Главная » Просмотр файлов » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 61

Файл №1120560 А.С. Давыдов - Квантовая механика (А.С. Давыдов - Квантовая механика) 61 страницаА.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560) страница 612019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

В этом' случае состояние атома приближенно рассматривается как совокупность одноэлектронпых состояний. Такое приближение основано на использовании волновых функций атома в виде произведения (75,3) одноэлектронных функций. Строго говоря, полную волновую функцию атома нельзя представить в виде произведения (75,3), поэтому метод самосогласованного поля учитывает только основную часть взаимодействия между электронами, а не полное взаимодействие (см.

$78). При практических вычислениях самосогласованное поле Хартри усредняется по направлениям радиуса-вектора г7,. тогда потенциальная энергия делается сферически симметричной, что позволяет искать решерия ф7(г) в виде произведений сферических функций на функции, зависящие только от )г~. Значения ЕА в уравнении (75,9) определяют энергетические состояния отдельных электронов в атоме. Основное состояние атома соответствует размещению л электронов в согласии с принципом Паули (по одному электрону на состояние) по состояниям с наименьшей энергией. Возбужденные состояния атома получаютссй при переходе электрона с занятого состояния в одно из свободных состояний с большей энергией. При таком переходе несколько изменяется и самосогласованное поле д; однако при малых изменениях состояния движения одного электрона изменение л' будет очень малым (так как У' определяется состоянием движения всех электронов атома), н его можно не учитывать при приближенных вычислениях.

Суммарная энергия Е всех электронов в атоме определяется выражением (754), если в интегралы подставить волновые функции, соответствующие решениям системы уравнений (75,7). Легко, однако, видеть, что эта энергия не равна сумме энергий одночастичных состояний е!. Действительно, из (75,7) следует е! = ~ 2Р2022р! 22т2+ ~~)~~ .~ 2рЮА~ 222рг!р! '1"! 2(ть 2!А! г В сумме ~~.', е! энергия электростатического взаимодействия !' 1 учитывается дважды, поэтому в-согласии с (75,4) имеем Е= ~~ е! — з ~ ) -2р2!рАУИ!р22р22(т22(ТА.

~! ЙФ! . Как уже отмечалось выше, выбор пробной волновой функции в виде простого произведения не позволяет учесть корреляцию в движении электронов, обусловленную антисимметрией полной функции. Самосогласовапное поле, учитывающее корреляции в дважеиии электронов, было получено Фоком (57] на основе использования пробной волновой функции, правильно учитывающей симметрию относительно перестановки частиц. В методе Фока пробная функция строится с помощью волновых функций оТдельных электронов, зависящих как от пространственных, так и от слиновых переменных. Если $! — Совокупность пространственных и спииовых координат и 2)!2(Ц вЂ” Ортонормированная система функций, то нормированнав антисимметричная пробная функция может быть выбрана в виде ф!(Ь) ф2(Ы "° 2Р2(эг) $2 (ь!) ф2 (Е2) ' ' 2)!2 (ьг) 1 (ь!з ° э ьг) ! 1/х! (75,10у фг (ь!) фг (гь2) ° ° ° 'Ь (Вг) Волновая функция (75,10) характеризует состояние электронов в атоме набором собственных функций ф!, фн ..., фг, од- 350 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ.

2Х $7я мвтод схмосоглхсовлнного поля ххгтги — эокх 35! нако, в отличие от функции (75,3), она не указывает, в каком состоянии находится каждый электрон системы. Хотя эта функция ярзвильно учитывает одинаковость электронов, она тоже не является наиболее общим видом пробной функции, которую следовало бы использовать в вариационном методе.

Выбор одноэлектронных функций ф~($), входящих в (75,!0), основан на предположении, что отдельные электроны движутся в эффективном центрально-симметричном поле, образованном ядром и остальными электронами. Поэтому состояния электронов характеризуются квантовыми числами 1, и, зз. Условимся записывать нормированную антисимметризованную функцию (75,10) в сокращенном виде Ч'($ь ..., $х)=Ре1(фь фз,:...

фз). (75,11) Основному состоянию атомов с замкнутой электронной оболочкой соответствует только одна функция типа (75,!0). Например, волновая функция основного состояния' атома бериллия, соответствующая 7 = Е,= 3 = О, может быть записана в виде Ч' ($о ..., ~4) = Ре! (фы+, ф„, фз,+, яь, ). Знаки + и — указывают-спиновое состояние электрона. У атомов с незамкнутой оболочкой антисимметричные функции, используемые в качестве пробных функций в (75,2), надо выбирать в виде линейных комбинаций функций типа (75,10). Эти линейные комбинации составляются так, чтобы они соответствовали определенным значениям полного, орбитального и спинового моментов всего атома.

