А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 89
Текст из файла (страница 89)
При О < О, сечение рассеяния изменяется медленно, приближаясь к конечному максимальному значению при 8=0. б)мПотенциал Гаусса У(г) =У ехр( — г~/(2го»)). Этотпотенциал является четной функцией, поэтому можно использовать формулу (108,8б). Тогда получим У (( йЬ вЂ” йа !) =(2П)э»ГОУОЕХр~ — 2 (йо — /Ьа) ГО~ и дифференциальное сечение рассеяния 2я(» го(го 5(о= В, ехр'~ — 4/ььго»з(пь 2 )Ж). (108,!О) Следовательно, эффективное сечение упругого рассеяния монотонно уменьшается с ростом угла рассеяния.
в) Сферическая п р ям о угол ьн а я яма У(г) = = — Уо, если г4 го, и У(г) = О, если г > го В этом случае потенциал также является четной функцией г. Используя формулу (!08,86), находим 4я)»а 515 ( ) аь — Йа(га) ) У(йь — й,)= ), „', ~г,соз((йь — й,!го)— (108,11) т !09) МЕТОД ПАРИ!!АЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ бой Подставляя (108,!1) в (!08,8а), получим дифференциальное сечение рассеяния. Интересной особенностью эффективного сечения упругого рассеяния на потенциале, соответствующем сферической прямоугольной яме, является то, что при больших энергиях относительного движения сечение рассеяния осциллирует при изменении угла рассеяния. При малых энергиях движения, т.
е. при условии = йго « 1, сечение рассеяния можно разложить в ряд по малому параметру е. Тогда легко видеть, что во всех трех рассмотренных выше примерах с точностью до членов $а сечение упругого рассеяния не зависит от угла рассеяния. Таким свойством обладают все потенциалы с конечным радиусом действия г,.
В связи с этим исследование упругого рассеяния медленных частиц не позволяет отличить один потенциал от другого. Рассматривая рассеяние как переход из начального состояния в конечное под влиянием возмущения )г(г), мы использовали для изображения начального и конечного состояний плоские волны ((08,!) и (!08,2). Однако плоские волив!, строго говоря, непригодны для точного описания процесса рассеяния методом квантовых переходов, так как они всегда имеют бесконечное протяжение н. следовательно, всегда априсутствукпъ в области действия сил. При строгом описании процесса рассеяния надо начальное состояние изображать волновым пакетом, так как пучок падающих частиц коллимирован в пространстве и попадает в область действия сил только череа некоторое время, и рассеянные волны должны появляться только после того, как падающая волна достигнет области действия сил.
Если начальное состояние описывается волновым пакетом, то значение импульса в падающей волне будет задано с неопределенностью Ьр аг)г, где !г — линейные размеры пакета. Во всех случаях, когда эксперименты ведутся с хорошо коллимированными и достаточно монохроматическими пучками части!ь размеры волновых пакетов значительно (!г ~ г,) превышают размеры атомных систем.
Поэтому неопределенность значений импульса в пакете волн будет очень мала по сравнена!о с изменением импульса, обусзовленным действием потенциала, приводящего к рассеянию. Этим оправдываегся упрощение, вводимое заменой волновых пакетов плоскими волнами. 9 109.
Метод парциальных волн в теории рассеяния Если потенциал поля, в котором происходит рассеяние, обладает сферической симметрией, то момент количества движения ч Р и "" ° дгу" ", Э ~ж~ соответствующие разным значениям глового момента, в ассея- нии участвуют независимо. оэтому удобно представить падаю ю волну в виде суперпозиции парциальных волн, относя- шихся к каждому моменту количества движения.
Выберем ось е координатной системы вдоль направления импульса падающей волны; тогда можно написать 60 !ра (г) = э'"'= ~~.", (2(+ 1) Е')! (йг) Р! (соз 9), (109,!) ! з Интегрируя это выражение по всем углам при учете Р~ (соз 6) Р~ (соз 8) ИИ = — б(к, 4й получим интегральное сечение упругого рассеяния о=4яй ~,Е (21+ 1)з1п26ь (109,12) Итак, интегральное сечение рассеяния можно представить в виде суммы парциальных сечений рассеяния оь относящихся к определенным значениям 1: оо и= 420'31 где Ос = — „, (21+ 1) з1п~б~ —— —, (21+ 1) ~1 — 8~[~. (109,13) Множитель (21+ 1) в (109,13) можно рассматривать как статистический вес 1-й парциальной волны, т.
е. как число состояний, различающихся квантовым числом и. Из (109,13) следует, что возможное максимальное значение сечения рассеяния равно (ос)макс = г,2 (21+ 1) Из (109,8) при учете (109,9) следует, что мнимая часть амплитуды рассеяния вперед имеет вид С помощью (109,8) и (109,9) можно выразить через фазовые смещения дифференциальное сечение упругого рассеяния (! 09,12) в элемент телесного угла сЕ3 — '"' =~ А (0) Р= )г ' ~(П(+ 1)(21'+ 1) Рг(сов9) Рг (сосо)в)п Ого)пог сов(сг-бг).
