. р!)Ри р1('. р р рр= р( — — '~а'( р — ')). <ррр,рр) Для сравнения с экспериментальными результатами необходимо усредннть полученное выражение по всем начальным состояниям колебаний решетки. В результате такого усреднения квантовые числа», в (!28,13) заменяются йа средние значения Учитывая, что при х малом, 1 — к ж'е, можно преобразовать последнее выражение к'виду рр =-р( — Ки(.,р-,')рчр.р1: 5. Далее, пользуясь определением функций Р(дп) (!28,5) можно при суммировании по з (напомним, что суммирование по з включает суммирование по всем значениям д) объединить поАпарно члены, отличаюшиеся только знаком д,.
Тогда, учтя, что Ррь>о(ол) + Р~,<о(пп) = 1, находим $ !Вэ УПРУГОЕ РАССЕЯННЕ МЕЛЛЕННЫХ НЕИТРОНОВ КРНСТАЛЛАНИ ш ! т,=(е " — 1), где Т вЂ” температура кристалла в энер тегических единицах. Итак, эффективное сечение упругого рассеяния нейгрьонов кристаллом, отнесенное к одному ядру, принимает вид — = — ~~~~ ехр (!в (й — й')) ехр ( — 2)У), (:8,14) да 1А!а! ~а 12 где ( 18,15) )р= — ''~~,(т,+ — ') В а следовательно, е (а — Й')а к~ 1+ 29, (1- 5 4МУ ай~ в =м8, 16) а где ~ч~~ обозначает суммирование по всем возможнын ччастотам нормальных колебаний. Учитывая, что в объеме У а нчнтер'а'ва м'в хо.
вале частот в, в+'дв содержится,, нормальных леба. анака ний определенной поляризации, можно перейти от сумин к интегралу н написать ммакс Х в 2 ага ~ (1+.2т)ваав» ( %8,17) Ф Ф где в~,„,= бнаса р опРеделЯетсЯ из УсловиЯ. макс Сравнивая (128,!4) с выражением (127,15),полученным з $ 127 для случая ядер, закрепленных в узлах решетки, мы убадаеамся, что учет возможности смещений ядер йз их равновесных аноложений приводит к уменьшению эффективного сечения ра ссеяння на величину Ехр( — 2%у). Этот множитель зависИТ Рт температуры и свойств кристалла.
Для вычисления явного вида Му используем упрошенеуаяо мо дель колебаний решетки — модель Дебая, в которой Ою)1аость звуковых .волн в твердом теле предполагается незавнстмС:ай от поляризации. В этом случае, подставляя в (128,5) за~~чение (128,10), легко выполнить суммирование по поляризаци" ~фононои, так как Х! (й — й') е ! ~а=(й — й')а; ! егл. х!у КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 612 Подставляя значение т в (128,17), преобразуем (128,16) к виду Прн упругом рассеянии (й — й')'= 4ххз!пх(872), где Ю вЂ” угол рассеяния. Полагая далее Яв „, = тт (температура Дебая в энергетических единицах), получим е зайфйх~йх— ме Ь+ О(х)1 ° (128,18) где 1 Г х'дх' Е В(х) — — ~,, х= —.
хх .1 кх — ! Т о Легко убедиться, что з' ~~~) . если Т(с,О; 0 (х) = — если Т » 6. Т Множитель УР" приводит к ослаблению 'упругого когерентного рассеяния для всех углов рассеяния 6 Ф О. Он возрастает с ростом угла рассеяния, энергии нейтрона и температуры кристалла. При Т = 9 множитель В' по порядку величины равен 1х/М, где р — масса нейтрона, а М вЂ” масса ядра рассеивателя. Следовательно, для тяжелых ядер е-з"' ж 1 и смешение ядер из положения равновесия Существенно не влияет на интенсивность когерентного рассеяния.
гллвл ху ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ ф 129. Теория адиабатическогв приближения Г)ри квантовомеханическом исследовании свойств молекул и твердых тел приходится рассматривать системы, состоящие нз электронов и атомных ядер. Так как атомные ядра в десятки н сотни тысяч раз тяжелее электронов, то в среднем они движутся значительно медленнее электронов. В связи с этим возникает возможность приближенного исследования свойств молекул и твердых тел, считая в нулевом приближении ядра покоящимися, а в последующих приближениях учитывать движение ядер методами теории возмущений.
