А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Этим оправдывается использование выражения (93,3), содержащего Ь-функцию. Если обозначить число конечных состояний данного типа, приходящихся на единичный интервал энергии Еь через р(Ег). $9Я ЕНРоятность пеРехОдА В единицу ЕРемени 445 то полная вероятность перехода в единицу времени будет определяться выражением, которое получило название «золотого правила Ферми»: Р,= ~ Рдр(Ег)ЙЕг= ~ 1(~!!Р! 1) ~р(Ег) (934) при условии Ег = Еь Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор возмущения )У*(1) зависит от времени периодически между моментами включения и выключения: В'А. (1) = гэь ехр(-4- 1ыг), (93,5) и скачком изменяется до нуля вие этого интервала. В этом случае с помощью формулы (90,14) находим ЯВЙ (т) = ~ ! (У ! )Р ~ 1) !" т ° Ь (Еà — Е~ -Р йы) (93 6) и вероятность перехода в единицу времени будет определяться формулой Рр — — „" ~ (~ !ш~ ~ 1) Р 6 (Ег — Е, -1- Ьы), (93,7) где знаки '+ и — соответствуют знакам, с которыми входит частота ы внешнего возмущения в экспоненцнальный множитель (93,5).
Таким образом, при возмущении, периодически зависящем от времени, переходы происходят в состоянии, обладающие энергией Ег, удовлетворяющей условию Е1 — — Е, ~ Ьы. (93,8) Следовательно, при возмущении В'+(1) = ге+е'"' при квантовом переходе система теряет энергию ев, так как Ег = Е~ — йы, а при возмущении Уу' (1) = гэ е-*'"' система приобретает энергию еы, так как Ег = Е~ + еы. Потеря и приобретение энергии йы рассматриваемой системой (будем называть ее системой 1) происходят за счет изменения энергии системы 11, которая взаимодействует с первой.
Суммарная энергия полной системы, состоящей из обеих взаимодействующих систем, при квантовом переходе системы ! из состояния 1 в состояние 1 остается неизменной. Предположим, что системой !1„взаимодействующей с системой 1, является система фотонов с энергией аы, тогда вероятность перехода в единицу времени (93,7) из определенного начального ~нач) в определенное конечное !кон) состояние можно записать в виде РР; ж цубу ~ ! (Еон ) в ь ! нач) ! б (Ейач — Е Р), (93,9) 446 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМЕЩЕНИЯ 1ГЛ. ХП где Е„,„=Е, + йв, Е„,,„ =ЕГ (поглощение фотона), Е+„= Еь Е,+,н = ЕГ + йв (непускание фотона). 9 94.
Взаимодействие квантовой системы с электромагнитным излучением Взаимодействие бесспиновой частицы массы 1Г и заряда е, входящей в состав атома (молекулы), с электромагнитным полем, описываемым векторным потенциалом А, определяется (см. $58) оператором )г' (1) — — Ар + — Аз (94,1) где А — оператор векторного потенциала, р — оператор импульса частицы. При вычислении методом теории возмущений вероятностей перехода, последние, согласно-5 90, представляются степенным рядом по оператору взаимодействия Ф''(1). Безразмерным параметром малости в этом ряду при взаимодействии (94,1) будет постоянная тонкой структуры а еэ1йс = (137)-'.
Малость этой величины позволяет во многих случаях учитывать только первое приближение теории возмущений. В этом случае в (94,!) можно сохранить только первое слагаемое, т. е. поло- жить (94,2) Без учета взаимодействия (94,2) гамильтониан полной системы представляет собой сумму гамильтонианов атома Н„и электромагнитного поля Нф. Предположим, что мы знаем решение уравнения Шредингера для атома (̈́— Е,) ~р~ 0 Н,-'Я ~,...+ф). Тогда 1паа) — его собственные функции при пя,-фотонов. Состояния полной системы: атом модействия (94,2) характеризуются функциями ! Пяа) %' наличии в поле и поле без взаи- (94,3) Гамильтониаи цоля выберем в представлении вторичного кван- тования (80,15), т.
е, положим % 941 кВАИТОВАя сисгемА и электгомзгнитное излучение 447 Если в (94,2) подставить оператор поля (80,14), то оператор взаимодействия примет вид ЪГ(1)= — — ~ (~ )*еюе'(еаза)р)[ааа(1)+ате,аЩ (~44) Е,а где, согласно $80, аеа (1) = аяа ехр ( — 1ыет) — гайзенберговское представление оператора уничтожения фотона (4еа); ать(1) — соответствующий оператор рождения того же фотона. Таким образом, каждое слагаемое оператора взаимодействия характеризует процесс поглощения (уничтожения) или испускания (рождения) фотона атомной системой. Рассмотрим часть оператора (94,4), соответствующую испусканию фотона Яа). В соответствии с $93 ее можно записать в виде ш+ ехр ( — иое1), где ш+ — — — — ( ~ ) е'е'(е Щ) р) ата, ы = Яс.