(г (109,11) МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Сравнивая это значение с (109,12), мы убедимся„что интеграль- ное сечение упругого рассеяния связано с мнимой частью ам- плитуды рассеяния вперед простым соотношением о= — 1т А(0), (109,15) ЛЧ (1 + 1) Л'йд < — =Е, 2)дед 2)д (109,16) где Š— энергия относительного движения. Из (109,16) следует, г (г л- 1) что расстояние гс, можно назвать расстоянием наи- А большего сближения.
При значениях г(гц вероятность обна- ружения частицы экспоненциально мала. Если радиус действия д меньше гоь то соответствующие парциальные волны почти не попадают в область действия Ь'(г) и не участвуют в рассеянии. Следовательно, парциальные волны с квантовым числом удовлетворяющим неравенству дд < ~/ц~+ и, которое называется оптической теоремой.
Применение метода парциальных волн особенно удобно в .Том случае, когда силы взаимодействия, определяющие потенциальную энергию )у(г), имеют малый радиус действия И (таковы, например, ядерные силы, силы, действующие между нейтральнымн атомами и др.) . В таких случаях в рассеянии частиц малой энергии будут участвовать только парциальные волны с малыми значениями 1. В этом легко убедиться на основе простых качественных соображений.
На расстоянии г, превышающем радиус действия д, на частицу в состоянии с квантовым числом 1 действуют только центробежные силы отталкивания с ЬЧ (1+ 1) потенциальной энергией . Поэтому частицы в основ2и .г ном будут двигаться на расстояниях г, удовлетворяющих нера- венству КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1ГЛ, Х1Ч б14 оютг ннг ) 2р Г д — — 111-у- ( — ю ) )г (г) )11 (г) 91 (г) чгг (109,18) гпг 1,~ б а Каи было показано в б Зб, решение уравнения для функции Ач имеет вид а1 ( ) 11 (Аг)' где 1(Аг) — сферическая фуниция Бесселя. Если выбрать р достаточно боль- шим, чтобы можно было для дю использовать всимптотичесное значение 1п1 д (г) Мп1Аг — — ), АТЪ 1, 2 1' (109,19) н искать асимптотическое решение для фуниции В(г) в виде 1п 111 (г) = з1п (Аг — — + 81), 2 (109,20) то, подставляя зти асимптотичесиие значения в левую часть равенства (!09,!8) находим уравнение, определяющее фазовое смещение 81, если известно решение )11, соответствующее асимптотичесиому значению (109,20), и А зш бт = — — ю ) У (г) )11(г) д (г) ю(г.
211 а ( 109,21) Полученное уравнение является точным. Для приближенной оценки величины фазовых смещений можно в (109,21) подставить вместо' Я1(г) функцию 9~(г); тогда получим А з! и бг — — ~ У (г)г 11 (Аг) г)г. о (109,22) Если ю( †облас действия потенциала и Ы юп 1, то для сферической функции Бесселя можно использовать аснмптотнчесиое значение (Аг)1 11(А ) 1 ° з.б... (21+ 1) ' Тогда из (109,22) находим 2р (Ы)"+' Г l г )и+1 з1п бг = — «ю З г (2(+ 1))ю ) У (г) ~у) г г(г. (109,хо) а Из (109,1л) следует, что фазовые смещения являются нечетными фуницяями А, С ростом 1, при Ы ~ 1, фазовые смещения быстро уменьшаются.
Например. 01 (Ы)' бю (Ы)а бэ (Ы)а ба 9 бю 228 ~ ба 11 025 Сравнение (109,19) н (109,20) показывает, что фазовые смещения 61 определяют изменение фазы асимптотической радиаль- Умножая первое из ятях уравнений на Я1, а второе на )11, вычитая из первого полученного уравнения второе и интегрируя от 0 до р, находим равенство метод пАРциальных волн В теОРии РАссеяния ной функции (!09,19) под влиянием центрально-симметричного поля )г(г). При отталкивании фазовые смещения отрицательны. Вычисление фаз рассеяния с помощью выражения (!09,22) соответствует борновскому приближению.
Оно справедливо при условии, когда ! Е/п бг! =! бс! « 1. Если энергия относительного движения такова, что ка'« 1, то говорят, что происходит рассеяние медленных частиц. Из (109,17) и (109,23) следует, что при столкновении медленных частиц в рассеянии участвуют только и-волны (! =0), т.
е. отличным от нуля является только фазбвое смещение бь. Исследование рассеяния парциальных з-волн сводится к решению уравнения (109,5) при ! = О, т. е. уравнения (д,а + й') /то(г) =2/й'(г) Ь Рь(г). (109,24) Чтобы определить фазовое смещение бь, надо решение уравнения (!09,24) преобразовать при больших значениях г к виду /ть(г) = ем з/п (Фг+ Ьь) (109,25) который получается из (!09,7) при оь = ехр (2/бо). Решение уравнения (109,24) будет исследовано в следующем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
