А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(97,7) Следовательно, (97,6) можно переписать в виде (Ф(г)) = (Ф)о+ В «Ф; В))„е-'"'+Яг, (97,8) 464 ПЕРЕХОДЬ[ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. ХЦ вЂ” фурье-образ е) функции Грина (97,7) по времени, или ее энергетическое представление. При температуре абсоЛютного нуля усреднение с помощь[о статистического оператора ро заменяется усреднением по основному еостоянию )О) системы и (97,7) принимает вид ((Ф; В)), =— — Е (() (0 ИФ((), В(0)) ) О). Введем с помощью равенства (Ф ([)) = (Ф)о + н (ю) !)е-[н[ ьч' (97,10) комплексную обобщенную восприимчивость н(ш) квантовой системы, описывающую влияние гармонического возмущения (97,1) на среднее значение (Р(!)). Тогда, сравнивая (97,8) и (97,10), получаем' формулу Кубо и(ю) = ((Ф; В))„, (97,11) выражающую обобщенную восприимчивость через фурье-образ запаздывающей функции Грина.
Мы рассматривали внешнее возмущение В!)е-па[+я', обусловленное комплексным полем, поскольку обобщенная восприимчивость и([о) по определению (97,10) является коэффициентом пропорциональности у комплексной части поля. Поэтому и средние значения операторов (97,2) получались комплексными. Физические поля являются вещественными (97,!2) 0 (() = Йе (Ое-'"). Поскольку мы интересуемся только линейным откликом системы на внешнее воздействие, то все приведенные выше результаты сохраняют свое значение и для вещественных внешних полей (97,12), если определять средние значения с помощью выражений (Ф(г))„„=)!е (Ф ([)), где (Ф(()) — комплексное среднее значение, вычисляемое по формулам (97,8) и (97,10) для комплексного поля Э(г) е-'"'.
При этом обобщенная восприимчивость будет определяться формулой (97,1!). *) Выражение (97,7) содержит разрывную функцию О([). Позтому оно определяет запаздывшощую функцию Грина только при [ вй О. В точке [ = О функция Грина должна быть доопределена. Такое доопределение функции Грина обычно делается с йомошью уназания правила вычисления интегралов по времени, содержащих функции Грина. Множитель е Чч имеющийся в (97,9), как раз определяет такое правило. После вычисления интеграла можно перейти к пределу т[- + О или приравнять 99 величине т, характеризующей естественную ширину соотнетствуюших знергетичесхих состояний.
5 97] ЛЙНЕПНЫИ ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 4Э5 Можно показать, что фурье-образ эапаздывающей функции Грина при температуре абсолютного нуля удовлетворяет урав- нению йсэ((Ф; В))„=(011Ф, В)10)+((1Ф, Н); В))„, (97,16) где Н вЂ” гамильтониан, определяющий изменение операторов Ф и В с течением времени, т. е. сл ~~~ =(Ф, Н1, сл ~~ =1В, Н1. В некоторых случаях уравнение (97,13) позволяет вычислять фурье-образы эапаздывающих функций Грина без предваритель- ного вычисления самих функций Грина. Наряду с эапаздывающими функциями Грина (97,7) удобно пользоваться двумя типами временных корреляционных функ- ций (Ф; В)„= Вр(р.Ф (Р) В(0)), (97,!4) (Ф; В) =Вр[р В(0)Ф~.
Если оператор Н имеет дискретный спектр энергии Е„= всва и собственные функции 1л) и статистическое усреднение произво- дится по каноническому ансамблю с ра — — ВСЕ-исв, р= ЦйТ, то корреляционные функции можно преобразовать к виду (Ф; В), = Х ва(" ~л)(л1Ф1т)(т1В1л)ехр[с(ш — е„)6, л, сл (Ф; В), =. = ~ еа(" ~л)(л1Ф1т)(т1В1л)е( л )аехр(с(сэ — сэл)с). Вводя, далее, величину йав(())=йп Х в( ") (л1Ф!т)(т1В1л)б(свл — сэ,л — й), (97,15) а, лс эти корреляционные функции можно переписать в виде (Ф В)с> = ~ пасв(й) е-свсссьс (97,16) (Ф' В),< — — ~„~ 7фв(Г4)емсае ю'Йас. Согласно определениям (97,7) и (97,!4), эапаздывающую функцию Грина можно выразить через корреляционные функции с помощью равенства ((Ф В))с = — 49(4) ((Ф; В),> — (Ф; В)с<1 ° (9'7,17) ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИИ !ГЛ, Хп После подстановки (97,17)' и (97,16) в (97,9) и интегрирования по („ получаем интегральное выражение.для фурье-образа запаздывающей функции Грина ьаа) ! (9) ВП знй 3 в — и -!- гч О (97,18» Такое представление было введено Леманом [98! и называетси спектральным представлением, а величина' (97,15) называется спектральной интенсивностью.
Она вещественна и удовлетворяет важному интегральному соотношению — ~ 7фв(!1)сИ=1. (97,!9) Используя символическое тождество (х+ !т!) '=Ух ' — !НЬ(х), и-ь+ О, можно выделить из (97,18) мнимую и вещественную частй 1гп((Ф; В))„= — ~ (1 — ем)) 1ев (в), Йе((Ф; В))„= — „ Г (!-г"~ )!.Вют (97,20) СО !ге ((Ф; В))„= — ) .. (97,21» 0 Если учесть связь (97,12) фурье-образа запаздывающей функции Грина с обобщенной восприимчивостью, то из соотношения (97,21) находим общую связь между вещественной и мнимой частями восприимчивости любой стационарной квантовой си- стемы у ( !шн(п)вй к 4 в — И (97,22) Р Это соотношение носит название диспгрсионного соотношения, или соотношения Крамерса — Кронига, которые установили та- где буква .У перед интегралом указывает, что интеграл вычис- ляется в смысле главного значения.
