А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. г Р~ (8);Г', а~~1 соз О. В частности, пу~ дипольиом излучении Г ЯЬ зйгг 8, Р~ 1 —— — (1 + созе 9). 1 При квццруполгнчом излучении Р Зз1о ~амг9', Р = — з)пзй ° (1+сов'8), и т, д. гй 1 ВРемя жизни Возвгжденных состоянии й 66. Время жизни, возбужденных состояний и ширина энергетических уровней Возможность спонтанного перехода квантовой системы из определенного возбужденного состояния в более низкие энергетические состояния приводит к тому, что возбужденные состояния квантовых систем нельзя рассматривать как строго стационарные состояния.
Они обладают конечным временем жизни. Временем жизни Тв состояния (а) называется время, в течение которого вероятность ЯВ (г) пребывания. системы в состоянии (а) уменьшается в е, раз, т. е. Е,(Т ) = е-'. Если закон распада состояния экспоненциальный, то В, (() =' ехр ( — ИТ,). (96.() Понятие времени жизни имеет определенный смысл только в квазистациопарных состояниях, т. е. в состояниях, в которых выполняется неравенство Т,~>> Ь~Е,. Время жизни, обусловленное процессами спонтанного испускания фотонов, называется радиационным временем жизни. Спонтанное излучение фотонов только частично определяет время жизни состояния, так как наряду со спонтанным излучением фотонов возможны другие процессы потери энергии возбуждения квантовой системой.
К таким процессам относятся взаимодействия между атомными системамн, приводящие к безызлучательному переходу энергии возбуждения на другие степени свободы, например, столкновения между атомами может перевести энергию возбуждения в кинетическую энергию их движения, электронное возбуждение в молекулах и атомах может перейти в колебательное возбуждение ионов. В ядерных системах к таким процессам относятся: передача энергии возбуждения ядра электронам атома (явление внутренней конверсии),или ядерные превращения, сопровождающиеся вылетом из ядра-нуклонов, электронов и т. д.
Если такие процессы характеризовать парциальными временами жизни Т,((), то общее время жизни Т, квантового состояния будет определяться формулой Т, = .~~~ Т, ' Я. (96,2) Рассмотрим случай, когда система характеризуется только радиационным временем жизни.
Тогда при г « Т выражение (96,1) можно записать в виде йй. (С) = ( — — '. (96,3) Следовательно, ЦТ определяет суммарную вероятность, отнесенную к единице времени„спонтанного испускания фотонов при квантовых переходах из состояния (а) во все другие состояния, обладающие меньшей энергией. Согласно $94, вероятности 460 пеРехОды пОд влиянием внешнего возмущения 1гл. хп таких переходов в единицу времени выражаются формулой (94,7). Следовательно, т. = Х в ) (~)ге"! О) ~р(Е1) (964) Г1<л где суммирование выполняется по всем конечным состояниям с энергией Ег ( Е1, р(Е1) — плотность числа конечных состояний. В 5 16 было показано, что экспоиенциальный закон распада связан с неопределенностью энергии квазистационарного состояния.
Волновая функция этого состояния с учетом взаимодействия, приводящего к спонтанному испусканию фотонов, имеет вид ф.а,о)=~С.(Е) ),(й)йй, (96,5) где фв($) — собственные функции оператора полной энергии (с учетом взаимодействий) системы, С вЂ” а~~ (Е Ла)а + ва/4 (96,6) — плотность вероятности того, что энергия в состоянии ф ($, О) имеет значение Е, з †характеризу величину разброса энергии и называется естественной шириной энергетического уровня.
Функциональная зависимость (96,6) называется распределением Лоренца. Естественная ширина уровня связана с его временем жизни простым соотношением Те= Й. (96,7) Этому выражению можно придать форму, соответствующую стационарному состоянию, введя комплексную энергию Е: 1И 1 фа(ээ1)=1гагэ О)ехр~ — а ( Е=Ео — — е. Если наряду со спонтанным излучением имеются другие причины, уменьшающие вероятность пребывания системы в возбужденном состоянии, то ширина возбужденного уровня, согласно (96,2), будет-равна сумме парциальных ширин, обусловленных различными процессами уширения.
Квазистационарные состояния можно рассматривать и сдругой, более формальной, точки зрения как состояния с комплексной энергией. Действительно, волновая функция квазистационарного состояния со временем жизни Т = й/е должна иметь вид ф.(В,Г)= 11' ф.(В,О)е р( — 1 — '), )ф 6,0)'.=е-"м ВРемя жизни Возвужденных состОянии.
4з~ Таким образом, средняя энергия Е„время жизни Т и ширина уровня а квазистационарного состояния однозначно опреде. ляются через его комплексную энергию с помощью соотношений Е» —— ЙеЕ. е= — =21гпЕ. Связь (96,7) между временем жизни квазистациоиарного со стояния и неопределенностью энергии является частным случаем теоремы, доказанной Фоком и Крыловым [86) о том, что функцп" распределения энергии ~ Св~з в квазистационарном состояни" непосредственно связана с законом распада этого состояния.
