А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Таким образом, равенство (106,1!) выражает диссипацию энергии квантовой системы через фурье-образ корреляционной функции и среднюю энергию осциллятора в равновесном состоянии. Сравнивая (!05,8) и (105,11), находим полезное равенство ( )= —,'„<в; в)„!622", (105,!2) позволяющее выразить мнимую часть обобщенной восприимчивости через фурье-образ симметризованной временнбй корреляционной функции равновесного состояния.
Зная мнимую часть восприимчивости, можно с помощью соотношений Крамерса— Кронига (97,22) найти и ее вещественную часть. Если состояние системы далеко от равновесного и нельзя ограничиться линейной реакцией системы (снльные внешние поля), то отклик системы характеризуется нелинейной восприимчивостью, которая выражается через корреляции более высокого порядка. гллпл х~ч КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ й 106.
Упругое рассеяние частиц без спина Как нзвестно нз классической механики, в нерелятивнстском приближении задача рассеяния одной частицы массы пь на другой частице массы тм взаимодействие между которыми У(г) зависит от относительной координаты г = г~ — гь может быть сведена к задаче рассеяния некоторой фиктивной частицы, обладающей приведенной массой р = +'' в потенциальном поле еч + т, Г(г). Такое сведение задачи упругого рассеяния двух частиц к движению фиктивной частицы с приведенной массой р в потенциальном поле У(г) осуществляется простым переходом к системе координат, связанной с центром инерции сталкивающихся частиц. В дальнейшем мы будем пользоваться только системой цент а .инерции.
Р пругим расозяниеа называется рассеяние, при котором не меняются внутреннне состояния и состав сталкивающихся частиц. Начальной стадией процесса рассеяния является движение навстречу друг другу двух бесконечно удаленных частиц (рис.!9). При их сближении взаимодействие между частицами меняет состояние их движения, затем частицы разлетаются. Конечной стадией процесса рассеяния является движение частиц друг от друга. Часто удобно вместо временного описания задачи рассеяния рассматривать эквивалентную стационарную задачу. При стационарном описании процесса рассеяния предполагается, что имеется непрерывный поток частиц, летящнх из бесконечности, который из-за взаимодействия с рассеивающим центром переходит в поток разлетающихся (рассеянных) частиц.
Задача рассеяния состоит в вычислении при заданном силовом поле потока рассеянных частиц (на бесконечном расстоянии от рассеивающего центра) как функции потока падающих частиц. Поскольку рассеянные частицы при большом удалении от центра движутся свободно, то относительная энергия их движения всегда положительна н не квантована. Таким образом, в задаче рассеяния мы имеем дело с непрерывным спектром.
Итак, в ртационарной формулировке задача рассеяния частицы массы упругов РАссвяниз чАстиц Бвз спинА 497 $106] !а с положительной энергией относительного движения Е в потенциальном поле !'(г) сводится к решению уравнения Шредингера (7'+ й ! тр (г) в. 4)г (г), (106,!) где йа=2!рй йЕ. (106,2) Предположим, что )У(г) отлично от нуля только в некоторой ограниченной области пространства !г( е,', й. Эту часть простран- Рнс.
!9. Рассеяние н системе центра инерции. Š— угол рассеянии. ства будем называть областью действия сил. Вне области действия сил частицы движутся свободно, и их состояние движения можно описать плоской волной хр (г)=ехр(й г), йта=йа, ' (!06,3) удовлетворяюшей волновому уравнению (!06,1) без правой части. Волновой вектор й, связан с импульсом р относительного движения простым соотношением р Ма.
Функция г),(г) нормирована так, чтобы плотность потока 'частиц численно равнялась скорости относительного движения, т. е. и Вгга 1а оиг (сРа гра грагра) гг (106,4) Пусть ! описывает поток «падающихн частхч~, состояние движения которых соответствует плоской волне (106,3). В результате взаимодействия происходит рассеяние частиц. Наша задача состоит в отыскании таких решений уравнения (!06,!), которые представляли бы суперпознцию плоской волны (!06,3) и !гл х~т КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ рассеянных волн, уходящих от области действия сил. Такие решения легко получить, если использовать фуищию Грина оператора левой части уравнения (106,1), который представляет собой оператор свободного движения частицы.
Функцией Грина оператора свободного движения называется функция 6(г!г'), удовлетворяющая уравнению с точечным источником (Че+ йе) 6(г !г')=б(г — г'). (!06,5) Если известно решение уравнения (!06,6), общее решение урав- нения (Че + йе) Ф (г) = А (г) (106,6) всегда можно представить в виде Ф (г) = ~р (г) + ) 6(г ! г') А (г') Рг', (106,ба) где Аь = ~„, ~е ~"е'(г(г')ф (г)Нг~, (10610) м е Принимая во внимание, что ~рь= е е является плоской волной, определяюшей движение эффективной частицы с импульсом рь = ййы можно переписать (!06,!О) в виде А ее = — -з-"р- Ье ! "'! Ю. (! 06,11) Функция Аь, называется амплитудой рассеяния. Согласно (106,! 1), амплитуда рассеяния пропорциональна приведенной где <р(г) — решение уравнения (106,6) без правой части.
Как будет показано в 5 !07, решение уравнения (!065), соответствующее уходящим (рассеянным) волнам, имеет вйд 6~+! (г ! г') = — „,, (106,7) поэтому в соответствии с (106,6) и (106,6а) можно преобразовать уравнение (106,1) к виду Полученное уравнение является интегральным уравнением, определяющим полную волновую функцию ф, задачи рассеяния.
