А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 92
Текст из файла (страница 92)
ф 118). При больших значениях г Ьь!» — »'! = Аьг — яь»', где йь— волновой вектор в направлении радиуса-вектора ». Поэтому асимптотическое значение (114,11) при больших г можно записать в виде егььг Ч"+'(», В) =Ф. (». и+ Х Аь,рьа) — ', ° (114,12) ь где А„= — ~, ~ р, К) е ' ""ЯГ ( ', Б) Чг~~~ (», $) г( г г(з = = — р(2пйь) 1(Фь!К!Чг~~~) (114,13) — амплитуда рассеяния из состояния Ф, (114,5) в состояниеФь =фь (В) ехр Мь~), ссютветствуюшее переходу системы А в состояние грьД) и рас- сеянию частицы в направлении вектора Йь с энергией относи- тельного движения ай~а!2р. В частности, при Ь= а амплитуда. рассеяния (114,13) соответствует упругому рассеянию. Чтобы определить дифференциальное сечение рассеяния, со- ответствующее переходу а-Р Ь, надо умножить (114,12) на функ- цию ~рь(Д и интегрировать по всем значениям внутренних пере- менных 5; тогда получим для рассеянной волны выражение »ьа (») =- -~ мь ьаг гьа — (114 14) г Аьае ь', если Ь чь а; 8 — угол между й и направлением рассеяния.
Следовательно, поток рассеянных частиц в единицу времени в телесный угол гй2 в направлении йь равен — „~ Аьа(6)! д(). Ьэь г Плотность потока падающих частиц равна О = ЬЬ,/1ь, по- этому искомое эффективное сечение рассеяния принимает вид. даьа = ~)Аьа(8))ьдй= и~~ )е !(Фь!Ж!Чга~~)! Ж2. (114 Щ ЧВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [гл. х1ч Умножив (114,15) ив плотность потока падающих частиц, получим число Рассеянных частиц за одну секунду в элемент телесного угла ь(ьь: ь(~ьа= я !(Фь!)Р1Ч" Я г(рь, (114.16) где яяаь ~~~ 12ял)' число конечных состояний, приходящихся в единице объема на единичный интервал энергии.
фУнкцию йачального состоЯниЯ Фа ноРмиРовать на одну частицу в объеьье К т. е. положить вместо (114,5) Ф. = У '*~рь(5) ехр(й.г), и число конечных со~тояний относить к объему 1~, т. е. ь'яааЬ ац ~(рь = — (я-„ць то формула (114,16) будет определять вероятность перехода а - Ь в одну секун~(у при столкновении двух частиц, находя- щихся в объеме К ФОРНУлы (114 16) и (114,16) являются точными формуламн определяющими соответственно вероятность перехода в единицу времени (в состоянчях непрерывного спектра) и эффективное сечение рассеяния.
А(ля вычисления этих величин надо знать решение интегрального уравнения (114,11). Если заменить в этих выражениях значение Ч"+' его нулевым приближением Фа, то получим соответсьвенно эффективное сечение упругого и не- упругого рассеяния Ь первом борновском приближении (боль- шие скорости относительного движения) пп~ьва> -ь( Р ) ь ! (Фь !й7 !Ф ) )ьЩ (!14 17) и 'вероятность перехо,ца в единицу времени в первом приближе- нии теории возмущений (114,18) ь(~ ьа = я ! (Фь ! 11г !Фа) !ь ь(рь~ где матричный элемеьчт определяется интегралом (Фь! В' !ФАЪ = ~ )аьь (г) ехр(1(йа — йь)г) Рг (114,19) в котором 'ьг ьь(л) = ~ ~р'(~) )и" (г, З) ~р ®ьф.
О но! яхссвянив элвктгонл но атоме ввз гчвтл овмвих 54! 2 115. Рассеяние электрона на атоме без учета обмена Применим результаты предыдущего параграфа к вычислению эффективного сечения упругого и неупругого рассеяния электронов на атоме с одним электроном.'В этом параграфе мы будем предполагать, что электроны системы можно различать. Падающему электрону будет приписываться индекс 1, а электрону атома — индекс 2. Тождественность электронов будет учтена в $ 117.
Электрон в атоме описывается оператором Гамильтона Н(2) = — — оо — —, оо о Ле' (115,1) 2р ге собственные значения е„и собственные функции которого ~р„(2) рассматривались в 3 38. Относительное движение электрона 1 и о' атома -определяется оператором — ' — Ч, (масса атома значизн тельно больше массы электрона); взаимодействие электрона с атомом характеризуется оператором е' ее' )го (г~ го) = — — —. (115,2) гм г~ Таким образом, рассеяние электрона на атоме водорода определяется уравнением (Ео — Но) Ч'(1 2) = )го (1 2) Ч'(1. 2) (115 3) где оо Но = Н(2) — — !Ро,.
