А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Такое излучение называют спонтанным излучением. Часть излучения, интенсивность которого % 941 КВАНТОВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 44З 49) ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [Гл. ХП пропорциональна числу аз~ фотонов в начальном состоянии, называют вынужденным излучением.
Процессы вынужденного излучения широко используются в квантовых генераторах света— 'лазерах. Интенсивность спонтанного излучения (94,14б) совпадает со средней по времени энергией, излучаемой в единицу времени в телесный угол Ж3 электрическим диполем: Д (!) = 2 '$/ !л(п !з соз ы(.
Интегрируя (94,14а) при п~ = 0 по всем направлениям излучения, получим полную вероятность спонтанного излучения в секунду с испусканием одного фотона з з (94,15) Для оценки порядка величины вероятности (94,15) положим гя —— а, где а — линейные размеры квантовой системы, тогда~ ВР ( с ) !37 ( с ) ' Для систем с кулоновским взаимодействием а = ез!Ва, поэтому Рм ч а ° 137 (94,1ба) Из (94,1ба) следует, что для излучения оптических частот (е !Ом с ') порядок величины вероятности перехода в одну секунду равен 10э с '. Для излучения у-частот (в 10м с ') Ря 1Ом с '. Повторяя предыдущие рассуждения для оператора зу е '"~, где ш = ш+, можно определить вероятность поглощения в одну секунду фотона при переходе атомной системы из состоя- ния ! в состояние ).
Если свет поляризации е„поглощается из телесного угла г(й, то соответствующая вероятность поглощения в,одну секунду равна з, г(Рй = —,з ! ВАП Г~Ю . (94,!7) Если в начальном состоянии электромагнитное излучение находитсц в равновесии с черным телом при температуре Т, то число фотонов пя„в формулах (94,14) и (94,17) должно быть заменено на среднее значение. числа фотонов при данной.температуре Ж = (е"'у~г — !) В этом случае направление излучения и поляризации произвольны, поэтому в формулах (94,14) и (94,!5) надо провести соответствующие суммирования, чтобы перейти к 'вероятностям, от- эза квлнтовля систвмл н элвктгомхгннтиов излтчвниа 4ч1 несенным к единице времени полного вынужденного испускания и полного поглощения фотона частоты ак Р$' = У вЂ”, ! Ин Р, Р)~ ~ = У вЂ” „, 1 Ип ~з. Эйнштейн показал, еще до развития квантовой теории излучения, что статистическое равновесие между излучением и веществом возможно только в том случае, когда наряду с вынужденным испусканием, пропорциональным плотности излучения, имеется спонтанное излучение, происходящее и в отсутствие внешнего излучения.
'Спонтанное излучение обусловлено взаимодействием атомной системы с нулевыми колебаниями электромагнитного поля. В предыдуших формулах мы рассматривали изменение состояния одного электрона в атомной системе. Если атомная система содержит не один, а несколько электронов, то надо заменить матричный элемент дипольного перехода электрона на матричный элемент дипольиого электрического перехода всех электронов, т. е, провести замену х 4я Х4я Я. мн где 2 — число электронов в системе. Матричный элемент иа функциях ~р полного оператора взаимодействия (94,1) бесспиновой частицы массы р и заряда е с электромагнитным полем, характеризуемым векторным потенциалом А, может быть записан в виде (~! Ж(1) (0= ~ ф)~ — — Ар+ —,А~~фРг = ~,Увы~.
Входящую в этот интеграл родынтегральную функцию 1 < ев 6~ 2 Юм= — —,~ —,А(ф,рф,— фри — —,„, А ф,ф~ можно назвать оператором плотности матричного элемента пе- рехода. При этом величина образует й-ую составляющую плотности электрического тока перехода 1-+ )'. При 1' =! выражение (94,18) переходит (см. (58,6) ) в й-ую компоненту плотности электрического тока в состоянии й 452 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ, ХП Из (94;18) следует, что плотность матричного элемента перехода ь с Х,~ [ (94,19) ь=[ о Запись матричного элемента в виде выражения (94,19) удобна потому, что она сохраняет свой вид и в случае частиц, обладающих спином, если подставлять в (94,19) вектор плотности тока для соответствующих частиц.
Так, например, для частиц со спином '/ь в нерелятивистском приближении вектор плотности тока перехода должен быть выбран в виде (см. (63,13)) ь[[ 2 [ НРФ[ (У[у[) Ч с [Р[[Р[ 2 [(%~ а[у[) Х 71, (94,20) где ~р — двухкомпонентные функции. Следовательно, матричный элемент (94,19), соответствующий только спиновому взаимодействию, будет иметь вид (7! [е,„„, Ю = ~ (Иа(УХА) 11). (94,21) $96. Правила отбора для испускания и поглощения света.