Пусть гамильтониан системы имеет вид Н =' Но й+ В'($). (96,8) Предположим далее, что оператор Н«Щ имеет дискретные энеР гни Е„соответствующие собственйым функциям ~р,(в).,Опера тор 1«"(в) вызывает переходы между этими состояниями. ПО этому, если при ( = 0 состояние системы характеризовалось функцией то это состояние будет квазистационарным. Чтобы определит' функцию ф,($, 1), разложим функцию ф,($, 0) по полной св стеме собственных фУнкций фв($) полного гамнльтониана (968). Если он имеет непрерывный спектр, то фд (В> 0) = ~ С„ (Е) фе Щ г(Е, ~ 1 Сд (ЕЯ г(Е = !. (961и) Следовательно, '4« (»1 ~) ~ Сд (Е) а ~ля» фа (»») г(Е Вероятность того, что при 1 ) 0 система все еще будет нахо диться в состоянии ф,($, 0), определяется формулой р1 е)' Фок и Крылов (86) показали, что необходимым и достаточным условием «распада» состояния, т.
е. того, чтобы Вт Ид (() О, является непрерывность функции (С,(Е) ~з относительно Ю. В частности, как мы видели в $16, если эта функция совпадает с (96,6), то 462 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ (Гл. ХН В системах с гамильтонианом (96,8), имеющим дискретный спектр. собственных значений Е„, выражение (96,9) заменяется суммой ф (з, 0)= ХС„(Е ) ф (з), поэтому ЯВ„(1)=~~~~~! С,(Е„) $'з ш~'~~'= В ~',! С (Е) ~4+,Х )С (Е ) Я С (Е ) )гсоз((Е Е ) 1Щ (гй~ ш (96,10) Таким образом, в системах с конечным числом степеней свободы, в которых полный гамильтоннан обладает дискретным спектром, вероятность обнаружения системы в квазистационарном состоянии )а) характеризуется функцией И„(1), которая осциллирует с течением времени и не стремится к нулю при 1-+ оо.
й 97. Линейный отклик квантовой системы на внешнее воздействие Рассмотрим линейную реакцию (см. также (87 — 89]) квантовой системы, описываемой гамильтонианом Н на внешнее периодическое возмущение Нья(1), адиабатически включаемое в бесконечном прошлом.
Тогда Ньа (1) = О ехр (ц1 — Ы4 В. (97,1) где 0 — амплитуда внешнего возмущения;  — операторы, характеризующие динамические переменные квантовой . системы; ц — бесконечно малая положительная величина, обеспечивающая адиабатичность включения взаимодействия при 1= — Оо. Введение малой величины Ч формально учитывает затухание, всегда имеющееся в любой реальной системе. Даже при исключительно слабом затухании по прошествии достаточно большого времени собственные возбуждения в системе затухнут и останутся.'только вынужденные, вызываемые внешним возмущением. При включении возмущения адиабатически изменяются и средние значения физических величин в системе.
Как было показано в ф 31, среднее значение физической величины Ф вычисляется с помощью статистического оператора р(1)., В представлении взаимодействия имеем (Ф(О) = 8р(р(1) 4Ю, (97,2) тле Ф Я = ехр уННЬ) Ф ехр ( — 1Нч'й) зал лннянныи отклик системы нл вившнвв воздвнствив сбз — оператор физической величины Ф в представлении взаимодействия; Р(1) †.статистический оператор в представлении взаиМодействия, удовлетворяющий уравнению Лиувилля =[Й Я Р(1)[, (97,3) где Р (г) — а!инар (1) е-!и!!а (97;4) Йм! = ехр (сНггй) Н,м Я ехр ( — (НЦй). (97,6) Если до включения взаимодействия статистический оператор Р(1) равнялся Ро, то к моменту 1 в линейном приближении по внешнему возмущению находим ! Р(г) = Ро+,.~ [ [Й!м (т), ро[с)т.
-ФФ Подставив зто значение при учете (97,1) в (97,2) и проведя циклическую перестановку операторов под знаком шпура,' получаем л -го!+я! г (Ф(1))=(Ф)в+, ~ е г"!' "+и<' г>8Р(ро[Ф(г), В(г)[)сгт. где ((Ф; В)). = —, 1 е«- ! «Ф; В)), а (97,9) л) ЗаяааЛЫВаяяцая фувяккя ГрИНа раССМатркааЛаСЬ БОГОЛЮбОВЫМ я Тябликокым (901 (см. также 1аа)). (97,6) где (Ф)о = Вр(роФ) — среднее значение Ф в системе без внеш- него воздействия. Вводя под знак интеграла ступенчатую функцию 1, если 1> т, О, если 1<т, можно верхний предел интегрирования заменить бесконечностью. Тогда под интегралом (97,6) будет запаздывающая двухвремеи- ная функция Грина *) от операторов Ф и В: «Ф; В)), = — 166 — т) Вр(ро[Ф(0~ В(т)[)= = — гО (1 — т) Ьр(ро [Ф (Х вЂ” т), В (0)[).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
