А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 95
Текст из файла (страница 95)
На математическом языке это свойство можно записать в виде: если [О, О)=0, то 5=О '50, или более подробно, (Ь ! 5 ! а) = (ОЬ! 5 !Оа). (118,32) Из (118,32) вытекает два рода следствий: а) правила отбора в реакциях и рассеянии; б) некоторые указания о структуре матрицы или амплитуды рассеяния. В общем. случае правила отбора в реакциях и рассеянии можно сформулировать как утверждение, что в начальном квлнтовзя твогия РАссвяния [ГЛ. Х!Ч и конечном состояниях должны сохраняться собственные значения всех операторов, коммутирующих с оператором Гамильтона системы. Правила отбора позволяют сделать ряд весьма полезных утверждений о характере протекания реакций. Покажем это на двух примерах. а) Реакция образования двух нейтронов при захвате медленного и-м евон а дейтр оном.
Йачальной стадией этой реакции является образование и-мезонного атома в !з состоянии. Спин дейтрона равен 1, спин и -мевона равен нулю, орбитальный момент в 1з состоянии равен нулю. Таким образом, полный момент в начальном состоянии равен 1, а четность равна внутренней четности и -мезона (внутренняя четность протона и нейтрона предполагается одинаковой). В конечном состоянии образуется система двух нейтронов. Система двух нейтронов в силу принципа Паули (см.
2 72) может находиться в следующих антисимметричных (с учетом спина) состояниях 'Яо, Ро Рь Рь Ом Полный момент системы и четность, согласно правилам отбора, не изменяются при реакции. Поскольку в начальном состоянии полный момент равен 1. то из написанных возможных состояний системы двух нейтронов в данной реакции может осуществиться только состояние, соответствующее полному спину 1. Таким состоянием является зРь т. е.
состояние с Е 5 Х = 1. Так как Е = 1, то это состояние нечетное. Следовательно, начальное состояние реакции должно также быть нечетным. Это возможно только при условии, что внутренняя четность и -мезона отрицательна. Йтак, реакции и + д-+2п, протекающие при малых энергиях (эксперименты Пановского !1131) показывают, что и -мезон является псевдоскалярной частицей. б) Распад Вез на две а-частицы. В настоящее время хорошо известно, что ядро бериллия Вез является нестабильным ядром н за время -10 м сек распадается на две а-частицы. В реакции р+ !1,-~ Вез при энергии протонов, близкой к 04 МэВ, образуется возбужденное ядро бериллия Вез с энергией возбуждения - 17,6 МэВ. Это возбужденное ядро не распадается на две а-частицы пока не отдаст свое возбуждение в виде укванта (М1-излучение) и не перейдет в основное состояние.
Невозможность распада возбужденного Вез на две а-частицы легко объяснить правилами отбора. Возбужденный уровень Вев, соответствующий энергии возбуждения 17,6 МэВ, имеет момент, равный 1, и положительную четность, а система двух а-частиц может находиться только в состояниях с четным моментом: О, 2, 4, ..., так как спин м-частицы равен нулю и симметричная волновая функция системы, состоящей из двух а-частиц, может овэлщвние вгнмвии и двтхльнон гхвноввсие 56! з !!Й й 119~, Обращение времени и детальное равновесие Оператор Гамильтона всех задач теории рассеяния инвариантен относительно изменения знака времени,'т. е. замены будущего прошедшим.
Используя инварнантность оператора Гамильтона по отношению к изменению знака времени, можно получить весьма общие соотношения, связывающие вероятности переходов и эффективные сечения прямых и обратных процессов. По отношению к операции обращения времени, 1 — 1, все физические величины делятся на два класса.'К первому классу принадлежат физические величины, не изменяющиеся' прн обращении времени. Такими величинами являются; координаты точки, .полная энергия, кинетическая энергия и. др., которые содержат время только в четных степенях. Ко второму классу физических величин относятся скорость, импульс, угЛовой момент, спиновый момент и все другие, которые содержат время в нечетной степени.
Рассмотрим уравнение Шредингера 18+а = Нчю (119!1) определяющее изменение с течением времени некоторого состояния ф,. Обозначим через !р волновую функцию состояния, иметь только четные значения орбитального момента, характеризующего их относительное движение. После излучения у-кванта бериллий переходит в основное состояние, имеющее момент 0 и сразу же распадается на две а-частицы.
