А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Вводя постоянную тонкой структуры ез 1 а — — ~ ве !зт (67,13) яз и ń— —,, запишем (67,12) в виде суммы трех слагаемых (п1(%7! !(л/) = хлаз Г 2аз~Р (О) О, если 1~ О, — если 1= О. 2л аз Г / 2 !з аз24 / 3 ! (п/ ЛКДп1) = — — ) /рз !Е + †! рз /(р = — ~- ! — — †, ~, 2 .) е/1 л р / 2л !4л /+ //е/' ( 1((~.( /)= '4'~/(/+ ц — 1(1+ ц — Я ~ ~„+" (.= азх4 1/ (1+ Ц ', если /=1+'/и 2л (~+ !) ( — Г, если 1=1 — !/г. где !(/! и ))/з определены соответственно (67,3) и (67,4), а Вз= 4 е (/(!+ 1) — 1(1+ 1) — ~ ° (67 10) Поскольку операторы й/"! имеют порядок величины (о/с)з, то решение уравнения (67,9) можно провести методом последовательных приближений.
В нулевом приближении имеем уравне- ние КЙАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ игл. ч!и При вычислении этих матричных элементов были использованы следующие значения интегралов от р А на волновых функциях атома водорода: 2 р2а(р — ара р а/р— г р 1, ха Ыр ла ' ) ы ра ла(!+а/а) ' 1 ха 4г арф а р Р ла(а+ а)(а+ а/ >а и 'рла(0)= — абм. Подставляя полученные значения матричных элементов в (67,12), находим окончательную формулу для поправки к энергетическим состояниям (в атомных единицах) атома водорода, обусловленной релятивистскими эффектами для частицы со спи- НОМ '/2. (67,14) 121|,, 2заа, 2рь, 2рл, ЗВТ„Зря, Зрал, Ыаа, ЗБЯ и т.
д. Состояния, обладающие одинаковой энергией, подчеркнуты. Волноные функции стационарных состояний электрона в кулоновском поле могут быть записаны в виде ~ л//ш) = р., (г) Е, (64,), (67,15) Из формулы (67,14) следует, что релятивистские эффекты .прн учете членов порядка (и/с)2 приводят к расщеплению аакратно вырожденного уровня нерелятивистской теории Шредингера для частицы без спина.
Теперь, кроме главного квантового числа п, УРовни энеРгии зависЯт от квантового числа 1 = '/гл а/2, ..., определяющего полный момент количества движения электрона в атоме. Энергия зависит только от квантового числа 1 и не зависит от 1. Поэтому пары уровней, имеющие одинаковые п и / при 1 =1 ~ а/2, остаются вырожденными. Такое двукратное вырождение энергетических уровней сохраняется и при точном решении уравнения Дирака (см. й 68) в кулоновском боле. В связи с тем, что при учете спина электрона появляется новая степень свободы, общее число энергетических состояний, соответствующих одному главному квантовому числу а, равно 2я2, что в два раза превышает число состояний частицы без спина.
При учете спина электрона обозначение «ВЬ квантового состояния частицы в центрально-симметричном поле заменяется обозначением «п12Р, где квантовое число /, стоящее справа внизу у латинской буквы 1, характеризует полный момент электрона в данном состоянии. Таким образом, в атоме водорода возможны -состояния з 6п ятом водоэодх с хчзтом спинх элвктэонл З(З где радиальные функции ф„,(г) в нулевом приближении совпадают с функциями ф„~(г) нерелятивястского уравнения для частицы без спина.
Функции Ч'ря 1 (Офи,) определены выражениями (62,11), Они зависят от угловых и спинозой переменных. Энергия стационарных состояний (67,15) зависит только от квантовых чисел л и 1. Каждый из этих уровней (21+1) кратно вырожден по магнитному квантовому числу т ~1. ~(1 — 1). определяющему проекцию полного момента количества движения электрона. Система уровней, соответствующая разным значениям АЕ 1 прн одинаковом значении Е, называется тонкой структурой.
Из формулы (67,14) следует', что при данном л «полная ширина тонкой структуры», т. е. расстояние между уровнями 11 = и — 'Ь и )з='/з, Равна оРХ' (п — 1) В= ЬЕчя — АЕ,ц,—— Эта величина меньше, чем полная ширина тонкой структуры для частицы без спина (см. 58, 24а), где 0= 2К4а' (з — 1) зз( 1) Расстояние между отдельными компонентами тонкой структуры пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры (67,13), т.
е. порядка 5.10-4 атомной единицы энергии. Для уровня п = 2 атома водорода (Е = 1) энергетическая разность между состояниями 2ря и 2юя равна ах)32 (ж0,365 см-') .Абсолютная величина тонкой структуры с ростом главного квантового числа быстро уменьшается. Поэтому расщепление спектральных линий, соответствующих переходам между состояниями с разными значениями л, обусловлено в основном расщеплением уровней ннгкайшего состояния. Так, например, каждая бальмеровская линия (соответствующая квантовым переходам в состояние п = 2) состоит нз дублетных линий, расстояние между которыми порядка а932 атомных единиц энергии.