На больших расстояниях (г >) И) можно положить й!г — г'~ ~ йг — йег', где йь = й —; поэтому асимптотическое значение ф,(г) имеет вид е'А~ 1р (г) = ср,(г) + Аь, — , г » с(, , (106,9) УпРуГОе РАссеяние чьстиц вез СПИНА 499 $10н массе и зависит от энергии относительного движения,,угла между векторами йа и йь и потенциала рассеяния. Из (106,9) следует, что на больших расстояниях от области действия сил рас- 000Г сеянная волна ф „= Аь,— целиком определяется амплитудой рассеяния Аь .
Рассеяние принято характеризовать дифференциальньш сечением рассеяния дд(8, ф), которое определяют как отношение числа раосеянных в единицу времени в элемент телесного угла Ж2 = з(п 80(8 с(ф частиц к плотности потока падающих частиц. Через элемент площадки гьс(й в одну секунду проходит 1,гдс(11 частиц, где радиальная плотность потока Поэтому, принимая во внимание (!06,4), находим связь между дифференциальным сечением рассеяния и амплитудой рассеяния — ьа при упругом рассеянии й = й .
Итак, дифференциальное сечение рассеяния однозначно определяется амплитудой рассеяния, для вычисления которой с помощью формулы (106,1!) надо знать решение интегрального уравнения (106,8). Если энергию взаимодействия г'(г) можно рассматривать как малое возмущение, то уравнение (!06,8) решается методом последовательных приближений. В результате получим Г дм!г-дЧ фд(г)=фд(г) — — ~ь, Ъ'(г)фд(г )с(г + ... (106,13) Подставляя (!06,13) в (106,11), мы представим амплитуду рас- сеяния в виде ряда Аьа з~дд (фь! 1 !фа>+ в + ( ~~, ) ~ фь (г) )г (г) !г (г') ф (г') 01ьгсРГ'+ Если этот ряд сходится и мы сохраним первые йГ членов, а остальные отбросим, то полученное приближенное выражение называют !У-м борноескиль приближением. В частности, в первом борновском приближении Аьд = — д,1,0 (фь! (г !фа) <в> в КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл.
хпг Подставляя (106,14) в (!06,12), можно вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния в первом борновском приближении г(2ЯВ) ( в )2 ( Следовательно пр22 вычислении амплитуды рассеяния в первом борновском прнблчжении надо в выражении (106,!1) заменить функцию 21ъ падающей волной' <р .
Перейдем к исследованию области применимости борновского приближения. Из (106,13) следует, что замена в интеграле (106,11) функции ф, падающей волной возможна лишь в том случае, когда в об22асти действия сил (где $~(г) велико) выполняется неравенство (106,! 4а) Р,(2$/ « й2 = —." й ""! (106,15а) где Согласно соотношению неопределенностей, величина 62!(2Р212) характеризует кинетическую энергию электрона в области с линейными размерами д.
Следовательно, неравенство (106,!5а) сводится к требоввнию, чтобы кинетическая энергия частицы была значительно больше ее потенциальной энергии.' Если потенциальная энергия Р(г) сферически симметрична, то в интеграле (1()6,15) можно выполнить интегрирование по угловым переменнь!м, Выбирая направление й, за ось г, получим (учитывая, что й =(й,1) условие применимости борновского ппиближения для сферически симметричного потенциала в 1инь — 22 ~ «~2. о (106,!6) 1Ф~(~) 1:Ь ~ ~~ ~ ~ Р (~')~ (г ),(Аг ~ Обычно !'(г) имеет наибольшее значение при г = О. Полагая в этом неравенстве г = 0 и подставляя значение ~„(г), получаем общее Условие пРиМенимости борновского приближения 1'." -'т~яй2 ~ г ехр (1(йг + й,г))2(хг ~ << 1. (106,15) При малых энергиях относительного движения, когда Ы « 1, в интеграле (.106,16) можно заменить экспоненциальные множители единицами.
В этом случае неравенство (106,15) преобразуется к виду упРугое РАссеяиие чАСтиц Без спинА 50! При больших энергиях относительного движения (Ы » 1) равен нулю вклад, вносимый слагаемым, содержащим экспоненту, поэтому это условие переходит в простое неравенство [г)г422 « йй22! (106,16а), Г где )г= — „[ !г(г)е[г . При малых энергиях, когда ~Ы << 1, моо жно в интеграле (106,16) разложить экспоненту в рял. Учитывая два члена этого ряда, мы снова приходим к неравенству (106,15а).
Рассмотрим явный вид условия справедливости борновского приближения для некоторых типов потенциальной энергии. г! а) Экспоненциальный потенциал !г(г)=$гчехр( — -). Гю В этом случае 2 2!гчйг2 1/(г) (е2йг — 1) [г = 2йгг — 1 о и условие (95,16) сводится к неравенству 2[2$г гг « лг )/1 + 4йггг При йг « 1 это условие переходит в 2[г(Гггч « Ь~; при йг >>1 получим [Аггчгч « йггг. б) Экранированный кулоновский потенциал гг(г)= г гг = — ехр(-аг), где а=1/гч. Чтобы вычислить интеграл 4 1= ~ е ' (е2'А' — 1) —, 4гг г о продифференцируем его по параметру а; тогда — = — ~ е (ег'"' — 1) с[г = —— де а а — 2й' Интегрируя полученное выражение по а, находим 1 1па 1п(а — 2!й)+ С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