Из равенства (1!8,32) вытекает далее, что если Н инввриантно относительно некоторых преобразований, то и 5-матрица (и амплитуда рассеяния) должна быть инвариантной относительно тех х~е преобразований. Например, если в системе действуют ядерные и электромагнитные силы, то оператор Н инвариантен относительно пространственного вращения .и отражения; Следовательно, амплитуда рассеяния должна быть скаляром.
Так, при взаимодействии нуклонов с ядрами нулевого спина или при рассеянии я-мезонов на нуклонах состояние системы характеризуется спиновой матрицей а, начальным волноным вектором й, и конечным волновым вектором йь. Из этих величин можно построить скаляр вида А + Во [й, Х йД, (118,33) где А и  — некоторые функции скаляров й~!, йь~ и (й йь), т. е. функции энергии относительного движения и косинуса угла рассеяния. Следовательно, (118,33) является наиболее общим видом амплитуды рассеяния частиц со спином !/х на частицах нулевого спина.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. х!у оператор О=О„заменяет векторный потенциал А иа — А, в этом СЛуЧаЕ 6=0АК И Г с=Ге, р е=-р~. В ИМПУЛЬСНОМ ПрЕд- ставлении р=р, г=(йче, поэтому 6=0„0РК, где оператор Ор определен выше. в) Оператор Гамильтона содержит спиновые о п е р а то р ы. Например, 1 с е 1А ей о Н= — (р — — А( — — го1А+ У(г). 2М 1, с ~ 2Мс В этом случае для выполнения операторного равенства (119,4) в координатном представлении необходимо, чтобы оператор б= = ОА4е, где Асл совпадает с определенным выше оператором, ЗаМЕНяЮщИМ А На — А, И йе — СПИНОВЫй ОПЕратор, удОВЛЕтВО- ряющий операторному равенству .
О о'= — пОе. Если векторная матрица и выбрана в представлении, где "-(' ') "-Г ') "-(' -') / 0 11 то Ос=Же=~ ). Таким образом, ~ — 1 О)" 6 = (ОАо„К. (119,9) Легко убедиться, что спиновая матрица 1ое, входящая.в опера- тор обращения времени, действуя на волновую функцию состоя- ния с определенным значением.
проекции спина на ось г, меняет значение проекции спина на противоположное: ю„хь,,ь--хь,,ь, 1о„х,ь, А=хтьу Из (119,9) следует, что оператор обращения времени для ча- стицы, имеющей спин '/м удовлетворяет равенству 6е = — 1, Если система состоит из и частиц спина '/е, то оператор обра- щения времени получается из (119,9) прдстым обобщением 6 ОА1 а1еое к К (119,9а) Легко убедйться, что двукратное применение оператора' обра- щения времени осуществляется оператором 6 =.( — 1)", где ив число частиц в системе. Этот результат позволяет получить очень важное заключение о возможной кратности вырождения уровней энергии в стационарных состояниях систем, находящихся в про- извольном электрическом поле (без внешнего магнитного). Оператор Гамильтона системы, на которую не действует вне-.
шнее магнитное поле, инвариантен относительно операции обрае ОБРАщение ВРемени и летАльное РАВнОВесие бзб щения времени. Поэтому, если функция ф определяет стационарное состояние с энергией Е, то и волновая функция 6 ф опреде ляет состояние с той же энергией. Если ф и б„ф отличэются лишь фазовым множителем, т. е'если 6„ф= аф, (119,10) где 1а)*= 1, то оба состояния тождественны (отсутствует Вы роЖдение). Подействуем на обе части равенства (119,10) оаер~ тором обращения времени.
Преобразуя затем правую имеем 6ьаф = 6„(аф) = а' (6аф) = а'аф = ф Учитывая, что ть7=( — 1)", мы приходим к заключению, что Ра венство (119,10) может выполняться только при условии "ет ного числа частиц в системе. Таким образом, в системе с нечетным числом частиц (средо вательно, с полуцелым значением полного спина) кратностР вы рождения уровней в произвольном электрическом поле не ма~~~ быть меньше 2 (геореььа Краььерса). В связи с этим внеШ"ее электрйческое поле может полностью снять вырождение только у систем, состоящих из четного числа частиц спина '/ь.
