А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Поое скольку интеграл 9» ) —,, тождественно равен нулю, то нз о (123,9) непосредственно следует, что в среде без дисперсии, т. е. когда а(в) = сопз1, мнимая часть диэлектрической проницаемости равна нулю. Другими словами, любая днспергирующая среда одновременно является и поглощающей средой. 4 МО1 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 5ЗЧ В $ 98 была получена формула для действительной части диэлектрической проницаемости (прн условии пренебрежения затуханием) а(м) — 1 =' Это выражение можно преобразовать к виду а(ы) — 1= — У ~ ео е(е 4яе'АГ Г !Аоа (е аео) о е (123.10) Сравнивая (123,10) с (123,8), находим явное выражение мнимой части диэлектрической проницаемости через силы осцилляторов переходов 2яееоФ а (м) = )' Геоб (ы — ыео). (!23,11) Если учесть время жизни возбужденных состояний, то дельта- функции в правой части равенства (123,11) заменяются более плавными функциями с максимумами прн значениях м = ыоо.
Пользуясь теоремой о сумме сил осцилляторов (98,10), путем интегрирования равенства (123,11) получаем интегральное ра- венство 2еон'АГ ъ 1 2е'ЯоКА а (ы) м е(м = —,~~ Гео = о н е я где Ж вЂ” число атомов в единице объема; 2 — число электронов в атоме.
Для иллюстрации основных идей, используемых при выводе дисперсионных соотношений в теории рассеяния, рассмотрим простейший пример з-рассеяния бесспнновых частиц центрально-симметричным полем. Согласно $109, радиальную часть волновой функции, описывающей з-рассеяние в потенциальном поле конечного радиуса действия, можно записать в виде К(г, !) =гф(г, 1) = С(е-'е' — Я(й)елее)е-'ене. (123 12) В (123,12) мы включили также зависимость от времени. Диагональный элемент матрицы рассеяния 3.(й) 'является функцией энергии относительного движения или волнового числа й, По определению, матрица рассеяния Я(й) является оператором, преобразующим расходящуюся часть падающей волны е'А' а функцию Я(й)еое', описывающую рассеянную волну.
Заменяя в (123,,12) й на — й, получим )т(г, !)=СИ( — й)(е 'ег — Я '(- Це'е ~)е ш~е. (123,13) ИВАнтовАя теоРия РАссеяния !Гл. х1ч Сравнивая (123,13) и (123,12), мы убедимся, что матрица з-рассеяния должна удовлетворять равенству 5(й)=8 '( — й), или 8(й)Я( — /г)=1. (123,14) Далее из унитарности матрицы рассеяния (см. $1!8) следует равенство 5 '(й)= 8*(й). (123,15) Матрица рассеяния Я(й), определенная как. функция действительного переменного, может быть аналитически продолжена на область комплексных значений волнового числа й.
Комплексным значениям волнового числа й=п,+щ (123,16) соответствуют комплексные значения энергии Е=Е, — — 'йЛ =ф [(д', — д,")+ 21д,д,1 (123,17) Комплексные значения энергии используются в физике для описания нестационарных состояний системы. Величина Л, входящая в (123,!7), определяет вероятность «распада» системы в единицу времени н называется постоянной распада.
Она положительна, если квадрат модуля волновой функции убывает с течением времени (радиоактивный распад), и отрицательна, если квадрат модуля волновой функции возрастает с течением времени, например при захвате нуклона ядром. Если аналитически продолжить 5(й) на область комплексных значений й, то свойство матрицы рассеяния, выраженное равенством (123,14), сохраняется. Однако равенство (123,15), выражающее унитарность матрицы Я, становится несправедливым.
Сравнивая при 1= 0 (!23,12) с его комплексно сопряженным значением, можно убедиться, что должно выполняться соотношение (123,18) 8 (я) = Я' (/г ). Из условия (123,18) следует, что если 5-матрица равна нулю в некоторой точке й1 комплексной плоскости, то она обязательно должна иметь полюс в точке й(.= й1, расположенной симметрично относительно действительной оси.
Исследуем, какие физические явления описывает матрица рассеяния, рассматриваемая как функция комплексных волновых чисел: а) Волновое число й действительно (дт —— О). В этом случае матрица рассеяния описывает истинные процессы рассеяния. ° ° ° а (ю] дисперсионные сООтнОшения В теОРии РАссеяния ззт б) Волновое число й является чисто мнимым ((1( = 0), т. е. й=й)2 Е=— ай 2 (123, 19) Отрицательным энергиям могут соответствовать связанные состояния системы. Для этого необходимо, чтобы квадрат модуля волновой функции был конечен, т. е. должно выполняться ра- венство ) С' ~ ~ ) ей 3 (1() ) е Рг )2()г = й =конечному числу.
О3 Для выполнения этого условия необходимо, чтобы ()2 < 0 н Е(й)2) = О. (123,20) Итак, связанным состояниям системы соответствуют нули функции 3(й), лежащие на отрицательнои мнимой оси, и полюсы функции 8(й), симметрично расположенные на положительной оси. Можно показать, что функция Я(й) не должна иметь нулей и нижней комплексной полуплоскости, кроме нулей на мнимоу. оси. Допустим, что Е(/г) имеет нуль в 1т( квадранте, т.