Например, возбужденным состояниям атома бепиллия, относящимся к электронной конфигурации (1з)з(2з)'(2р), могут соответствовать значения 3=0, У = Е=! и 3 = 1, !. = 1, Х =О, 1, 2. Функции этих состояний получаются путем линейной комбинации, по правилам сложения ($42) трех моментов (два спина и 1. = 1), двенадцати детерминантов Ре1(фм+, фм, фм+, фз ), Ое((фы+, ф„, фт,, фз, +), Ре!(фм+, ф1, фм+, ф„+), Ре((ф„+, фм, ф„, ф„.

), где лг=О, ~1. Корреляции в движении электронов определяются типом симметрии координатной части волновой функции. Как показано в $72, симметрия координатной функции зависит от полного спина системы. Поэтому состояниям с разными значениями полного спина системы в,методе Фока будут соответствовать разные самосогласованные ноля. Покажем это на примере системы, состоящей из двух частиц спина '/ь Пусть оператор Гамильтона имеет вид Н=Н1+ На+ Ум, (75,12) где НВ1 и Нь ~— операторы Гамильтона, действующие только па координаты каждого электрона. Найдем уравнения, определяющие парасостояния системы (суммарный спин равен О), когда одноэлектронные состояния относятся к двум разным ортогональным и нормированным' функциям фа и фь, например для конфигурации (1з)1(2з) 1.

В парасостояниях координатные волновые функции симметричны, следовательно, в интеграле (75,2) надо брать пробные функции в виде )г — (Фа (Ц 1Рь (2) + Ч1а (2) Фь (Ц). (75,13) Используя (75,12) и (75,13), вычисляем интеграл У = ) 1Р'Ньуььт11И = ) Ф'НВФ„дт+ ) 1РАНьф 1(т+ + ) Ф (Ц1Рь(2) $/1ВФь(2)Ф (Ц-1И,ьгть+ +,~ Ч1а (Ц 1Рь (2) Ъ м1Рь (Ц фа (2) 1И1 'Иь (75~14) Варьироваиие (75,14) по функциям Ф', и Ф' при условиях Ф1ФА дт = й1 ь', 1, й = и, сводится к варьированию выражения б (7 Еа ~ Ч1аЧ1а ь(Т Еь ~ Фь1Рь 1(т) = 0' Таким путем находим систему двух уравнений (Нь + УРьь — Е ) Ф + Уаь Фь = 0 ~ (Нь+ Уаа — Еь) Фь+ У'аьФа = Оэ (75,15) где ~'ьь= ~ Фь (') )г1АФь (Ц'1И1 — интеграл, учитывающий кулоновское взаимодействие элек- трона, находящегося в состоянии 1Рь, с электроном, находящимся в состоянии 1Р„ без учета корреляции движения электронов.

Ана- логичным образом определяется интеграл У;,; У'ьа= ~ Ф,(Ц)г1АФа(Ц ь(т1 — обменный интеграл, учитывающий корреляцию в движении электронов, обусловленную снмметрнзацней, координатных функций. 352 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. !Х стьтистичвсхни метод томхсь- евьмн ззз В ортосостоянии (3 = 1) координатная волновая функция антнсимметрична (75,16) й 76. Статистический метод Томаса — Ферми Математические трудности численного решения систем интегродифференциальных уравнений метода Хартри — Фока, рассмотренных в предыдущем параграфе, значительно возрастают по мере увеличения числа электронов в атоме.

Поэтому для сложных атомов этот метод редко применяется. Для определения основных особенностей распределения алек. тронов н поля в сложных атомах используется статистический метод, предложенный Томасом !60) и Ферми (6!1 При статисти. чесиом рассмотрении нельзя объяснить индивидуальные свойства каждого атома, однако этот метод позволяет объяснить общие свойства атомов (радиус, энергия ионизации, поляризуемость атома и др.) и их изменение при изменении заряда ядра. Статистический метод Томаса — Ферми первоначально был введен для вычисления распределения плотности электронов 2 (Ч'а(!) (Рь(2) — <ра(2) уь(1)); ! поэтому система уравнений Фока будет иметь вид (О + У'ьь 4а) Ча Уьь1%ь= 0 Я" + У вЂ” Еь) чь — Уь ьта = 0 ) Система уравнений (75,16) отличается от системы уравнений '(75,15) знаками обменных интегралов.

Если не учитывать правильной симметрии волновых функций, то обменные интегралы в (75,15) и (75,16) будут отсутствовать. В этом случае обе системы уравнений совпадают и переходят в менее точные уравнения Хартри, в которых уровни энергии пара- и ортосостояний одинаковы. Для атомов, состоящих из многих электронов, системы интегродифференциальных уравнений, определяющих одноэлектронные состояния, очень сложны.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,47 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее