А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 77
Текст из файла (страница 77)
ХН где У соответствует максимальному значению взаимодействия прн его внезапном включении. Формула (92,6) позволяет вычислять вероятности переходов под действием внезапных возмущений„малых по абсолютной величине, когда применима теория возмущений. В ряде случаев, однако, происходят большие и быстрые изменения (по сравнению с периодом движения в системе), при которых неприменима теория возмущений. Например, прн р-распаде легких ядер заряд ядра изменяется на единицу за время -а(с, значительно меньшее периода движения электрона в атоме. Изменение электрического заряда ядра должно сопровождаться перестройкой электронной оболочки (с последующим испусканием фотонов).
Вероятности переходов, вызываемые такими быстрыми лвнезапными» изменениями оператора Гамильтона, могут быть легко сосчитаны, если мы учтем, что волновая функция начального состояния практически не меняется за очень малое время изменения потенциала. Пусть, например, в момент времени г = О система находится в состоянии, соответствующем волновой функции ф, являющейся собственной функцией оператора Нм Предположим, что при г = О происходит «внезапное» изменение оператора Гамильтона н далее он остается неизменным и равным Н (прн этом Н вЂ” Нэ может быть большим). Обозначим собственные функции оператора Н через ф„, а собственные значения — через Е„.
По условию в момент времени ( = О система описывалась функцией ф , которая сохранится и при внезапном изменении Но, таким образом, Ч"(г, О) = ф,л (Е) = ~с~~ Аллд)л (г), (92,7) л где А = Г) ф„(г) 1„'(г) г(' . (92,8) Квадраты модулей коэффициентов (92,8) и будут определять вероятность перехода системы из начального состояния ф в конечное состояние ф„. Дальнейшее изменение функции (92,7) с течением времени определяется уравнением юй — = Н1г' дЧ' дг з следовательно, Ч'(г, 1) = ~)~„А„~ф„(г) ехр ~ — à — „" ) . (92,9) л В качестве примера вычислим вероятность возбуждения электрона в атоме при внезапном изменении заряда ядра: 2-+ь ~! (электронный и позитронный распад ядра).
Для упрощения расчетов предположим, что атом содержит один электрон в поле % оо! включвнив и выключвнив взанмодвиствия 44! ядра заряда Я. Тогда начальное состояние атома определяется волновой функцией ф|о= 2 ( — ) ехр( — — ) У,е, а= —,. (92,10) После внезапного изменения заряда ядра волновые функции стационарных состояний будут соответствовать водородоподобным функциям фя(г,й,ф)=)ы(г)Уо (О, ф) ' (92,11) ядра заряда Я ~!. Следовательно, в соответствии с (92,8) вероятность возбуждения уровня и! при этом процессе будет определяться квадратом модуля коэффициентов Аы. ~о= ( ф'.~ф1Фог.
Учитывая (92,!О) и (92,11), мы видим, что отличные от нуля значения А„ь|о соответствуют только переходам в з-состояния. Используя явный вид радиальных функций ~„,(г) для ядра с зарядом У~э 1 (см. 5 38), можно вычислить А„о 1о. В частности, для состояния 2з ~20(~) ( 2 ) ( ° ) Р! тогда гг л, à —:, 12к!г !)1«н А~,„=2( — ) ~ Ь(г)е "дг=(~2) !зй ь Таким образом, вероятность перехода 1э — 2з прн внезапном изменении заряда ядра (2- 2:й !) определяется выражением В (1з -+ 2з) = (92,12) При больших значениях Я изменение потенциальной энергии )Р' = ~ео(г мало. Поэтому можно использовать формулу теории возмущений (92,6) для переходов с внезапным изменением оператора Гамильтона.
Учитывая, что для атома с зарядом Я разность Еы — Е„= 38~во/8а и матричный элемент Ф на водородо- 4Р 2 Яоо подобных функциях (1з(В'! 2з) =, находим с помощью 2та (92,6) 28(!з-«2з)=2 9 ~2 ~ 0,3122 ~. Легко видеть, что это же значение получается из точной формулы (92,12) при достаточно больших Я. Рассмотрим, наконец, случай адиабатического изменения, при котором гамильтониан Н($, Я~) зависит только от одного медленно меняющегося с течением времени параметра Я, 442 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВИЕШИЕГО ВОЗМЭ(ЦЕНИЯ [ГЛ. ХП (внешнее поле, расстояние между взаимодействующими систе мами и т. д.).
