А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Операторы поля (86,12) в дырочном представлении принимают вид (энергия одночастичных состояний отсчитывается от ер) ЧБ($, !)= ~ афе ю" + б» фее ", (86,19) Б(>Р) Б (<Р) г де первое суммирование выполняется по всем состояниям с в, > ер, а второе — по всем состояниям с з. (ер,' е,— ар, если з,>в„; М,= Ер — З„ЕСЛИ З, ~ (ЕР.
Подставляя (86,19) в (86,13) и учитывая перестановочные соотношения для операторов р„находим У= ~ а,"'а,— ~ ф~~,— 1). Б(>Р) Б(~Р) Принимая во внимание, что ~~ 1=У, преобразуем получен- б(б Р) нос равенство к виду а«а,= ~~~~ ~~ф,.
БО.Р) Б(~Р) Следовательно, в дырочном представлении число частиц всегда равно числу «дырок». Другими словами, частицы и «дырки» рождаются и исчезают парами. Чтобы определить оператор энергии в дырочном представлении, подставим (86,19) в (86,!!) и учтем равенства Н (в) (р, = (ар + Ы,) (р„если е, > ер, Н($)(р,=(ер — йй,)ф„если еб(ар. Тогда получаем Н= 2~ (Бб»1,+ее)а'~а,+ ~~ (М,— а)р)Р~Р,+Е,. Если учесть, что частица и «дырка» всегда рождаются парами и отсчитывать энергию системы от энергии Е() ее основного со- $ З61 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЭАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 411 стояния, то оператор энергии можно преобразовать к виду Х Щото,+ Х ЩЩ (86,20) о(>Р) ' ' ' о(<Ю «оа2 Н=г — а~ а 24 Еи»о»о' »,о Оператор числа частиц У=Х ',... »,о (86,21) (86,22) Состояние системы с постоянным числом частиц описывается только собственными функциями оператора Й, соответствующими собственному значению )У, т.
е. собственными функциями, которые удовлетворяют уравнению ФФ= Ха~„а Ф. оо Чтобы не вводить дополнительного условия (86,23), можновоспользоваться известным приемом статистической физики и ввести параметр р, имеющий размерность энергии и играющий роль хилическозо потенциала. Тогда вместо оператора (86,21) следует рассматривать оператор Н' Н вЂ” 1»Ш= ~~~~~ ( о — Р) а»+оп» . »,о Переход к новому оператору Н' эквивалентен тому, что все (86,23) Следовательно, рождение пары — частицы в состоянии з и «дырки» в состоянии з' — увеличнваег энергию системы на величину й(а,+а,). Все формулы этого параграфа сохраняют свой вид, если считать, что операторы Н($) и функции ~р.(е) заданы в импульсном представлении. Тогда е определяет компоненты импульса частицы и спиновую переменную.
Импульсное представление удобно, если собственные функции одночастичного оператора Гамильтона изображаются плоскими волнами. Предыдущие формулы относились к случаю, когда одночастичные состояния определялись движением фермионов во внешнем поле (поле ядра и т. д,). Рассмотрим теперь частный случай, когда оператор Н($) имеет собственныа значения з,= = озй»/(2гп) и собственные функции ф,=~р»о= г' ьем'Хо, где то — спиновая функция; о — проекция спина.
В этом случае состояние системы характеризуется значениями й и о. Оператор Гамильтона системы в представлении чисел заполнения тогда имеет вид 412 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ Х! одночастичные энергии отсчитываются от значения н. Химический потенциал определяется из условия (Н) Н. Для невзаимодействующих электронов химический потенциал равен энергии Ферми. й 87".
Системы фермионов, взаимодействующих парными силамн. Каноническое преобразование Боголюбова Рассмотренный в $ 86 случай систем невзаимодействующих фермионов представляет только методический интерес, так как свойства реальных систем определяются взаимодействием фермионов между Собой и внешними полями, порождаемыми другими частицами.
Поэтому представляет интерес исследование систем фермиопов, взаимодействующих между собой. Предположим что взаимодействие между фермионами определяется парными, силами, тогда оператор Гамильтона систем Н фермионов можно записать в виде Нй, ... 4,)=Х Н(Ы+ Х йт(М,). Переход к представлению вторичного квантования соответствует замене оператора Н($~ ...
3н) оператором Н-~~Р (ЦнаФаЩ+ + — ~ Ф Й) Ф ($') К (К') Р ($') АР ($) с$ И$', (87,1) где операторы поля удовлетворяют перестановочным соотношениям (ФВ Фа))=(Ф'В Г'(д(=О, 3 (87,2) (РВ, Ч" а')) =б( — В'). Переход к представлению чисел заполнения состоит в разложении операторов поля Ф(Е) по полной ортонормированной системе функций ~,($). Если тр(е) = Хп.р. (е) (87,3) то операторы а, удовлетворяют перестановочным соотношениям (ан аД=Ь,Р антикоммутаторы остальных комбинаций а, и а," равны нулю. В качестве ортонормированной системы функций ф.($) удобно взять собственные функции оператора Н($). Если [Й($) — е.)р.(е) = О, то, подставляя (873) в (87,!), находим оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения Н ~е,а,"'а,+ — ~)~~ атата а (з(~У(г~ру), (87,4) а .. Фее за~ ев мионы„взхимодвнствтющив плгными силлми 41в где (зЦ)р"!РЧ) = ) <р,(з) <р ($') В'(5') ~р ($') ~рч(з)СЦЩ'.