- 54ультипольное излучение Согласно (94,11) и (94,17), вероятность поглощения и испускания дипольного электрического излучения в единицу времени пропорциональна квадрату проекции матричного элемента дипольного момента на направление поляризации фотона ежась= — е(Ь! ег 1а).
(95,!) Численное значение этого матричного элемента зависят от вида волновых функций квантовой системы, в которой совершаются переходы. Для систем с центрально-симметричным полем зависимость волновых функций начального и конечного состояний от угловых переменных характеризуется сферическими функциями, т.
е. ! а) = 1гс(г) Уг,е„(9 ~р), 3 Ь) =Йь(г) У[ь„ь(9, гр), (95,2) где 1„т„[ь, ть — квантовые числа, определяющие квадрат момента количества движения и его проекцию на ось е соответственно для начального а и конечного Ь состояний. При отсутствии спин-орбитального взаимодействия спиновое состояние при дипольном электрическом переходе не меняется, поэтому спиновые функции при определении состояний [а) и )Ь) не выписаны.
Простая угловая зависимость волновых функций (95,2) позволяет в общем виде указать состояния,'переходы между кото- 4ья пьхвнлх отвогх для испьсклния и поглощения светл 483 рымн соответствуют отличным от нуля матричным элементам (95,1). Условия, определяющие возможность испускания и поглощения дипольного электрического излучения„носят название правил отбора дипольного электрического излучения. Перейдем к выводу этих правил отбора. Рассмотрим случай, когда единичный вектор е поляризации фотона направлен вдоль оси г, тогда /4п вьг=а=-гЪ/ з Уьв(6, ьр).
Подставляя это значение и (95,2) в (95А), имеем вФьа ф з ~ оь)ьь ь(г,~ уьь'~ьь~ езуса г ь~аь(4)' Используя свойства ортогональности сферических функций и равенство '1 ~ о1 ьь ть' Ауьь и та + ВУьа ь е где А и  — коэффициенты, зависящие от ь'„пь, мы убедимся, что (95,3) отлично от нуля только при выполнении условий (правил отбора) ~ь ~а — ~ э гпа пьь (95,4) Вместо раздельного исследования двух других случаев направления вектора поляризации е и ез удобно рассмотреть две их линейные комбинации в„~ ье„, соответствующие двум возможным круговым поляризациям фотонов. Учитывая, что Гак (в„+и„) = +ту= — ~, — Уь, Гак (е„— 1еь)г=х — Гу=г1ь, — у, (95,5) мы убедимся, что правила отбора для излучения и поглощения фотонов, поляризованных по кругу, можно представить следующими равенствами: ~ь ~а ~ ~ пьь ща ~ 1 ° (95,6) Если правила отбора (95,4) или (95,6) не выполняются, то дипольное электрическое излучение невозможно.
В этом случае переход из состояния а в состояние Ь может осуществляться путем испускания излучения более общего типа, когда в матричном элементе (94,9) учитываются следующие члены разложения (94,8). Так, например, если учесть второй член разложения (94,8), то матричный элемент (94,9) будет пропорционален й4=(Ь!Щг)(ер) ~а). лчл пввходы под влияниям внвшнвго возмхишния П.л. хм Для друтих направлений е и Я таким же обрааом находим д» вЂ” — ~„р(Ь!У»1 )+ — (ЬК„1а), М = — Ий(Ь!» — „1а) = — — а~р (Ь1»х! а) +' — (Ь1Е„!а). (95,8) Выражая произведения хд, у» и»х через сферические функции, можно показать, что матричные элементы (Ь1ху1а), (Ы»у!а) и (Ы»х1а) отличны от нуля при вынолнении правил отбора: 1 =1„11,-~-21, если Рз~б; 1 =2, если 1,=0, (95,9) те — т = О,,~- 1, ь 2, четиость сохраняется.
Излучение, испускаемое квантовой системой при выполнении правил отбора (95,9), называется кеадруполькым электрическим излучением, Если направить ось у координатной системы вдоль вектора е, а ось х — вдоль вектора Я, то матричный элемент М можно преобразовать к виду М = — йй(Ь1х — 1а) = д ду — — йй~(Ь !х — + д — 1а)+ (Ь !х — — у — ! аф д д д д 2 ( ду дх да дх Если 1а) и 1Ь) — собственные функции оператора Им то, учитывая операторное равенство ь'т д д1 хдОз — Озхд — — х + У— р ( ду де 1' можно найти связь между матричными элементами (ь ! х ду + У д ! а) = в (е, — еь) (ь 1ху1 а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