2н (115,4) Функцию Грина оператора Н, (см. (114,10)), соответствующую решениям (1!5,3) в виде уходящих рассеянных волн, можно записать в виде д+>(г ~г,г')= „, '~) ~ ~ (г,)~р (г,') ",, (115,5) и, -р("! — 3!) л г~ — г~ где Воао В~а~ — =зо-е„+ ~ — — Е,— е„)0. и о ер " 2н Поэтому интегральное уравнение, соответствующее уравнению (115,3) и опадающей волне» Фо (1, 2) = е'""чро (го) пРиводится (если учесть только открытые каналы) к виду Ч'о (г~го) =Фо(1, 2) — — з,, о Х - ь„1,—.;! Х Х оро(оо) ~)л(го) р ю Ъ о(гуго) ЧТ~(гХ) с(ог)бого.
(115 б) !ГЛ. Х1И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 542 А„,(6) = — —,„", (бт„~ и(,,) ~Ч«+!). (1 15,6) В матричном элементе (115,9) 61„=!р (г)е " ' (115,10) — функция «конечного состояния»; Ч"о — 'решение интеграль+ ного уравнения (115,6). Эффективное сечение рассеяния в элемент телесного угла с(!1 равно с(п„е — — —," ! Аао(6) ГсЯ. Вычисление эффективного сечения рассеяния сводится к решению интегрального уравнения (115,6) или системы связанных интегральных уравнений е), которая получится из (1!5,7) при а) Подставлвя (1!5,12) в (!!5,6) и умножая на 1р„(га), наводим после интегрирования по переменным га систему уравнений !Ал(г! — !) )г — г, где (115,11) %и!а (г!) =- ~ ~Ря! (гт) ) о (г1гя) т (гя) !( ги Подставляя далее (115,12) в (1!59), наводим выражение для амплитуды рассеянна через фунипнн Г~+! (! ), А е= — 2л"5 ~)1~ ~ е "!РЯ (г,) Рм(+о!(г!)!(г!.
После' умножения уравнения (115,6) на !р„"(гя) и интегрирования по координатам второго электрона находим функцию Рт+!(г!) = ) р'„(ге) Ч",+'(г,г,) !('г„ соответствующую рассеянной волне при возбуждении п-го состояния атома )'!4( )=Ю( ) — ' ",= )т!— = — — "е ~ !р (и') т )то(г!гя) Ч1~+1(г,', гя) г!Аг! Т(ага. (115,7) ! г! На больших расстояниях от центра (г1-1-со) функция (!157) имеет асимптотический вид )!+е!(г!) =, 'А„(8) и! (115,8) где амплитуда рассеяния электрона 1 под углом 8 при возбуждении атома из состояния 0 в состояние и определяется выраже- нием РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ БЕЗ УЧЕТА ОБМЕНА 543 4 оав подстановке т!'~+>(г,г ) = .~~Р+)(г ) 4о (г ), (115,12) При больших скоростях падающего электрона можно применить борновское приближеиие, т. е. заменить в (115,9) %+~(г,го) на Фо. В этом случае (Ф„! Ъ'(г,г,) ! Фо) = )г е'о' 1'„о (г,) йоги В частном случае упругого рассеяния (Фо ! 'У' ! Фо) = ) е'4% оо (г) йог = 1', (115, 14) где Уоо — УсРедиепиаЯ по основномУ состоаиию атомного электрона потенциальная энергия взаимодействия падающего электрона с атомом.
Эту потенциальную энергию можно выразить с помощью уравнения Пуассона (е ( 0) %Ч/оо (г) = — 4пер (г) (1!5,15) через среднюю плотность электрического заряда в атоме р (г) = еей (г) — еп (г), где п(г) — плотность электронов в основном состоянии атома. Подставляя в (115,!5) разложения 1'оо(г) — (оа)о ) о'ое о'й~Ч и Р(г)= э ) Рое '~"йЧю -г з ! получим дЧ'о = 4перо. Следовательно, 1'о= 4™, ) р(г)еоо"йог= —,(Š— Г(о!)), (115,!6) где р (~у) = ~ а (г) е от'йог (115,17) — атомный формфактор, который зависит от распределения плотности электрона в атоме и от величины йд — импульса, передаваемого при рассеянии. Если плотность электронов где от =йо — й .
Ьд — импульс, передапный электроном атому при рассеянии 1' оо(г!) ~ Чп (го) !' (гъгтт90(го) його. (115,13) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. К!М обладает центральной симметрией, то рр Р (4р) = 4нр) 1 [ гп (Г) з1п (Г/Г) е(Г. е (115,18) При упругом рассеянии д = 2/е з!п —, /е = ! /Ге !. з 2' Подставляя (115,14) в (115,9), находим с помощью (115,1!) и (115,16) в борновском приближении эффективное сечение упругого рассеяния электрона атомом [2нех (2 — Г (д)) (х ) нее !Х вЂ” Г" (2А е!а (З/2))1 )(х с зч 1 =! 2з А и (е/2) В заключение вычислим явный вид атомного формфактора (115,18) для основного состояния атома водорода.
