А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из двух векторных сферических функций, соответствующих орбитальным моментам /+ 1, Х вЂ” 1, можно образовать 'также продольную векторную сферическую функцию, направление которой совпадает с вектором распространения. Очевидно, что такой функцией будет У~~ (и) = пу (и). (81,16а) Таким образом, в состояниях, соответствующих продольным векторным функциям, орбитальный момент также не имеет определенного значения. При Х = 0 отлична от нуля только одна функция У~~(п)= = — У„,=пуан поэтомУ фУнкциЯ У~с может описывать только сфернчески симметричное продольное векторное поле.
Каждому значению Х =:: 1 соответствуют три независимые векторные сферические функции, из которых две являются поперечными и одна — продольной. Все они, У~~ (п), Уа (и), Ус (и), (81,16) взаимно ортогональны при различных Х и т; при одинаковых значениях Х н и они взаимно перпендикулярны для каждого значения вектора распространения и, следовательно, )" (У, )'У,; .йа=бгпб„,б „ 382 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ ИГЛ. Х где Л, Л'=М, Е, У.. Векторные сферические функции (81,16) являются функциями единичного вектора л, определяющего направление волнового вектора лу. При вращении координатной системы они преобразуются по неприводимому представлению трехмерной группы вращения, т.
е. по представлению Р ы и, следовательно,. являются не векторами, а неприводимыми тензорами ранга У. Поперечный векторный потенциал А (ЙТА = 0) электромагнитного поля в объеме $', ограниченном идеально проводящей сферой очень большого радиуса Я, можно представить в виде разложения А = Х (ал (ЯХт) Ал (ЯХт) + ал (ЯХт) Ал ®Хт)), (8!,17) О.
л и. л где Л=М, Е; Ам(ЯХт) м~ — ) У (л)Г) У~~ ~ — ) е '"О (81,18) — потенциал магнитного излучения мультипольности Х; АЕ(~Хт)=(12У+ В~р) ()УУ)~+~®Г) гг Гы ~(Г) — $'У+11,Г ~(Ф)1Глт ь ( — )~е '~О (81,19) — потенциал электрического излучения мультипольности Х; Хл(ЯГ) — функция, пропорциональная сферической функции Бесселя, нормированная условием 1 Ул ТГ)У (О'Г)ГВ ТУГ=)УЬОО.,' о лу — волновое число, имеющее размерность обратной длины и пробегающее лля каждого Х дискретные значения, определяемые из условия Хтю)=О. Потенциалу (81,18) соответствует магнитное излучение мультнпольности Х, напряженности электрического н магнитного полей которого равны Ем ЯУт) = ЕЯАМ (()Хт), Вм (ЯУт) = го1 АА,. Следовательно, напряженность электрического поля в электролгагннтной волне, соответствующей магнитному излучению, всегда перпендикулярна радиусу-вектору, в направлении которого она распространяется, т.
е. (ГЕМ) = О. тай Фононы в тРехмеРнОм кгистхлле Потенциалу (81,!9) соответствует электрическое излучение мультипольности Х, напряженности электрического и магнитного полей которого определяются равенствами Ее ЯХт) = (АБАЕ (ЯХт), Ве (ь)Хгл) = го1 Аа (ЯХт). При этом (гВЕ) =О. В общем случае выполняются равенства Ее (ОХт) = Вм (ЯХт) = го( Ам ЯУт) = У~Аз от), Е (ЯХт) = — Ва (1,от) = ЦА (ЯУт). Переход к квантовомеханическому описанию в представлении чисел заполнения соответствует замене в выражениях (81,17) и классической энергии поля ХУ„, = — ~ ~ ~ —, — ) + (го1 А)' ~ г(зг амплитуд аА, аА операторами йА, йтА, удовлетворяющими перестановочным соотношениям [бА(ОУт).
Ж(Я'Х'лт')~=баобггВ [бА бА~=О. После такой замены получим гамильтониаи ХУ= '~', й,~а,((~Х )б„Р~ )+ф~ (81,2О) Огтх и оператор векторного потенциала А =,'Е~ ~дА ((',Чт) А, (ЯУт) + ААТ (1;Чт) АА ЯУтЦ. (81,21) ,ЦА Оператор л = 61й является оператором числа фотонов соответствующего мультипольного излучения. В состояниях с определенным числом фотонов ~пь) энергия поля также имеет определенное значение. Каждый фотон в состоянии Хаги имеет волновое число Я, квадрат момента Х(Х + 1), проекцию момента и и четность ( — 1) + при А = М и ( — 1)г при Х.= Е.
$82. Фононы в трехмерном кристалле Для простоты рассмотрим моноатомные кристаллы. Пусть масса атомов и и г „а= 1, 2, 3,— три компоненты смещений атома из узла ячейки, определяемой вектором решетки л = л,л, + л,л, + л,л„ (81,22) где п~ —— О, .ь1, .ь2, ...; аьаьаз — векторы основных трансляций. Кристалл представляет собой очень большой параллелепипед с ребрами а~оН У~ >> 1. Число различных значений н равно числу атомов Ф = У8й!808 в кристалле. В качестве гра- ничных условий принимаются циклические условия Борна— Кармана, согласно которым г„=га+н.а..