(87,4а) Оператор суммарного числа частиц в системе определяется равенством Ж вЂ” ~ Ф~ (Я Ф ($) г($ = ~~)~~ а~а,. (87,5) Н= )~~(е,— р)а",'а,+ — ~)~'атата а (зЦЯ7~рд). (87,6) Химический потенциал р определяется из условия У=(~ Ха~а,~). В основном состоянии системы при отсутствии взаимодействия ((р = 0) все одночастичные состояния с энергией е, (вг заполнены, а состояния е, ) аг свободны, н химический потенциал и = ег, где е1 — энергия Ферми.
Для большей конкретности предположим, что система состоит нз ферми-частиц, имеющих спин '(з и оператор Н($), определяющий одночастичные состояния, имеет собственные значения лзй9(2т). Тогда одночастичные состояния определяются волновыми функциями ~р,= — ~р, ==а'*'т, 1 я за )/'у где т — спиновая функция.
Индекс о принимает два значения -~'/,. Предположим далее, что взаимодействие между двумя фермионами зависит только от расстояния между ними, нс зависит от ориентации их спинов и обладает малым радиусом действия, т. е. положим К(5, $') = йт()г,— гз1). Матричные элементы, входящие в (87,6) тогда будут равны (з'з', ~ К ~ ззз,) = — б ° б ° Л (й,' — й + й' — й,), (87 7) т(~в~ — Й1() В системах, состоящих из устойчивых частиц (электроны, протоны и т. д.), полное число частиц в системе должно быть постоянным. Чтобы не вводить дополнительного условия постоянства числа частицН= ~~'.~ата,, введем химический потенз циал и. Добавляя в оператор (87,4) член .— )х~~'.~а,"а,, мы получим новый оператор 414 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФБРМИОНОВ 1ГЛ.
Х1 г где функция Л, определенная (85,4), учитывает закон сохранения импульса. Опа отлична от нуля только прий +й,= й'+йп тоо т(й1' — й,) =, " ~ В'(р) рз)НЦй1 — й1!р)1(р (87,8) ! 1 11'о — действительная функция, зависящая от абсолютной величины вектора й1 — йь Эта функция является фурье-представлением энергии взаимодействия двух фермионов. Знак в (87,8) выбран так, чтобы притяжению соответствовали положительные значения тоо . Учитывая (87,7), находим явное выражение оператора Гамильтона для случая, когда силы взаимодействия не зависят от спиноз 22 1 Г агаг 1 Н=аг '1 — — 12)ат а — — ктт. Т,ат, ат, а а ае4). 2га ) оа оа аггг 'й'4,, "" 2 а 2 а о.а 2 а оа (2 +2,=2 +2,) 1! 22 22 11 (87,9) Во второй сумме суммирование выполняется по оь О2 и по всем значениям йн ..., й2, удовлетворяющим закону сохранения импульсов, указанному в скобках под суммой.
Если 1р' имеет конечный радиус действия, меньший средней длины волны относительного движения пары фермионов, то это взаимодействие проявляется только между фермионами с анти- параллельными спинами. Фермионы с параллельными спинами не будут сближаться до расстояний, где проявляется взаимодействие. В этом случае в (87,9) надо положить оо — — — О1. Выделим далее во второй сумме (87,9) члены й2+ й, = М+ й1 = О. Тогда можно написать Но+Нг где Н' содержит все произведении четырех ферми-операторов для которых йг+й1 — — й2+ й1МО; Но = ~ е (й) аоааоа 21г,~1 тоо"2 аа-2 .
-аа-о, -ааьг' 2 2 аа 22'а дгаг здесь е(й) = — — 94 тоо — фурье-пРедставление энергии взаимодействия двух фермионов. Слагаемые, отличающиеся только значениями и, дают одинаковый вклад в суммы оператора Но, поэтому можно написать 1 Ът Н г 2 ) Е(й)атауао, — —,ат т,ат, ат„,, а „, аэ, .
(87,10) 2 22' 5 щ ФеРмионы, ВЗАимоденствующие ЙАРными силомн 41Е Для исследования спектра собственных значений оператора (87,10) проведем каноническое преобразование ферми-операторов, предложенное Боголюбовым: Ф а„, =иА +Е„А „ а А, = иоАМ оАА (87,11) где ио и оо — вещественные функции, симметричные относительно преобразования й- — й и удовлетворяющие соотношению и'+ о' =1 (87,12) При выполнении условия (87,12) новые операторы Аоо и Аю удовлетворяют обычным,перестановочным соотношениям для ферми-операторов. Переходя с помощью (87,11) к'новым ферми-операторам, преобразуем (87,10) к виду Но= Ео+ Но+ Нл+ Нь (87,13) где Е = 2~~)~~е(й)о'„— —, т то„ио,оо,иооо 2 (87,14) — постоянное слагаемое, не зависящее от ферми-операторов и соответствующее энергии основного состояния; Но= ~) ~е(й) ~и2„— ооо)+ Ф + — У~ Уомилло ) (АооААо+ АА1АА1) (87,15) — диагональная часть оператора Гамильтона; о,— У(2 121 л.— —,',1'„— 11У „, „)1л1л1,л-л.л) (87,16) — педиагональная часть оператора Гамильтона, содержащая произведения только двух ферми-операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