Из (97,20) следует очень важная связь между мнимой и вещественной частями фурье- образа запаздывающей фунйции Грина поляРизуемость кВАнтовои системы кое соотношение в 1927 г. для случая диэлектрической проницаемости. Если использовать символическое тождество то с помощью спектрального представления (97;18) можно определить связь фурье-образа функции Грина с плотностью спектрального распределения — (1 — еа«з)!Ув (ы) = ((Ф1 В))ь ((Ф* 'В!) (97 23) й 98. Поляризуемость квантовой систеыы Если на квантовую систему (атом, молекула, атомное ядро и др.) падает электромагнитная волна с небольшой (по.сравнению с полями внутри системы) напряженностью электрического поля и длиной волны, значительно превышающей линейные размеры системы, то в последней возникает электрический дипольный момент Н=рЯ, (98,1) пропорциональный напряженности электрического поля Е в центре системы.
Коэффициент пропорциональности р является симметричным тензором второго ранга и называется тензором лоляризуемости. Его вычисление можно провести по методу, изложенному в предыдущем параграфе. Предположим, что квантовая система характеризуется гамильтонианом Н, имеющим собственные функции Ц) и собственные значения явь Согласно (94,2), оператор взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем напряженности В=ЕЕЕ ""+ч'+эрм. сопр., б(ТВŠ—— О, (98,2) включаемым в бесконечном прошлом, имеет вид ~ Ньи = — — Ар — (Езр) е-'™+ч' + эрм. сопр., (98,3) где р — оператор суммарного импульса всех электронов системы.
Согласно теореме Кубо (см. $97), среднее значение электрического дипольного момента, возникающего в системе под влиянием (98, 3), можно записать в виде (ег) =(ег)о+ — ((г; (Вор)))„е ""+м+ зрм. сопр., (98,4) 468 пв входы под влиянием внвшнвго возмлцвння [гл. хп где г = 2."~ гп ((г; (Еор)))„— фурье-образ запаздыва ющей функции Грина, которая при температуре абсолютного нуля определяется выражением ((г; (ЕоР))), = — 18 (Г) (О! [г (г), (ЕоР)) ~ 0), (98 5) гЯ =ехр(1Н1Я з" ехр(- аНЩ. Направим ось х вдоль Ео н вычислим х-ую составляющую матричного элемента, входящего в (98,5).
Используя (см. (94,10)) равенство () ~р„~ 0) = 1рв1о(~ !х! 0), где в~о — — в~ — во получаем (О 11х (1), (ЕоР,))10) = 1РЕо Х в ~ (7 ~ х ! 0) ~о (е '"~о~+ е'"~о'). Подставив это значение в х-ую составляющую (98,5) н вычисляя по правилу (97,9) фурье-образ, находим ((х;(Ер„))) =й — ~) в 1()1х10)~о(в~ воо+щв) '. После подстановки этого выражения в х-ую составляющую (98,4) и сравнения с (98,1) получаем явное значение компоненты тензора поляризуемости вдоль главной оси Р,„=~( в )~(~~х10) ~(вою — в~ — 1т1в) '.
(98,6) Значения тензора поляризуемости вдоль двух других главных осей у и х получаются из (98,6) заменой матричного элемента координаты х соответственно на матричные элементы координат у и х. Если ввести вспомогательную безразмерную величину Ф= — ","1(11х!О) Г, (98,7) называемую силой осциллятора переходи 0-+), то х-я компонента тензора поляризуемости системы, находящейся в состоянии 10),может быть записана в виде Р„„= йл —, Мвю в — нуо) (98,8) о Для изотропной квантовой системы поляризуемость является скалярной величиной Рох = 5ое = Ф*г = ()' ПОЛЯРИЗУЕМОСГЬ КВАНТОВОИ СИСТЕМЫ Из (98,7) следует, что сила осциллятора перехода 0-+1 положительна, если Ег.х. Ез, и отрицательна при выполнении обратного неравенства.
В частности, силы осцилляторов всех переходов с основного состояния, определяющие поляризуемость квантовой системы, находящейся в основном состоянии, положительны. В качестве примера вычислим силы осцилляторов переходов мелСау состояниями гармонического осциллятора. Используя значения (т — ( ( х(гп) l лгз и* ~ — ) для матричных элементов оператора координаты и полагая 12(»аь ) зы = аз+к, находим Р" ~ — гл Р" +~ гп+! (98,9) Теперь, учитывая связь матричных элементов ()»и» (й (х( т) = (й (фх ( т) и'эрмитовость операторов, можно написать Рз» =-.й-((т (х( й) (й (Р„( т) — (т(бл( й) (А (х( т)). Суммируя найденное выражение по всем значениям й (при наличии состояний с непрерывным спектром надо суммирование дополнить интегрированием) и используя правило перемножения' матриц и перестановочное соотношение (х, 6з] = 18, получаем ~~]~~~ Р» = — (т (х)8„—,6„х] т) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
