А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 84
Текст из файла (страница 84)
версии. Это название отражает первоначальную ошибочную точку зрения, согласно которой передача энергии возбуждения ядра электронам атома рассматривалась как внутриядерный фотээффект, осуществляемый фотонами, испускаемыми ядром. В дальнейшем выяснилось, что процесс передачи энергии возбуждения ядра электронам может происходить и в том случае, иогда испускание одного фотона абсолютно запрещено, т. е. между состояниями с нулевыми значениями полного момента (Π— О переходы, см.
9 94). Внутреннюю конверсию и испускание ядром фотонов следует рассматривать как две альтернативные возможности, осуществляемые при переходе атомного ядра нз возбужденного в основное состояние. Вопросу вычисления Вероятности внутренней конверсии посвященомногоработ(92 — 96), которые отличаются друг от друга тем нли иным использованным приближением для волновых функций атомных электронов н для оператора, определяющего переходы.
Здесь мы рассмотрим элементарную теорию внутренней конверсии, в которой волновые функции испускаемых электронов выбираются в виде плоских волн и используется нерелятивистское приближение. / Итак, начальное состояние электрона будет описываться функцией фэ(г)=(паз) ьехр( — — ). а= —, (100,1) $10Ц ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И 3-МАТРИЦА 4ТТ где Подставляя это значение в (100,8), а аатем (100,7) в (100,4), находим при интегрировании по угловым переменным испускае- мого электрона (учитывая ортонормированность сферических функций) вероятность внутренней конверсии (на одном элек- троне) в единицу времени ееСс %ч )Р-з !у !кч, ! Тр Рая=64п (,, р + )),~~!с~ д с)'„Ус (О„, ср„)~ОГ~ .
пя а (100,9) Квадрат матричного элемента, входящего в (100,9), пропор- ционален приведенной вероятности ядерного перехода, соответ- ствующего электромагнитному излучению типа Е! (см. (73]). На- помним, что формула (100,9) выведена при условиях: и/с'~ 1 и ЕетГ(йп) сй, 1. и 10!е. Вероятность квантовых переходов и 3-матрица В 5 90 было найдено общее выражение (90,11) для матрич- ного элемента а„„(!), определяющего переход под влиянием воз- мущения ))У из состояния !пс) в'состояние !и). Пусть состояния !гп) и !п) и нх энергии Е и Е„являются собственными функ- циями и собственными значениями оператора Гамильтона Но двух подсистем, оператор взаимодействия ))7 между которыми обусловливает переходы.
В представлении Шредингера оператор ))у не зависит от времени е). В случае, когда начальное время берется равным †, а ко- нечное время ! = оо, матричные элементы о (оо) обозначаются через (и!О"!т) и назь)ваются магричнесми элементами Б-матри- с)ьс. Следовательно, о 1с1 1=( (о о( — т)Рсоа)) ). 11ос|о оо Г— Б= Рехр — — ~ ))" (Г) с(! й .! оо оо Ъ = !+ —,', ~йу(!)а+Я-)' ~а, ~ (1,))у(1,)))у(1,)+ оо оо оо с, с, + ( —.,')' ~ Ис ~ Ит ~аайг(!1) )й'(1,)))У(!а)+ ..., (!01,2) Ф'(Е)= ехр ~~; На!1 Юехр ( — Не(~.
(101,3) *) В $90 рассматривался случай, когда оператор йг относился только к одной подсистеме (например, к атому). Тогда нт было внешним возмуще- нием с соответствующей временной аавнсимостью (например, световая волна). 478 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУШЕНИЯ 1ГЛ, ХН а <п(В! )=Х(п1(Е"'! '). а (101;4) Прн этом (и! Оо !т) 1 ~а~~ 1=,' (, ! 21Оа) ).
а < ~РМ ~ >=(+!'( ~ !а, !22212щ) ) и т. д. Учитывая (!01,3), можно преобразовать матричный элемент первого порядка к виду 1 1 (Еа Еш) 1 (п!У'1!т)= — — „(п!(У"!т) ~ е " "А= ОЭ =-ь221й(ń— Е ) (и! (У )т). (101,5) Перейдем к преобразованию матричного элемента второго по- рядка (и! Е $т) ( 2В ) ~л~ ~ ~~1(п! (р ('1) !1) ~ 1(42()! 11 (~2) ! т) с» 00 =(.~~) ~~~'(и!Я7 !))()'!й7!и) ~ е ('" 2) "сй1 ~е ( 2 ")" 192. Для вычисления второго интеграла в поо)ученном выражении проведем замену Е1 — Š— Ез — Š— 121, где 21 — малая положительная величина„обеспечивающая сходимость интеграла на нижнем пределе. В окончательных выражениях надо перейти к пределу 2!†О.
Таким образом, "° 11 е(1 )" 1(г-а ~е(т " )" й=(й Б — Е1+ 1Ч' В соответствии с тем, что (101,2) представлено в виде ряда, можно записать матричные элементы (101„1) в виде суммы ма- тричных элементов разного порядка ОЛОЦ ВЕРОЯТНОСть КВАнтОВЫХ ПеРЕХОДОВ И 3-МАТР1ЩА 4уз Следовательно, ,е е ,О1з)1, 1 'Ч1 (л)%7)1)(Н)Г)о1) " 1(е„-е -1В) — „ Ф. = — И 'б(Е.— Ем),, " ' " . '. (101,8) Ем — ЕГ+ и) Таким же образом можно преобразовать матричные элементы следующих порядков.