1=1, 2> 3. (82,2) Потенциальная, энергия смещений атомов в гармоническом при- ближении имеет внд ! ът и= —, ~ РВ(й — )...,. аа, аа8 гдЕ Компоненты тензоРа втоРого Ранга г'аа УдовлетвоРЯют Условиям Каа (й — й8) = Уаа (й — й8)г Х У В(й — 8й) О. (82э4) Кинетическая энергия выражается через скорости смещений г„: (82,5) Проведем в (82,3) и (82,5) каноническое преобразование к коллективным комплексным переменным Ат с помощью равенств гаа "= = У, еа (у) Ате8та, Ат = А-'т, (82,6) иЛ~ гДе еа(д) = еа( — У) — вещественные числа, котоРые бУдУт опРеделены ниже; волновой вектор д пробегает й) значений 8 ВИТ8Е8 А! д 7 А, Т8=0, й1, й2,...,—; 8 ! у8 — векторы обратной решетки, определяемые равенствами а!88 = бм.
Унитарность преобразования (82,6) обеспечивается равенствами а8 М-ТЧ а б ~ Е88 (а-ач После преобразования (82,6) получаем К= — ~~) е„(87) АтА д. а 0= а Х Раа(д)еа(д)еа(87) А,А т, ! ма,а (82,7) 384 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ .!ГЛ„ТО Фононы В тРехмеРнОм кэисталле где У)аз(ч) =У)аа(Ч)=.0аа( ч) = — ~ $ ае(п) е~ч» (82 8) — матричные элементы силовой матрицы. Введем функцию Лагранжа Ь = У1 — К тогда уравнения Лагранжа при а = ее Ат примут вид еа(юу) Ач+ Х й,з(юу) ев(д) Ае — — О. з С помощью подстановки Ае — — — 1)а(9)АЕ этн дифференциальные уравнения -преобразуются к -алгебраической системе трех уравнений (при фиксированном 9) относительно неизвестных коэффициентов еа (<у): йе(д) еа(9) — ~2.", 0 (а) е (9) О. (82,9) Из условия нетривиальной разрешимости уравнений находим дисперсионное уравнение П '11 (~) баа Ваа (ча) Н определяющее частоты 1)т(д).
Уравнение (82,9) имеет, вообще говоря, три кбрня Щ(у), з=1, 2, 3. Соответствующие им три решения (82,9) определяют три вектора е,(9) с компонентами е (~у). Они ортогональны и определяются уравнениями (82,9) только с точностью до постоянной, поэтому их можно выбрать ортоиормированными е, (~У) е; (9) = 6„'. При а- О матричные элементы УУ В(д),,согласно (82,4) и (82,8), стремятся к нулю. Поэтому предельные значения всех трех частот ьу.(д) также стремятся к нулю. В связи с этим соответствующие движения атомов в кристалле называются тремя ветвями акустических колебаний. В кристалле кубической син. гонии один из векторов е,(д) направлен вдоль вектора д. Он характеризует продольные смещения атомов.' Соответствующие колебания называются продальными.
Два других вектора е, взаимно перпендикулярны и перпендикулярны д. Они определяют ветви поперечных колебаний. В анизотропных кристаллах три вектора е,(а) взаимно ортогоиальиы, однако только для некоторых выделенных направлений в кристалле один из них совпадает с д. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ и'л. х Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется заменой обобщенных координат и импульсов операторами Ф АЕ,-РАЕ,— — ~~!,,) (Ьеб+Ь ч,,); 2 ! 1, (8,!4) 2 где Ьч, и Ьт, — соответственно операторы рождения и уничтоже- Ф ния фоноиов в состояниях ! Тч,), характеризующих число фоно. нов тч, каждой ветви колебаний. Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для операторов Бозе (Ьен Ь,', 1=5„5.„[Ь„, Ь; )=0.
Проведя преобразования (82,14) в выражениях (82,13) и (82,!О), получим операторы Гамильтона и векторы смещений атомов из равновесных положений Н= ~ Ьйб(я) ~ЬчбЬтб+ —,'~, Ч,б е =~~! (В~А, )) *е,9)~ЬЧ,+ 5~~, б!е'~". (82,16) Собственные функции оператора (82,!5) и оператора числа ча- Ф СтиЦ ЬЧ,ЬЕВ СООтВЕтетВУЮЩИЕ ЧИСЛУ фОйОНОВ И"= ичб В СОСТОЯ- (82,15) В соответствии с тремя решениями системы уравнений (82,9) компоненты смещений атомов (82,6) определяются через три коллективные переменные Атб для каждого вектора д с помощью выражения гба= — У,е,~(д) Ачбе~ч", а=1, 2, 3.
(82,10) ,Ф„... Подставив (82,10) в (82,3) и (82,5), получаем К= —,' ~ А„А,„, и= —,' '~',а'.®А„А,, (82,1Ц Д, б Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам Ач„определяются равенствами (82,12) дА Выражая в (82,11) скорости А, через обобщенные импульсы, находим классическую функцию Гамильтона Н =1('+ Н= — ~ (Р~,Р в, + й,'(~у) Ат,А,,). (82,13) эщ втогнчнов квантование мвзонного поля зз7 ннн с волновым вектором д, поляризацией е,(д) н энергней Ь11,(д), получаются нз функций вакуумного состояния (без фононов) по общему правилу ! и) = (п!) ь (Ь,) ! О). Этн функции симметричны относительно перестановки фононов, так как операторы Ь, удовлетворяют перестановочным соот- Ф Ф1 ношениям ~Ьч„йчл =О. Симметричные относительно перестановки одинаковых частнц функции описывают Состояння бозе-частиц, следовательно, элементарные квантовые возбуждения колебаний атомов в твердом теле — фононы — являются бозе-частнцамн — бозонами.
Фононы должны удовлетворять статистике Бозе —, Эйнштейна. В каждом квантовом состоянии может находиться пронзвольное число фононов. й 83. Вторичное квантование мезонного поля Как показывает опыт, в прнроде имеются заряженные н ней- тральные и-мезоны — пионы. Заряженные пионы имеют два- знака электрического заряда н массу, в 273 раза превышающую массу электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