Пусть далее оператор Н(в, Н() имеет только невы- рожденный дискретный спектр для каждого значения Кь т. е. 1НВ, йс) — е.()1()) В,й, Р()=0. (92,13) В этом случае функции (р„($, )1() вещественны и ортонормированы ) (р (в Л()Ч( (е М(М=б Решение уравнения Шредингера Ж д, =НВ Я~И удовлетворяющее начальному условию $($, О) = (ро(е, Юо). можно искать в виде ( Р У; (о а,ы Р) — 1.,(и~), (ж,в4( В 1 о где (э,(т)= "~ ', а„(0)=б„д. (92,15) Подставив (92,14) в уравнение Шредингера, получим систему алгебраических уравнений с ++((~ Ф(( (д~ ( ) Р— Е) ((Ш)=0 !(9216~ Р( о д д где <и ! — ! т> — матричный элемент оператора — на функдл( дА'( цнях (р„, (э(„;> = (э (г) — в„(т), знак штрих указывает, что в сумме отсутствует член с т=п, так как для вещественных функций <. ~ — „~.> = —,— „<.~.>=0.
д ! д Дифференцируя уравнение (92,13) по параметру Я1 и вычисляя матричные элементы на функциях (р (В, Й(), получим равенство <и! — ~ > =<и)®-! т>(е — е„) (92,17) Решая уравнение (92,6) при начальном условии (92,15) ме7одом последовательных приближений, получим, при учете ,'(92,!7), в первом приближении т ю О( (ад. ( 1 (.(~)(, (9Хп( о о ВВРОятносп» пеРехОдА В единицу ВРемени 443 где Лг(п! — ! О) ан 1 () дЯг (92, 19) По условию е (Кг) Ф ео(гтг) (уровни не пересекаются).
Пусть функция Ф(г) имеет только один полюс при г = (о — гб, тогда при адиабатическом изменении гамильтониана в„' к. Т, где Т вЂ” время, в течение которого существенно меняется гамильтониан, интервал интегрирования (О, Т) в (92,!8) можно заменить на ( — оо, со). Следовательно, вероятность перехода из состояния 1ро в состояние фя за время Т будет экспоненциально мала, так как ! а,ю(Т) Г-ехр( — во„б).
Если при некоторолг гтг функция 49(1) имеет полюс'на вещественной оси, то имеется вырождение (т. е. уровни пересекаются). В этом случае решение уравнения Шредингера надо искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих пересекающимся уровням. 9 93. Вероятность перехода в единицу времени Особенно простой вид имеет вероятность перехода (90,14) в случае, когда оператор возмущения гг(1) имеет постоянное значение %' между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне этого интервала. В этом случае говорят о переходах под действием постоянного возмущения з).
Поскольку матричный элемент' ((!)з'!() не зависит от времени, то интеграл в (90,14) вычисляется просто. Получаем ья -1 е (Г ()Р'! 1)ехр(гвгД г(г'= . Ц !)у'! 1), о и вероятность перехода за время действия возмущения выражается формулой В ( )= Л, (() !)Р! () !зр(Ег — Е), (93, 1) *) В некоторых случаях включение и выключение взаимодействия осущесгвляется специальным выбором начальных и конечных состояний. Например, в системе с оператором Гамнльтона Н в момент времени Г = О условиями эксперимента может быль выделено состояние, соответствующее волновой функции, явлюощейся собственной функцией некоторого оператора О,. Дальнейшее изменение этой функции будет-определяться оператором О, поэтому можно сказать, что в момент 1 =, О произошло включение взаимодействия 4Р-* УУ вЂ” Нз. 444 пвввходы под влияниям внвшнвго возмлцвния 1гл. хп где ! — сов~ (Е1 — Ед)— в1 Р (Е1 — Е~) = з -2 * (ег — е~) а При Ег = Е, функция Р(Ег — Е~) имеет максимальное значение, зла 4я» равное 'с92 При! Ег — Е~)= —, —, ...
эта функция обращается в нуль. При малых значениях т (< а)Е„вероятность перехода пропорциональна тз. При достаточно болыпих т по сравнению с характерными периодами з/Е„ в системе функция Г(Ег — Е,) может быть выражена через дельта-функцию р(Е1 — Е~) = тяйб(Е1 — Е~). Таким образом, формула вероятности перехода (93,1) может быть приведена к виду 23 ( 2л (1 )Р ))з Вероятность перехода оказывается пропорциональной времени т действия возмущения, следовательно, можно определить вероятность перехода, отнесенную к единице времени (скорость перехода или число переходов в секунду): Рм = ™д ! (1 )йг! ~Лб(Е1 — Е~). (93,3) При выводе выражения (93,2) мы использовали формулу (90,!4), которая справедлива только для времен т, значительно меньших времени жизни Т состояния (1).
Таким образом, выражение (93,2) и представление о вероятности переходов в единицу времени (93,3) оправдываются только для времен т, удовлетворяющих неравенствам ЙЕ! ~тФ т. (93,3а) Практически во всех физических системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежат непрерывной (или почти непрерывной) группе состояний. Измерения сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния 1, обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами Ц!)г'(1). Для получения такой вероятности надо просуммировать (93,3) по всем состояниям 1, обладающим такими свойствами, и усреднить по начальным состояниям 1, обладающим одинаковыми матричными элементами Щ)Р!1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