Многочисленные экспериментальные исследования, проводившиеся оптическими методами, подтверждали выводы теории Дирака о тонкой структуре энергетических состояний атома водорода. В некоторых экспериментах наблюдалось небольшое расщепление уровней 2зч, и 2рч„но это расщепление было порядка вероятной ошибки измерения ( 10 з по отношению к энергии перехода). Применение радиочастотной техники к исследованию малых разностей между энергетическими уровнями повысило точность измерения на 3 — 4 порядка, что позволило в 1947 г. Лэмбу и Рнзерфорду (501 с достоверностью установить, что уровни 2зч, н 2рь смещены друг относительно друга квазиралятивнстская квантовая таория (гл.
тгп 314 примерно на 10% от величины тонкой структуры. Объяснение относительного смещения уровней 2зч, и 2ркч названного лэмбовским слгещеыием, было дано квантовой электродинамнкой. Оказалось, что это расщепление в основном обусловлено радиационными 'поправками (взаимодействне электрона с вакуумом). Небольшие дополнительные поправки вызываются конечными размерами и внутренней структурой ядра. Учет всех этих эффектов приводит к прекрасному согласию теории с экспериментом (см. [511). При вычислении релятивистских поправок, приводящих к тонкой структуре энергетического спектра электронов в атоме, мы считали поле атомного ядра центральным электрическим полем.
Однако ядро атома водорода и многих других атомных ядер обладает магнитным моментом, Взаимодействие магнитных моментов электрона и ядра приводит к расщеплению вырожденных (по проекции полного момента атома) энергетических уровней атома. Поскольку ядерный магнитный момент примерно в' 10з раз меньше орбитального магнитного момента электрона, то расщепление уровней, обусловленное магнитным моментом ядра, будет примерно в 10з раз меньше расщепления, вызываемого спин-орбитальным взаимодействием (тонкая структура). В связи с этим расщепление уровней энергии, обусловленное магнитным моментом ядра, называют сверхтоиким расщеплением.
Измерение сверхтонкого расщепления энергетических уровней атома является одным из методов измерения спинов и мавинтных моментов атомных ядер. Для оценки величины снсрктонкого расщепления знергстическик уровней з-состояний электрона н атоме можно считать, что зщро атома является точечным магнитным диполсм с моментом М. Такой диполь создает потен- циалы которым соотнетстнуег магнитное поле ай= (Р ХА) Р ~у — ) р'( — ), (67,(6) Оператор В' — — нзй = — — паЖ зй ей 2глс 2ес характеризует нзаимадсйстаче магнитного момента злектроиа с магнитным полем. Слсдонатслько, н парном приближении теории яозмущеиий смещение Н вней н яезозмущенном электронном состоянии тйг разно ЬЕ = (чг(йг(Ч') ° усть Ч'= ф,(г)п, где и~(г) — радиальная функции з-состояння; и — спиновая функция.
Тогда ей ае — — (и) пз ( и ) (вз ( 261 фз). 2тс 5 ащ Решение уРАВнения диРАЕА для кулоновского поля 316 (Фз1РВ!м= — (рз1%" Р [Ф,> р(р,16(г)1м)=рфт(0). Следовательно, в нсрслятивистском приближении сверхтоикос смещение з-уровнсй атома выражается равенством ЬЕ ч- 2 — Нрз(0). ей где р — магнитный момент ядра, гл — масса злекгрона, Ч.
(О) — значение волновой функции электрона в центре атома. $68Я. Точное решение уравнения Дирака для кулоновского поля В этом параграфе мы исследуем точное решение уравнения Дирака для движения электрона в кулоновском поле с потенциальной энергией У '= †л/г. В этом случае оператор Гамильтона имеет вид Н= сар+ гпсг6+ У (г).
(63,1) Учитывая центральную симметрию потенциальной энергии, удобно записать (68,1) в сферической системе ксюрдинат. Пользуясь операторным тождеством (60,!О), можно написать (аг) (аа,) = (аг) (а [г Х р[) = 1((аг) (гр) — гт (ар)), следовательно, (ар) = — [(гр) + 1(аХ)].
Поскольку (аР) = (ар) 0 то (ар)=а,(р,+р . (ай)+М (68,2) где пг =— (аг) (68„3) — эрмитова матрица; Введем новый оператор 1( с помощью соотношения лг( = [) [(ад,) + гг). (68,4) (68,5) двум возможным спиновым состояниям соответствует (п)о,1н) ~!. Если участь, что Е,(г) на зависит от углов, то, подставляя (67Д6), .имеем Ч АЩ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ за Полагая У = — ге'/г и вводя обозначения Айс = Е + глсз, Вйс = тсз — Е (68,12) 1В+~а)Р 1'У+ь16 О 1 (68,14) где а = ез1(ьс) — постоянная тонкой структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
