А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Исследуем системы, допускающие использование нерелятнвнстского приближения. В этом случае оператор Гамильтона можно записать в виде Ф 9 (71,1) где У вЂ” оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами как функция пространственных координат всех частиц; Ф' — оператор, характеризу1ощий спин-орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания взаимодействия. Таким образом, оператор йг является функцией операторов спинов и импульсов частиц.
Взаимодействия, учитываемые оператором В~, квантовая теогия систем одинлковых частиц ~гл. п~-, имеют порядок величин (о/с)з и в нерелятивистской теории 1 могут рассчитываться методом теории возмущений. Волновая функция уравнения Шредингера (И вЂ”,',. — Н) $=0 (71,2) с оператором Гамильтона (71,1) в зависимости от выбора пред- '. ставлевия является функцией времени, спиновых и пространственных координат, частиц, или функцией времени, спиновых координат и импульсов частиц н т. д.
Если все пастицы системы одинаковы (и = лт; и т. д.), т. е. неотличимы друг от друга, то оператор Гамильтона (71,Ц ие изменится при перестановке любой пары частиц. Обозначим оператор перестановки частиц номеров й и 1 через Рм, тогда условие одинаковости частиц в системе выразится на математиче- $ ском языке условием коммутации оператора Гамильтона (71,1) с'оператором перестановки любой пары частиц системы, т. е. РыН Нрко (71,3) Так как операторы Рм и Н коммутируют между собой, то собственные значения оператора Рм будут интегралами движения. Для определения собствейных функций и собственных значений оператора перестановки двух частиц Р,1 рассмотрим систему, состоящую только из двух одинаковых частиц.
В этом случае собственные функции оператора Рм должны удовлетворять уравнению Р,у~(1, 2) =.Х~) (1, 2), (71,4) зг. где Х вЂ” действительное собственное значение (оператор Р,з)1 эрмитов). Если на это уравнение подействовать еще раз опера-' тором перестановки Риь то находим Р(тф (1, 2) = ь~ф (1, 2).
(71,5), С другой стороны, из определения оператора перестановки следует Риф(1, 2) =Ф(2. 1). поэтому Р~зф(1, 2) = ф(1, 2),,Учитывая этот' результат, из (71,5) получаем 3Р=1, или Л= ~1. Итак, оператор перестановки имеет только двв собственных значения ~1. Србственная функция ф,(1, 2), соответствующая собственному значению Х = 1, называется симметричной функцией и определяется уравнением РмЬ(1, 2)=ф,(1, 2) (71;6) УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ зги Собственная функция ф, (1, 2), соответству1ощая собственному значению А = —.1, называется антисимметричнай функцией. Она определяется уравнением Риф,(!, 2) = —. ф, (1, 2), К ак показывает опыт, система, состоящая из двух электронов или двух протонов, или двух нейтронов во всех состояниях описывается только аитисимметричными функциями.
Система, состоящая из двух альфа-частиц, всегда описывается симметричной функцией. Таким образом, свойство симметрии по отнош нию к перестановкам пары частиц является интегралом движе иия (из-за коммутации Рп к Н) и определяется типом частиц входящих в состав системы. Это утверждение непосредственно обобщается и на системы, состоящие нз произвольною числа одинаковых частиц.
В силу одинаковости частиц волновая функция системы должна обладать одинаковыми свойствами симметрии (быть симметричной либо антисимметричной) по отношению к перестановке любой пары частиц. Формально математически волновые функции систем, содержащих более двух частиц, могут иметь и более сложную симметрию, тзк как все эти функции являются решениями соответствующего уравнения Шредингера, но, как показывает опыт, в природе реализуются только симметричные или только антисимметрнчные состояния по отношению к перестановке каждой пары частиц.
Свойство симметрии волновых функций системы не может змениться и внешним возмущением, так как вследствие одина,довости частиц внешнее возмущение всегда симметрично по от- ~~ношеннЮ к перестановкам пар частиц. Итак, в квантовой механике состояния систем одинаковых частиц описываются в зависимости от рода частиц либо симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями.
Лнтисимметричные функции описывают состояния систем, состоящик из электронов, протонов, нейтронов и дзпугих частиц (сложнык или простых) е. полуцелым спнном ('/зз, /Уь, В/Ве,...). Системы, состоящие нз частиц (сложных или простых), имеющих целый спин (О, Ь, 2а, ...), описываются симметричными функциями. Эти правила являются обобщением опытных данных и образуют основной постулат — принцип неразличимости одинаковык частиц. Частицы, образующие системы, описываемые антисимметричными функциями, называются фермионаии.
Частицы, образующие системы, описываемые симметричными функциями, называются бозонами. По-видимому, все частицы, существующие в природе, являются либо фермионами, либо бозонами. зза КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИП [ГЛ. !Х й 72. Симметричные и антисимметрнчные волновые функции Уравнение Шредингера (71,2) допускает решения общего типа, как обладающие, так и не обладающие определенным типом симметрии.