Волновая фУнкциЯ основного состоаниа в атоме водоРодафе(Г)= ехр ( — Г/а) р' н а /' — рр а рр,р. с,.р~ ...~ р,р= р ех ( — 2Г/а) Подставляя это значение в (115а(7а), находим г(Г/) —,[з!п(Г/Г)е "'ГГ/ =[1+® 1 . (115,20) е При малых углах рассеяния, когда Г/а = 2ла з1п — « 1„г (р/) — 1 — 2 Ча~ е ! Подставляя это значение в '(115,19), находим (при Л =!) ( = Ф (-'~) Г(~, /а << 1. Таким образом, в области малых углов рассеяния эффективное сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния.
При больших углах рассеяния, когда р/а» 1, эффективное сечение рассеяния иа/ е " = ( (М ы(з/2)) " совпадает с резерфордовским рассеянием на ядре атома (8=1). 2 116. Теория столкновений с перераспределением частиц. Реакции В предыдущих параграфах втой главы развивалась теория рассеяния,при котором допускались только внутренние возбуждения сталкивающихся частиц без изменения их состава.
Наряду с такими столкновениями могут происходить столкновения ь пн твогия столкновинин с пигегаспгвдвлинигм частиц В4к сложных частиц, при которых в результате столкновений меняется состав частиц. Такие столкновения называют реакциями или столкновениями с перераспределением частиц. Будем исследовать только такие реакции, в результате которых в конечном состоянии получается две частицы. При столкновении с перераспределением част~(ц система описывается оператором .Гамильтона Н, который можно представить в двух видах и = На+ ь'а= Нь+ ь'ь.
(! 16,1) где Н, и Нь — эрмитовы операторы, описывающие кинетическую энергию относительного движения и внутренние состояния соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц", т', и 7ь— операторы взаимодействря соответственно сталкивающихся (входной канал) и разлетающихся (выходной канал) частиц. Пусть Н = — — 7~+Н (Ц М 2 И (116,2) В результате столкновения происходит перераспределение составных частей столкнувшихся частиц. Оператор Гамильтона кинетической энергии и внутреннего состояния новых разлетающихся частиц обозначим через й 2 Нь= — — Рь+ Нь(5). 2нь (116,5) Пусть й ч 2вь Ф щ„(~) ехр(й1т ) (116,6) (116,7) — собственные значения и собственные функции оператора Нь. Задача о столкновении полностью определяется уравнением Шредингера (Š— Н,) Ч', = ь',1р (116,8) 1в ь.
с, д — оператор Гамильтона кинетической энергии относительного движения (с приведенной массой 1ь,) и внутреннего состояния сталкивающихся частиц. Его собственные значения и собственные функцйи соответственно равны в ьа Е, = — + е„~ » )О, ~ч Ф, = Ч~„, ($) ехр (й,т,). (116,4) квАнтовая теоРия РАссеяния 1гл. хщ с должным образом определенными граничными условиями.
В качестве граничного условия потребуем, чтобы на больших расстояниях от центра инерции всей системы функция Ч', изображалась суперпозицией волновой функции сталкивающихся частиц Фь = ф (й) ехр (газ г ), (116,9) а'а~ соответствующей энергии Е = — + а„и рассеянных, уходя2ва щих от центра волн. Удобно уравнение (1168) заменить интегральным. уравнением, учитывающим одновременно и граничные условия. Такое уравнение можно записать в символической форме (см, $ 114) Чга~+'= Фь, + (Е, — На+ гт1) ' $'аЧ'а+'. (116,10) (! 16,! 1) Это уравнение в символической форме имеет вид Ч~а+ = Фь + (Еа Нь + 1т!) Ъ ьЧ а удобный для нахождения асимптотики рассеянных волн в выходном канале.
функция Грина оператора левой части уравнения (116,11) для открытых каналов имеет вид Пь .. ~Р~!Аь!гь-гьь[) С(ь'ьь!гьь )= — 2яаа ~фа (ь) фа (ь ) ~ г~ ь 'ь — гь где а 2Ьь! Ьза„'~ аь= — 1е — е + — /- О. Ь~ ~ "а "ь 24ьа / (! 16,! 2) Это уравнение удобно для нахождения асимптотики функции во входном канале. Волновая функция, удовлетворяющая интегральному уравнению (116,10), определяет все процессы рассеяния и реакции в системе. Она описывает как относительное движение, так и внутренние состояния всех частиц системы (во всех каналах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