(94,5) Если начальное состояние полной системы (без взаимодействия) характеризуется функцией [нач) = [ие )ф» то оператор (94,5) переведет систему в состояние с функцией !кон) = !пеа + 1)фн При этом, учитывая действие операторов рождения фотонов аеа ! и,) = у' п а+ 1 ! и, + 1), получим (кон ! ш+ ! нач) = — — ( — ) )гие + 1 (еа Щ) (ф1 !е-'О'р ! ф )). (94,6) Таким образом, в соответствии с (93,4) и (93,9) вероятность испускания фотона атомной системой в единицу времени определится формулой Р1р~= — „! (кон !в+! нач) ~р(Е'„ф, (94,7) где р(Е а) — плотность числа конечных состояний.
В случае г (+)ъ атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атома. Следовательно, интегрирование в (ф1!е'а'р! ф,) =- (1]е'а'р ! 1) существенно только для г ~ а, где а 10-з см (радиус атома). Длина волны видимого и ультрафиолетового света значительно больше размеров атома »)а = — 10 Еяа -з А 448 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ 1ГЛ.
ХП Такое же соотношение выполняется и для многих типов у-иэлу« чений атомных ядер (для ядер а 10 'а см). Следовательно, в этих случаях, разлагая в матричном элементе экспоненциальный множитель в ряд ехр( — (осг)=1 — Исг+ + ..„ ( — 14)г)о (94,8) можно учесть только первый член ряда, т. е. положить (г 1 егогр1 1) ы (о 1р 1 1) (94,9) Такое упрощение называется длинноволновым приближением.
Если матричный элемент (94,9) оказывается равным нулю, то надо учесть следующий член в разложении (94,8). Матричный элемент от оператора импульса (94,9) можно заменить матричным элементом от оператора координаты с помощью соотношения (1 (р1 1) = цгв11 (~ 1г1 1), Ьв(1 = Е( — Ег. (94,10 Доказательство равенства (94,10) легко провести в общем виде. Пусть 1 оператор Гамильтона Но = — р'+ Н (г). Тогда, используя перестаноаоч.- 2р иые соотношения между оператором импульса и координаты, легко получить операторное равенство 18 гНо — Ног — Р. р Теперь, если вычислить матричные злемеиты от обеих сторон этого равенства, используя собственные функции оператора Н,„ то получаем искомое соотношение — (Е)Р11) =(11гно — Ног11) =ам, 0(г(1).
Й р Таким же образом можно убедиться в справедливости (94,10) для системы, состоящей из любого числа взаимодействующих частип, если р ~ч ', р и г= о = Х.о Подставляя (94,10) в (94,6), находим матричный элемент дипольного электрического перехода в длинноволновом приближении (2пй 1яо +1) 1уо (кон(Ш 1нач) = — (вр 11 ., ) (веди) (94,11) где вектор о1(г —— е (у(г1 1) (94;12) называется дипольным электрическим моментом перехода 1- Электромагнитное излучение, обусловленное отличным от нуля матричным элементом (94,!2), называется дипольным электрическим излучением и кратко обозначается Е1. Для окончательного вычисления (94,7), т. е.
вероятности излучения кванта ЬГе в единицу времени, надо еще определить плотность числа конечных состояний р(Е~а„). Число. конечных +) состояний системы, состоящей из атома и внешнею электромагнитного поля, при переходе атома в дискретное состояние определяется числом степеней свободы электромагнитного поля. Если учесть квантовые свойства этого поля, то каждый фотон энергии е = ВГе имеет импульс р = е/с. Поэтому число состояний поля в объеме' 1' с определенной поляризацией фотона и импульсом фотона в телесном угле 011 с абсолютной величиной, лежащей в интервале р, р + др, определяется выражением Ура ар а11 р'ее Ир ай 1 З) = ее(2пй)е Поскольку — = —, то соответствующая плотность числа соар 1 ае е' стояний на единичный интервал энергии равна дЖр Ъ не 011 ае 12пе)ее ' (94,13) Подставляя (94,!1) и (94,13) в (94,7), находим вероятность испускания фотона в единицу времени в телесном угле е(11 с поЛЯРИЗВЦИЕй Еа (Ц) И ЧаСтОтОЙ ГЕ = ГЕТ1А' (94,14) Вектор поляризации е„ перпендикулярен вектору распространения света Я, поэтому, если обозначить угол между Я и направлением дипольного электрического момента перехода 1(п через 8, то (е 611 ~е ~ 1111 РЕ(п 8.
Теперь выражение (94,И) можно переписать в виде Гв1р р НА11+ =(пяа+ 1) 2 з~ з1п~8ЫЮ (94,14а) Интенсивность испускаемого в секунду излучения в элемент телесного угла дй получается путем умножения (94,14а) на энер- ГНЮ ЕГЕ: (еа +1)ег 1(711 — — ~2п, 1 е(11 (е з(пе 8 Ый. (94,146) Из этих выражений следует, что вероятность испускания фотона отлична от нуля и в том случае, когда в начальном состоянии не было фотонов (пе = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
