А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Из (79,3) следует, что вследствие спин-орбитального взаимодействия уровень энергии с определенным значением 1 расщепляется на два уровня. Величина расщепления пропорциональна квантовому числу й уровень с ббльшим значением полного момента 1=1+ '/9 лежит ниже, чем уровень с 1=1 — '/9. (Напомним, что для электронов в атомах расположение было обратным.) На рис. !3 приведено относительное положение энергий состояний нуклонов в ядре с учетом спин-орбитального взаимодействия.
В соответствии с принципом Паули число нуклонов определенного типа на 'каждом энергетическом уровне не может превышать числа состояний 21+ ! с данной энергией. Группы состояний, мало отличающихся по энергии, называются куклокными оболочками. Первая оболочка для нейтронов образуется состоянием !зчь На этой оболочке могут находиться два нейтрона. Вторая оболочка соответствует состояниям !рЧ„1р А.
На втой оболочке могут находиться 6 нейтронов. Третья оболочка образуется состояниями !с(гь 2зч„ИА и т. д. Протонные оболочки соответствуют таким же квантовым числам. У легких ядер протонные и нейтронные оболочки мало отличаются по энергии. В этом случае у устойчивых ядер число зто КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 1ГЛ. 1Х протонов и нейтронов почти одинаково. Если, например, число нейтронов превышает число протонов, то нейтроны будут занимать более высокие энергетические уровни.
Такое ядро будет неустойчивым. Нейтрон, испуская 'электрон и антинейтрино, превратится в протон и займег более низкое энергетическое состоя- ние. Если число протонов превы- 11 шает число нейтронов, то происк~ ходит превращение протона в 11 нейтрон с испусканием нейтрино у 1% у и позитрона. .7,0 .уг ~-У В тяжелых ядрах кулоновское отталкивание между протонами (оно возрастает пропорцио7у нально квадрату числа протонов) делается значительным.
ПоЬ1 угу 4Ф этому уровни энергии протонов бу7у У- дуг выше соответствующих уровня ней энергии нейтронов. В этом — (рр) случае устойчивые ядра содержат Рд '015~~ больше нейтронов, чем протонов. 7у' ® Котла число протонов и число нейтронов достигает значений, 144' ® указанных на рис. 13 числами в Ъ у~ 5ут кружках, то полностью запол- няются соответствующие нижние гуу ® оболочки. Эти числа: 2, 8, 20, 28, У,Р 5/г 80, 82 и 126 называют магиче- скими числами. К таким ядрам 75 относятся Ней, Ой, Саяр, РЬйт . Эти 4 1й 40 КВ ядра в некотором смысле соотРнс. 1Ь Схема внеягетнческих Уповней ВЕТСТВуЮТ ВТОМВМ ИНЕРТНЫХ Гаиуклоиов в атомном «лре. Слева укаванм аначеиия 1, посерелнне — иначе- зОВ, у которых заполнены элек- ния Ь цифры в «пушках спрана укавмвают тронные оболочки.
Они являются испо нейтронов 1протоновх которммн наполняются все уровни с меньшей внергпей. менее охотно вступают в ядер- ные реакции. Большая устойчивость ядер с заполненными протонными и нейтронными оболочками связана еще с «эффектом спаривания нуклоновр. Оказывается, что взаимодействие пары нейтронов (протонов), имеющих проекции полного момента, отличающиеся только знаком, значительно сильнее, чем взаимодействие других пар нуклонов. Эффект спаривания обусловлен остаточным взаимодействием нуклонов в ядре. В ядрах с четным числом протонов и четным числом нейтронов (четно-четные ядра) все нуклоны спарены.
Поэтому суммарный момент количества движения четно-четного ядра, находящегося в основном состоянии, з 1 оволочнчн»я модвль лгомного ядгл всегда равен нулю. Образование возбужденного состояния в таком ядре требует около ! — 2 МэВ энергии для «разрыва пары». У ядер с заполненными нейтронными и протонными оболочнами возбуждение ядра соответствует энергии 6 — 8 МэВ, так каи у таких ядер «разрыв пары» нуклонов возможен только при переводе одного из нуклонов пары в более высокую незаполненную оболочку. В наиболее простом и примитивном варианте оболочечной модели нечетных атомных ядер 1одночастичная модель ядра) предполагается, что все нуклоны ядра, за исключением последнего, нечетного, соединяясь парами, образуют «инертный остов». Момент количества движения ядра (спин ядра), магнитный момент н, первые возбужденные состояния ядра определяются состоянием движения этого нечетного нуклона в поле «инертного остова».
В более совершенной модели оболочек ядро рассматривается как определенное число нуклонов, образуюших заполненные оболочки плюс внешние нейтроны и протоны незаполненных оболочек. Используя далее приближение Ц-связи для средних и тяжелых ядер и Е5-связи для легких ядер, рассматривают состояния ядра, соответствуюшие различным значениям полного спина с учетом остаточного взаимодействия между нуклонами.