У сььстем с нечетным числом частиц кратность вырождения может быть снижена только до 2. Перейдем к выводу связи между матричными элемен"ами прямого и обращенного по времени перехода. Для этого Рас смотрим матричный элемент ' Т, (Ф 1Т!Ф Используя определение (119,5), можно написать Ф-а = 6Фа = ОФа, Ф-ь = ОФь. Следовательно, Т,, ь=, (ОФ;1Т! ОФь) =(Ф*, !О ТО~ ФА). (119.11) Учитывая (118,16а), (119,4) и эрмитовость операторов Р " ~ можно показать, что О'ТО-(Т')*- Т.
Поэтому (Ф,")О~ТО!Фь)=(ФА! Т)Фа)= Ть ° Используя это равенство, получаем из (119,11) связь междУ. матричными элементами прямого и обращенного по вриь1енн перехода 19,12) Т,=Т, (1 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (гл. хзу Из равенства (1!8,10) цри учете (119,12) следует аналогичное соотношение для матричных элементов. матрицы рассеяния ~ьа ~-а, -ь. (119,13) Согласно (118,13), вероятность перехода а- Ь в единицу :времени выражается. через квадрат модуля матрицы перехода Тьа и плотность конечных состояний р(Еь). Поэтому из (119,12) .следует теорема взаимности, связывающая вероятности прямого и обращенного во времени переходов Рьа Р— в -ь р (Ьь) р (Еа) В случае, когда плотности конечных состояний обоих процессов равны друг другу, то равны и вероятности прямого и обращенного во времени переходов.
Если оператор Гамильтона инвариантен относительно операции инверсии пространственных координат (х, д, г)- ( — х, — д, — з), -то при одновременном проведении операции инверсии и обраще,ния времени. импульсы и. скорости частиц не меняются, компо.Ненты моментов количества движения меняют знак. Поэтому в системах, не содержащих спиновых переменных, состояния ~а) .и ~ — а) эквивалентны, т.
е. волновые функции этих состояний могут отличаться только фазовым множителем. В этом случае имеют место равенства абсолютных величин матричных элементов прямых а- Ь и обратных Ь- а переходов, т. е. ! Тьа)=! Таь!, и матричные элементы соответствующей матрицы рассеяния удовлетворяют равенству )Зьа) =)Заь~. В таких системах имеет место детальное Равновесие, при котором равны Рьа Раь р (Еь) р (Еа) — вероятности прямого и обратного переходов, отнесенные к одеюму конечному состоянию. Если состояние системы характеризуется и ориентацией спинов, то в состояниях )а) и ) — а) проекции спинов отличаются знаком.
В этом случае детальт(ое равновесие выполняется только для вероятностей, усредненных по проекциям спинов начального и конечного .состояний *). Такое равновесие иногда называют нолддетальныж. Если'оператор взаимодействия, вызывающий переход, инвариантен относительно пространственных вращений, то переход а) Отметим, что уже Больпман указал на возможность наруження детального равновесия прн классическом опнсаннн столкновеннй между моле. жуламн несфервческой формы. ф нн ОБРАщение ВРемени и детАльнОе РАВнОВесие между состояниями ~а) и (Ь), характеризуемыми квантовыми числами 1т, происходит при сохранении полного момента и его проекции на любое направление. В этом случае матричные элементы ТА, не зависят от магнитных квантовых чисел. Поскольку в этом случае состояния ~а) н ~ — а) отличаются только знаком:: магнитных квантовых чисел, то !ТА,!=! Т',, 1=(Т, 1.
Следовательно,, и в этом случае имеет место детальное равновесие. В первом борновском приближении детальное равновесие выполняется для всех систем. Действительно, в первом борновском: приближении имеем т~щ=(а~,~ и ~гр.) = ®, у (аЪ)'= т:~, следовательно, 1ТЙ 1'= ~ Тй'!' Теоремы взаимности (119,13) и унитарности матрицы рассеянии накладывают дополнительные условия на ее элементы и сокращают число независимых параметров, определяющих ма-- трицу рассеяния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