е. при значении й( = ()(+ й)ь где (1( ) 0 и ()2 м.. 0; тогда функция (123,12) при й = й( будет иметь вид Рис. м. нули (кружки) и полюсы (крестики( матрицы рассеяния Э(йт на комплексной ПЛОСКОСтп й а+ (Рн НУЛН ( СООтнстствуют захвату. нули 2 — связанным состояниям, нули а — радиоактивному распаду системы, нули 4-виртуальным состояниям. ф= — ехр ~ — (~()(г+ — „' 1) ~ехр( — (12г — — Лг~, Л = — 28(1(()2/(2.
Такой функции соответствует входящий внутрь сферы радиуса г поток с плотностью, в каждый момент времени 1 равной 1„= —, ехр ( — 2(12г — Л1). 1с( лч, Но это противоречит уменьшению с течением времени квадрата модуля волновой функции внутри сферы радиуса г из-за временного множителя ехр( — Лг), так как Л= — — — > О. Тат(2д,дз ким же образом можно показать, что функция 5(й) не имеет нулей в Ш квадранте ((1(м О, (12(0).
Следствием (!23,18) тогда будет отсутствие полюсов в верхней полуплоскости (за КВАНТОЯАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. хп исключением полюсов на положительной мнимой. асн). На рис. 24 указаны возможные положения нулей и полюсов матрицы рассеяния 5(я) иа комплексной плоскости й=д~+Щ2. Нули функции 5(/2) при д1 > 0 и д2 > 0 соответствуют процессам захвата. Нули функции 5(Я) при д2<0 и д2>О,соответствуют процессам распада.
ИтаК, ПРОЦЕССЫ РаСПаДа ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ УСЛОВИЕМ о (У~ '+ Щ2) = ='0 при 2/2 < 0 и 2/2 > О. В этом случае энергия состояния комп- 2 1 "(42 422). 2йдР2, лексна: Е=Ь(мо — ~ Л/1. где ая— = ' Л= — < О. ЯЯ ',и. н волновая функция (123,12) принимает вид с < Л ф(г, т) = — ехр12 — 1'(2/,г — м22) + т/2г — — ф Таким образом, ( ф (г, 0) Г = — ехр ( — ЛХ вЂ” 22)2г), 1С 12 н поток, выходящий из сферы радиуса г, имеет плотность/,= = — — ') ф(г, /) ('.
Следовательно, процессы распада отвечают Ьу~ квазистационарным состояниям системы, т. е. состояниям с раз- мытыми энергетическими уровнями, ширина которых ЯЛ опреде- ляется временем жизни т с помощью равенства Л = я/т. Квази- стационарные состояния проявляются в рассеянии в виде резо- нансных максимумов на кривой, изображающей зависимость сечения рассеяния от энергии (см. $125). Если для некоторого состояния системы матрипа рассеяния обращается в нуль на положительной мнимой оси (д2 = О, д2 > 0), то соответствующая волновая функция на больших рас- стояниях экспоненциально возрастает. Такие состояния назы- вают виртуальными, или антисвязанныли.
Виртуальные состоя- ния, в отличие от распадающихся квазистационарных состояний, имеют Л = 0 и отрицательное значение энергии Е = — 6~2/2/(2р). Однако они не могут отражать реальных стационарных состоя- ний, так как соответствующие им радиальные волновые функ- ции экспоненциально возрастают при удалении от центра.
Нулю матрицы рассеяния при й = щ2 (д2 >0) должен соот- ветствовать полюс при й = — 12/2. Поэтому матрица рассеяния должна иметь вид 3(я) (/2 — 12/2)/(Я + щ2) и сечение упругого э-рассеяния (120,3) будет иметь вид о,= — (1 — 8(/2) 12 ь2 а21 2' Аналогичное поведение сечений з-рассеяния соответствует и связанным состояниям. Однако соответствующие им волновые функции эксвоненциально убывают при удалении от центра. с из1 диспеРсионные' соотношения в теОРии РАссеяния ззз находим И.г ) ! д)( — ' — й) при синглетном рассеянии, (123, 22) (' )(' — + й1/ — ' — й) при триплетном рассеянии.
аг ) ( ас Ю(я) = Таким образом, матрица рассеяния Е(й) в триплетном спиновом состоянии имеет нулевое значение (соответствующее связанному состоянию системы — дейтрон) на отрицательной мнимой оси при значении й — 1/а~ = — 12,32.!Ом см-'. Энергия этого состояния Е, = — йх/(2ра',) = — 2,23 МэВ. Синглетному спиновому состоянию соответствует нуль функции Е(й) на положительной оси при значении й = — ~~а, = 10,40.10'~ см-'. Энергия этого виртуального состояния Е, = — 0,066 МэВ. В общем случае упругое рассеяние в центрально-симметричном поле характеризуется набором.
диагональных матричных элементов Зь которые, согласно (109,8), связаны с амплитудой рассеяния соотношением А (О) = — '„~~~~ (21 + 1) Р~ (соз 8) (1 — 5~). (123,23) г-с Виртуальные состояния можно рассматривать как предельный случай распадающихся состояний при стремлении д~ к нулю. Тогда плотность потока 1„также стремится к нулю.
Виртуальные состояния могут возникнуть при уменьшении потенциальной энергии притяжения в системах со связанными состояниями. Пусть, например, потенциал притяжения имеет внд $(1(г), где $ — безразмерный параметр. Предположим, что прн некотором значении $ в системе имеется стационарное состояние с д~ —— О, дх(0 и энергией Е= — йэд~~/(2р). По мере уменьшения $ значение дз увеличивается, следовательно, его абсолютное значение и энергия Е уменьшаются. При некотором. значении $, они оба принимают нулевые значения. При дальнейшем уменьшении 5 величина дм пройдя через нулевое значение, сделается положительной н связанное состояние перейдет в виртуальное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