Более детально с методами теории оболочек можно познаномиться в обзоре Эллиота и Лейна ([72), ч. 1'т') и в курсах теории ядра 173',. ГЛАВА Х ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДИНАКОВЫХ БОЗОНОВ й 80. Вторичное квантование злектромагнитного поля без зарядов В системах тождественных частиц описание состояния не должно зависеть от нумерации частиц.
Это свойство отражается в симметрии функций относительно перестановки любой пары частиц. В $ 7! было указано, что состояния систем бозонов— частиц с целым спином — описываются только симметричными функцнямн относительно этой перестановки. Исследование таких систем удобнее всего производить в представлении квантовых чисел заполнения или, как часто говорят, в представлении вторичного квантования, которое автоматически выбирает функции нужной симметрии. В обычном координатном представлении волновые функции системы Ф частиц с о степенями свободы зависят от Уа переменных.
В представлении вторичного квантования все операторы выражаются через операторы рождения и уничтожения частиц в одночастичных состояниях с числом степеней свободы только одной частицы, а состояние всей системы описывается функциями, зависящими от чисел, указывающих число частиц в каждом одночастичном состоянии.
В связи с этим метод вторичного квантования значительно облегчает исследование систем с большим числом частиц. Этот метод практически незаменим при 'исследовании систем с переменным числом частиц, т. е. систем, в которых происходят взаимопревращения частиц. В последнем случае используется полевое описание, а именно частицы рассматриваются как кванты некоторого поля. Взаимодействие между частицами осуществляется через другие поля, квантами которых являются другие частицы. Поля соответствующих частиц рассматриваются как динамические переменные. Они являются функциями координат и времени.
Однако эти координаты характеризуют точки пространства и не являются координатами частиц. В этом параграфе мы исследуем методом вторичного квантования систему фотонов, т. е. квантов электромагнитного поля. Электромагнитное поле в вакууме в классической электроди- намике (74) описывается с помощью плотности функции Ла- гранжа Е = — ~ —, ( — ) — (го1 А)~ ~, (80, 1) где А — векторный пЬтенциал, через который при условии йт А = 0 выражаются напряженности электрического Е и магнитного В полей Е= — — —, В=го1 А. 1 дА (80,2) дт, 1 Учитывая, что — = — — го! го1 А и решая уравнение ЛадА 4я Э гранжа получаем из (80,1) первое уравнение Максвелла ! д.Š— го1 В.
е д! (80,3) Три других уравнения — — = — го1Е, йчВ=йчЕ=О 1 дВ следуют автоматически из (80,2).. Из (80,2) и (80,3) получим также уравнение движения для векторного потенциала —, — с!а'А = О. дгА дм (80,4) Согласно (80,1), обобщенный импульс Р, сопряженный векторному потенциалу, определяется выражением дЕ. 1 дА Р= ~ дА ) 4яс2 д! (80,5) Следовательно, функция Гамильтона, выраженная через век- торный потенциал и обобщенный импульс, принимает вид Н ='~ ~ 2пстВт+ — (го1 А)з ~дзг. (80,6) Предположим, что электромагнитное поле заключено в большой объем р, имеющий форму куба с. ребром Уь, и удовлетворяет циклическим граничным условиям с периодом Р"!ь Тогда можно ! м! квантовании злвктвомлгнигного поля ваз злгядов з73 374 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ [Гл. х провести фурье-преобразования А (и, () = — = ~~ па(Я) Аеа (() пго, Аеа= А* е, а, (80,7) )»Г Р(г' 1) == „)~~ еа ((х)) Рда (1) е ™» Р»7«= Р-о, а» (80»8) [ уг где компоненты волнового вектора ч1 пробегают бесконечный ряд дискретных значений '[ч[[=2п(' "и[, 1=1, 2, 3; т»[=0, .+1, ч-2, ...; е„(Я) — единичные вещественные векторы поляризации, удовлетворяющие условиям *) Цеа(Я)=0, е«Щ)ерЩ) б „, а, ()=1, 2, 3.
(80,9) Векторный потенциал (80,7) удовлетворяет уравнению (80,4), если Ао„([) изменяется со временем по гармоническому закону Аеа (Т) = Ай», (О) е о, юе = с »чгт . (80,10) Переход от классического к квантовому описанию состоит в замене АВ„РВ« операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям (А о« (1), Рсна (1)1 = (йбеч Ь~, (80,11) В представлении чисел заполнения этн операторы выражаются через бозе-операторы рождения ат, и уничтожения а элементарных возбуждений поля — фотонов с волновым вектором Д и поляризацией е„ Ае«(т) =( ) (а (г) + ат а (г))' 1 Оа(~) 1алез/ (поа("» оа())' (80,12) Проведя соответствующие преобразования в (80,7) и (80,8), получим операторы векторного потенциала и сопряженного а) Вещественные векторы еа(0) определены условиями (З0,9) неодно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