Такое приближенное рассмотрение носит название адиабатического приближения. Чтобы понять основные идеи метода адиабатического приближения, рассмотрим систему, состоящую нз некоторого числа электронов с массой р и атомных ядер с массой Л1. Совокупность координат всех электронов относительно центра инерции всей системы обозначим буквой г, а совокупность координат ядер — буквой Л. Оператор Гамильтона, определяющий внутреннее состояние системы, можно записать в виде Н = Тя + Т, + У (г,' Я), (129,1) где Ь' Г~ д' Тг= 7~ 2я дг~~ — оператор кинетической энергии электронов (легкие частицы); Ь" 'Кз д' 2М ~"з дк~ — оператор кинетической энергии .ядер (тяжелые частицы); 1Р(г, й) — оператор потенциальной энергии взаимодействия между всеми частицами.
Адиабатическое приближение основывается на предположении, что оператор кинетической энергии Тя тяжелых частиц можно рассматривать как малое возмущение. Напомним, что ранее мы обычно считали оператором возмущения часть оператора потенциальной энергии. В[4 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЕ СВЯЗИ [ГЛ. ХУ Итак, перепишем оператор (129,1) в виде Н=Н +те, (129,1а) (129;2) где Но = ! о + ! (г» Й. Тогда в нулевом приближении, когда масса тяжелых частиц рассматривается бесконечно большой, задача отыскания ста- ционарных состояний системы сводится к решению уравнения Шредингера (Но — е„(Н)) ф„(Н, г) = О (129,3) для фиксированных значений координат й тяжелых частиц.
Индекс и определяет совокупность квантовых чисел, характеризующих стационарное состояйие. В каждом таком состоянии, соответствующем определенному значению и, энергия системы е (Й) и волновые функции ф„(й,г) зависят от координат тяжелых частиц Н как от параметров. Таким образом, функции ф„(й»,г) характеризуют состояния движения легких частиц при фиксированном значении координат Ф или при бесконечно медленном изменении Н (адиабатическое изменение). Допустим, что мы знаем решения уравнения (129,3) (простейшие случаи решения аналогичных уравнений будут исследованы в следующих параграфах); тогда нахождение стационарных состояний системы с полным оператором Гамильтона (129,1), т. е. решение уравнения (Н вЂ” Е') Ч'(й», г) =О, можно искать в виде Чг(К, г) =ХФ„(Н) ф„(Н, г), »» (129,5) где ф„([[гг) — собственные функции оператора Но адиабатического приближения.
Поскольку оператор 'Но может иметь как дискретный, так и непрерыв»ный спектр, то в (129,5) знак т следует понимать в .обобщенном смысле как суммирование по дискретным состояниям и интегрирование по непрерывным состояниям. Подставляя (129,5) в (129,4) после умножения на ф' (Н, г) и интегрирования по координатам легких частиц, находим систему уравнений . (Тл+ ет (й») Н) Фт (Н) = Х ЛтоФо ()[»)» (129.5) о ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ йи где оператор В' кт Г д д Л„.= — „~.~ р'(й'.
) —,. р„(11. )1 —, В у — ~ ~р ()1, г) Тлф„(Й, г) г(г. (129,7) Система уравнений (129,6) является точной. Если оператор (129,7) можно рассматривать как малый (условия этого будут определены ниже), то систему 'уравнений (1р9,6) можно решать методом последовательных приближений.
В нулевом (адиабатическом) приближении правая часть уравнения (129,6) заменяется нулем. Таким образом, в адиабатическом приближении система уравнений (129,6) распадается на систему .независимых уравнений (7 + (1,)1 Фо (11) Ео о (129,8) для каждого состояния движения легкой частицы, определяемого квантовыми числами 'т. Из (129,8) следует, что движение тяжелых частиц характеризуется потенциальной энергией е ()г), которая соответствует энергии легких частиц уравнений (129,3) при фиксированных положениях тяжелых частиц. Итак, в адиабатическом приближении волновая функция системы (129, 5) сводится к простому произведению Ч'„,=Ф",(й)~р (й, «), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