Из всех этих решений для систем, состоящих из фермионов, надо взять только решения, соответствующие антисимметричным функциям, а для систем бозонов — симметричным функциям. Покажем, как можно получить решения с указанными свойствами симметрии. Пусть система состоит из двух частиц, и функция ф(1, 2) является одним из решений уравнения (71,2), тогда, в силу одинаковости частиц, функция ф(2, 1)', образованная нз ф(1, 2) путем перестановки частиц 1 и 2, также будет решением уравнения (71,2).
Из этих двух решений легко составить функции, обладающие требуемой симметрией. С точностью до множителя нормировки антнсимметричная ф, и симметричная ф, функции будут соответственно иметь внд фА=А1ф(1, 2) — ф(2, 1)], ф,=В(ф(1, 2)+ ф(2, 1)~. Этот процесс антисимметризации и симметризации волновых функций обобщается и на случай систем, состоящих из )т' одинаковых частиц. В такой системе возможны Ф! различных перестановок частиц. Функция, соответствующая каждой перестановке, может быть получена из первоначальной функции ф(1, 2, ..., 7т) путем последовательной перестановки пар частиц. Пусть Рф(1, 2, ..., Ж) обозначает функцию, которая получается нз ф(1, 2, ..., )т) в результате т последовательных перестановок пар частиц.
Тогда с точностью до множителя нормировки симметричная и антисимметричная функции будут получаться по правилу (72,1) ф, = А ~ Ртф (1, 2, ..., )т), ф = В ~ ( — 1)~ Ртф (1, 2, ..., )т'), Ч (72,2) В связи с принципом неразличимости одинаковых частиц возникает необходимость уточнения принципа суперпозиции состояний, о котором говорилось в 5 3. Не всякая линейная комбинация произвольных решений некоторого уравнения Шредингера для системы одинаковых частиц будет изображать возможные состояния этой системы. Возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями. функций, которые не меняют свойств симметрии по отношению к перестановкам пар частиц. Например„для систем, состоящих из электронов, в линейную комбинацию могут входить только анти- симметричные волновые функции.
ф ?Я СИММЕТРИЧНЫЕ И ЛНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЪ|Е ФУНКЦИИ Ш где и« вЂ” совокупность квантовых чисел, характеризующих кван- товое состояние частицы !. Тогда собственные функции опера- тора Н«ь соответствующие собственному значению Е= ~«е„,, будут линейными комбинациями функций ф„(!) ф„(2) ... ф„(?1). Для системы бозонов волновая функция должна иметь вид симметризованного произведения «рф = А ~~~~ Р„«р„(!) «р„(2) ... ф„(й!), где А — множитель нормировки. Для систвм фермионов функ- ция в соответствии с (72,2) должна иметь вид «Рл= — ~~~~~( ) Ртфл (!)'рл ( ) ''' 'рл ( ) В ° ...
(?2.3) щу~луллл у фу цню изобразить в виде детерминанта «р„' (!) ф„(2) ... «р„(й«) ф„(!) ф.,(2) " ф„Р0 ф. (!) ф„(2) " ф„'(й)) 1 О у (72?4) где суммирование проводится по всем Ж1 функциям, соответствующим различным возможным перестановкам ««? частиц системы. Точное решение задачи многих частиц в квантовой механике наталкивается на непреодолимые математические трудности.
Однако в ряде случаев основные особенности квантовых систем могут быть объяснены при использовании метода последовательных приближений, в котором в нулевом приближении частицы считаются независимыми, а в высших приближениях взаимодействие учвтывается на основе теории возмущений. Итак, в нулевом приближении оператор Гамильтона системы частиц будет равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц: Н.= Х Н(!). В этом случае собственная функция оператора Нф представится в виде произведения или линейной комбинации произведений собственных функций операторов Н(!) отдельных частиц, а собственное значение Нф будет равно сумме собственных значений операторов Н(!). Пусть функция ф„«(!) удовлетворяет уравнению )Н (!) — еуч ~ ф„, (!) = О, ЗЗ4 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ.
»Х Изменение знака функции (72,4) при перестановке любой пары частиц непосредственно следует из изменения знака детерминанта при перестановке двух его столбцов. Из (72,4) следует так называемый принцип Паули. Согласно принцийу Паули, система одинаковых фермионов не мажет находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями (72,4), содержащими хотя бы два одинаковых одночастнчных состояния; В . самом деле, если среди одночастичных состояний п„пь ..., пн имеется хотя бы два одинаковых, то детерминант тождественно обращается в нуль. Итак, в системе, состоящей из одинаковых фермионов, две (или более) частиць1 не могут находиться в одинаковых состояниях.
Конечно, в такой формулировке принцип Паули может применяться только к системам слабовзанмодействующих частиц, когда можно говорить (хотя бы приближенно) о состояниях отдельных частиц. В общем случае можно сказать, что система частиц удовлетворяет принципу Паули, если она описывается только анти- симметричными волновыми функциями относительно переста) новки пар частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
