А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 102
Текст из файла (страница 102)
между ними возможна интерференция. Если амплитуда рассеяния зависит от спинового состоянии системы, то не все рассеяние является когерентиым по отношению к падающей волне. Возникающая при рассеянии некогерентность может быть названа спинозой некогеренгностью, так как она обусловлена зависимостью рассеяния от спина системы двух сталкивающихся частиц.
Перейдем к исследованию спнновой некогерентности. Если ядро-мишень имеет спин, равный Х, то соответственно двум возможным спиновым- состояниям системы Х = Х+ '/о, Х вЂ” '/о рассеяние тепловых нейтронов будет определяться двумя амплитудами рассеяния А+ и А . Введем проекционные опе- раторы $!М) КОГЕРЕНТНОЕ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ ВЩ так как д пя !=У+ Чу, 21в= -(1+1) для У=! — !/2. С помощью проекционных операторов (126,8) можно записать волновую функцию относительного движения нейтрона и ядра в виде ф = (е'А'+ А,В — ) Хтм, где А у — — т! А++у! А = +, ((1+1)А++!А +2!в(А+ — А )). (126,9) Часть амплитуды рассеяния (126,9), равная А~,=(21+ 1) '((1+ 1) А++1А ), носит название амплитуды когерентного рассеяния а оставшаяся часть А,„=(21+ 1) '21в(А+ — 'А )=В!в (126,1!) носит название амплитуды некогерентного рассеяния. Амплитуда некогерентного рассеяния равна нулю, если А+ — — А, т.
е. в тех случаях, когда амплитуда рассеяния ие зависит от сливового состояния. Так, например, для всех четно-четных ядер (спии 1=0) А, =О. Очень малое значение А, имеет ядро Веу.и некоторые другие нечетные ядра. Скалярное произведение операторов 1в, входищее в амплитуду некогерентного рассеяния, можно преобразовать к виду Ув=!как+ ~ (!к+ 11у)(вк 1ву) + к (!к 1121 (вк+ 1еу). (126,12) Как показано в 9 46, опеРатоРы 1 + !!у и 1„— !1„, соответственно увеличивают и уменьшают на единицу проекцию момента количества движения на ось г. Поэтому два последних оператора в (126,12) соответствуют переориентации спина нейтрона. Сечение упругого рассеяния на одном ядре, усредненное по спиновым состояниям, определяется выражением ак = 4п (! А вв г) = 4я (! А + В! и (г), где В = 2 (2У + 1) ' (А+ — А ).
(126,13) Если ориентации спинов нейтрона и ядра не коррелированы, то (Ув) =6, а ((Ув) )=<(12в2+Ю+ !2~Э= 'У+ Ц !гл. хп КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ РАССЕЯНИЯ воз так как (з-„) =(з„)=(з~)='/4. Таким образом, усредненное по -спиновым состояниям сечение упругого рассеяния можно записать в вике О, =а„4„+ О„„ где и, = 4пВг((! в)г) + ! А+ А Р (126 16) Общее сечение упругого рассеяния нейтронов на ядре равно о,=44„„+а =4п~ +,! А+ (4+ +,(А ф (126,!6) Вычислим теперь усреднешюе по спиновым состояниям сечение рассеяния теплоиых нейтронов двумя одинаковыми ядрами с некоррелированными спинами.
Амплитуда рассеяния нейтронов .каждым идром, согласно (126,9), может быть записана в виде Аээв= Аког+ В1з. где А „и В определены соответственно (126,10) и (126,13). Поэтому ,о,(1, 2)=4н(! А,эе(1)+ Агээ(2) 1г)= = 4и~ А, (1) + А„(2) ~г+ 4НВг((У|а+ Хгз)г). Вследствие некоррелированности спннов ядер ((44а)(ггз))=0, таким образом, ((Уз+ага)г)=2((гз)г).
Поэтому получаем окончательно, используя обозначения (126,14) н (126,10), о,(1, 2) =2О„„+ 4п! А„(1)+ А„(2) (г. ° .Итак, в сечение упругого рассеяния амплитуды некогерентиого рассеяния дают независимый вклад, поэтому суммируются сами сечения. Часть же сечения, соответствующая когерентному рассея4гню, получается путем суммирования амплитуд рассеяния и последуняцего возведения в квадрат модуля этой суммы.
Кроме рассмотренной выше спиновой некогерентностн, неко.герентное рассеяние наблюдается во всех случаях неупругого рассеяния. й !27*. Когерентное рассеяние нейтронов кристаллическим веществом Как было показано в предыдущем параграфе, при рассеянии медленных нейтронов системой ядер интерференционные явлении Определяются только когерентной частью амплитуды рассеяния.
Вычислим теперь влияние пространственного распределения ядер $ нн когеРентное РАссеяние нейтРОнОВ кРистАллхми ЕОЗ. в кристаллическом веществе иа когерентное рассеяние медленных нейтронов. Для простоты предположим, что кристалл состоит из одинаковых атомов, и масса этих ядер очень велика- (чтобы не учитывать изменение их энергии движения при рассеянии (см. $126)). Далее предположим, что положения ядер в кристалле определяются векторами решетки з н= Ха~ЛИ 3=1 (127,1) где аь ам аз — базисные векторы единичной ячейки кристалла; л~ пробегают целочисленные значения, удовлетворяющие неравенствам — — < лу ~ я ° 1=1, 2э 3; И~ Ф~ №№й(з = Ж вЂ” полное число ядер в кристалле. Если обозначить волновой вектор нейтрона перед рассеянием через Й, а после рассеяния через Й' (при этом )Й') = ~Й1), тон соответствии с результатами предыдущего параграфа можно.
написать следующее выражение для дифференциального сечения, отнесенного к одному ядру, упругого рассеяния нейтронов кристаллом ц ~ т)~А„М~ ~-1А„„А (127,2): где А,Р,(а) — амплитуда когерентиого рассеянии (в направлении Й') нейтрона ядром, находящимся в точке н; Х здесь и в П дальнейшем обозначает суммирование по всем атомам кристалла, содержащего один атом в элементарной ячейке. Обозначим амплитуду,когерентного рассеяния ядром, находящимся в начале координат (л = 0), через А, тогда для з-рассеяния амплитуда когерентного рассеяния ядром, находящимся в точке л, будет отличаться от А только фазовым множителем, учитывающим разность фаз волн, рассеянных обоими ядрами,.
т. е. (!27,3) А„„(л) = А ехр(1н (Й вЂ” Й')). Подставляя (!27,3) в (127,2), получим дифференциальное сече- ние упругого когерентного рассеяния кВАнтОВАя теОРия РАссеяния [гл, х[ч Для вычисления (1274) удобно выразить'волновые 'векторы Ь и Ь' через базисные векторы'обратной решетки Ь|, Ьь Ьз, связанные с векторами прямой решетки аь аз, аз соотношениями Ь|=~' '[азХаз[. Ьз=!' .
[азХа[[ '.Ьз=)~ [!А!Хат!з где 1'=а,[азХаз[ — объем элементарной ячейки прямой рез з шетки; при этом ['Ь! [ЬАХЬА1= 1;Полагая Ь вЂ” Ь'= ~'„,'(Ь! — Ь!)Ь! [-! и учитывая, что а[Ь! =6ы, получим п(Ь вЂ” и!)= Хи (Ь вЂ” Ь[). [=! Подставляя последнее равенство в (127,4), находим Р (Ь вЂ” Й'), (127,5) где р(Ь вЂ” й') = Ц ~)~~ йхр [Ы~г(Ь вЂ”..Ь;)) =Ц "! ! ~,[„~~ ) 7Ф! — а!1 (127,6) — так называемый структурный фактор. При Ж- оо 3 Р (Ь вЂ” Ь ) = П [2пл [6 [Ь! Ь! — 2пт!)), (127,7) где т! — целые числа.
В равенстве (127,7) аргументамн дельта- функции являются компоненты вектора в системе координат с базисными векторами обратной решетки. Если 'ввести декар-" товы координаты Ь„, Ьз, й, тех же векторов, то ДЬ(йз — Ь! — 2пт!)= )! '6(Ь вЂ” Ь вЂ” 2пт), следовательно, р (Ь Ь ) = [! 6(Ь вЂ” Ь' — 2пт), (Як)з [Ч (127,8) з где т =, .«~~ Т,Ь, — вектор обратной решетки, определяемый через ! ! базисные векторы Ь! обратной решетки и целые числа тз, назы-. ваемые ииллеровскиии индексаиц огрозкающих брегеовских плоскостей. Каждому вектору обратной решетки т соответствует семейство параллельных 'кристаллических плоскостей, уравне- З!ЗП КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 605 з НИЯ котоРых т 2~ т;аз —— лз, где тн Рь чз и пз — целые числа.
Расстояние между соседними такими плоскостями д = )т~ '. В случае простой кубической 'решетки с ребром куба а «=и1Т1+тя+'з5 '* т~ тз тз=0 Учитывая (127,8), получим отнесенное к одному ядру дифференциальное сечение упругого когерентного рассеяния нейтронов большим монокристаллом ((т'- ОО) в виде ла(а') (ел)'!4!' 6(й й.
2 ) ли 3~ Из (127,9) следует, что дифференциальное сечение рассеяния имеет резкие максимумы в направлении векторов й', удовлетворяющих условиям й — й'= 2пт, ! й 1= ! й' !, (127,10) которые называются условиями Брегга. Условия Врегга выполняются всегда для рассеяния вперед (й = й'), когда «=О. Обычно, однако, рассеянием называют отклонение нейтронов от первоначального направления движения, поэтому случай т = 0 будет исключаться. Для кристаллов конечных размеров дельта-функция (127,9) должна быть заменена функцией (127,6), имеющей максимумы с конечной угловой шириной, по порядку величины равной (И.) з, где Š— линейные размеры монокристалла. Если упругое рассеяние нейтронов изучается на поликристаллах, то дифференциальное сечение.
рассеяния можно получить нз (127,9) при усреднении по всем направлениям вектора т при заданной его абсолютной величине. При фиксированном значе-. нии т определенному волновому вектору падающих нейтронов й будут, согласно '(127,10), соответствовать направления й', образующие с направлением й угол О, удовлетворяющий условию з(п — = — или И зщ — =Х, 6 лт 9 2 а э (127 10а) где с(= 17т — расстояние между брегговскими плоскостями в кристалле. Из (127,!Оа) непосредственно следует, что вклад'в рассеяние будут давать только значения т, удовлетворяющие неравенству т ( — или Х » ~24. Следовательно, для нейтронов с длиной волны, превышающей удвоенное наибольшее расстояние между кристаллическими плоскостями, брегговское условие для рассеяния с О чь 0 не квантовая теогия нассеяния !гл.
хьт а' — /~А, рЦ ~й — йт~. (В27|1) Введем среднее значение амплитуды рассеяния А=ф'„)',А„, (127,12) тогда А =А"+ЛА, ХЛА„=О. Подставляя (127,13) в (127,11), можно написать лв (а'1 ( иа(а'1) + ( Йт(к') ) (127,!3) (127,14) (127,15) где — сечение когерентного рассеяния, совпадающее с (127,4). Оно сильно зависит от угла рассеяния, имея резкие максимумы для направлений, удовлетворяющих условиям Брегга (127,10). Из (127,15) следует, что когерентной амплитудой рассеяния является среднее значение (!27,12) амплитуд рассеяния отдельных изотопов.
Второе слагаемое в (127,14) имеет внд Я) =у~~)~~ )~~~ ЛА„А;;ехр(1(й — й')(и — л'))= = д ~~~~ехР Цт (й — й')) ~) ЛА + ЛА выполняется ни для одного из микрокристаллов. Такие нейтроны проходят через кристалл, почти не рассеиваясь в стороны. На этом свойстве основано действие фильтров, обрезающих в проходящем пучке нейтронов коротковолновую область спектра. В качестве фильтров берутся микрокристаллические вещества, обладающие малым поглощением нейтронов и только когерентным рассеянием.
Часто используют окись бериллия (А 4,4 й), или графит (г( = 6,7Л). Предположим теперь, что кристалл состоит из ядер элемента, обладающего несколькими изотопами, распределенными по узлам правильной кристаллической решетки. Допустим, что массы ядер бесконечно велики, спины равны нулю и свойства рассеяния нейтронов изотопом, находящимся в п-м узле, определяются амплитудой рассеяния А„. Тогда сечение рассеяния (отнесенное к одному ядру) в единицу телесного угла в направлении й' будет равно $ мн упРуГОе РАссеяние медленных нейтРОЯОВ ХРистАЛЛАми сот При беспорядочном распределении изотопов по узлам решетки для каждого значения арчь О, ЬА» н ОА„+ независимы, поэтому ~~ ЬА +»ЛА" = О, и сечение рассеяния ие зависит от угла рассеяния и может быть названо диффузным изотоппмм рассеяниелц обусловленным изотопической некогерентностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