В дальнейшем мы будем рассматривать только переходы, в которых конечное. состояние отличается от начального. Тогда (и) гп) = О. Итак, учитывая (101,5) "и (101,6) и проведя аналогичные преобразования других слагаемых (101;4), можно записать матричные элементы 5-матрицы в виде (п131)п)= — Иий(ń— Е )(и) Т)т), (101,У) где (п) Т1ш)=( ) И71 )+Х ~йе ~Н ~~+.Ф ) + +~ (и)"'11)(~!"') 1')(р)");") + ... (101,8) ф(Š— Е, + о)) (Š— Ер + 1И) Матричный элемент (п)Т)т) называется матричным элементом перехода на энергетической поверхности.
Функции 1)) промежуточных состояйий являются собственными функциями Оператора Но, поэтому (101,8) допускает простое преобразование. Например, отдельные слагаемые, входящие во вторую сумму (101,8)-, можно записать в виде В1е1ЯДп=1.1Р1оо11Я.— о.+ьо-'11)о~т1 >. Следовательно, энергетические знаменатели, входящие в (101,8), можно рассматривать как средние значения оператора (Е,— Но+ 11))-1 в соответствующих промежуточных состояниях.
Таким образом, равенство (!01,8) можно записать в операторной форме Т=И7+ Ит(Š— Но+ 1т)) 'Ит + + И)" (Ет — Но+ 11)) ИГ(Ем — Но+ 1т)) ' ИГ+ 480 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !ГЛ. ХП Полученное операторное равенство можно рассматривать как решение методом последовательных приближений операторного уравнения Т = )р" + )(7 (Š— Нэ + й))еа Т. (101,9) Из (101,7) следует, что вероятность перехода за бесконечно большое время определяется равенством 8) „(лл) = ! (Н) 5 ! т) !э = 4нэбз (Ел — Е ) ! (а ! Т ! т) ~.
Если преобразовать квадрат дельта-функции к виду бг(ЕР— Е )= г г г 0(нл — Ет) 1.. ( !(Ел ауп) Л а, Ь(Еп — Н~л) 1 ~ ат г-ь ) 2 г-пс то вероятность перехода в единицу времени можно записать в виде Рл = " ( ) = — б(ЕР— Е )1(а! Т) ) !з. (101,10) и!и ) ш г.+ п~ -т В первом порядке теории возмущений Т =' )Р' и (!0110) совпадает с (93,3). Если оператор И' мал, то для вероятности перехода можно получить хорошее приближение, взяв в ряду (101,8) несколько первых не равных нулю слагаемых. Прн больших значениях )Р необходимо испольэовать много членов бесконечною ряда (101,8) илн решить интегральное уравнение, соответствующее операторному уравнению (101,9).
Матричные элементы различного порядка, входящие в (101,8), принято обозначать графически с помощью графиков или диаграмм Фейнмана (9У). Если )))' является внешним постоянным полем, действующим на частицу, то матрйчному элементу первого порядка будет соответствовать диаграмма )ИГ ! ! на которой начальное и конечное состояния изображаются прямыми линиями, а внешнее поле )Р— штриховой линией. Такая диаграмма изображает процесс рассеяния частицы внешним полем. ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Н 3-МАТРИДА 48! $ ЮЦ Матричному элементу второго порядка в !!01,8) будет соответствовать диаграмма изображающая процесс двукратного рассеяния частицы внешннм полем.
Таким же образом можно изобразить процессы рассеянии большей кратности, !6 А, С, даввлов ГЛАВА ХШ. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ РЕЛАКСАЦИИ й 102. Статистический оператор динамической подсистемы (Р (1)) = 3 р (р (1) А), где р(1) — статистический оператор (или матрица плотности р„, (1)), удовлетворяющий уравнению Лнувнлля И ~, ~ =[Н, р[. (102, Ц Часто интересующая нас система с конечным числом степеней свободы, которую мы будем называть динамической системой, не является замкнутой, а находится в контакте со своим окружением, обмениваясь с ннм энергией, частицами и т.
д. Такие динамические системы называются открытыми системами, В открытых системах, обменивающихся с окружением энергией и частицами, состояния термодинамического равновесия описываются (см. $ !4) статистическим оператором р=ехр(0[Π— Н+РФ)), 0=(АТ) ', (102,2) где Д = (йТ) '; П = — — „(п Бр (ехр (0 [РА7 — Н))) — термодннамический потенциал системы. Если система обменивается с окружением только энергией, то статистический оператор равновесных состояний определен выражением р=ехр(0(Р— Н)), (102,2а) где Р= — — (п Зр(ехр ( — ВН)) 1 р — свободная энергия системы. Если в начальный момент времени открытая система находилась в неравновесном состоянии, то с течением времени она Если квантовая система с гамняьтонианом Н является замкнутой, то изменение средних значений физических величин А, характеризующих ее состояние, определяется в общем случае формулой э к»я стлтистичвскнп опввлтог дннхмичвскоп подсисщмы чзз будет переходить в равновесное состояние, определяемое внешними условиями (температурой и т.
д.). Процессы приближения квантовой системы к равновесному состоянию называются процессами релаксации. В этой главе мы рассмотрим некоторые методы исследования процессов релаксации в простейших кванто-' вых системах. Пусть Н,— гамнльтоннан динамической системы, Нг — гамильтониан диссипативной системы, взаимодействующей с динамической. Если оператор взаимодействия Нмьтополный оператор Н= На+ Нт+ Нге! (102,3) будет описывать замкнутую систему с помоп1ью статистического оператора р„т, удовлетворяющего уравнению (102,1). В соответствии с теоремой Фока — Крылова ($96) дисснпативная система и, следовательно, полная система должны иметь бесконечное число степеней свободы и непрерывный спектр, чтобы состояние стремилось с течением времени к равновесному пределу. Конечно, приписывание диссипатнвной системе бесконечного чи-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
