А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Следует, далее, отметить, чта хотя функция (72,4) характеризует состояния системы, в которых отдельные частицы находятся в одиочастичных состояниях пь пь ..., пн, нельзя указать, какая именно частица находится в каждом из этих состояний. В нерелятивистском приближении (и в отсутствие внешнего магнитного поля) оператор Гамильтона системы одинаковых частиц Н= З Д~Ру+ $ (Хр ХТ» '' ° » Х ) не содержит операторов спина частиц.
Поэтому волновая функция системы мажет быть ааписана в виде произведения функции Ф, зависящей только от пространственных координат (координатная функция), на функцию т, зависящую только от спиповых переменных (спинозая функция): ф(ХФ1» Хтаг» ")=Ф(Х~» Хм " )Х(а~» Зт» А )> (72»5) илн в виде линейной комбинации таких произведений. Волновая функция (72,5) в виде произведения координатной и спиновой .функций часто используется как первое приближение и при исследовании систем с операторами Гамильтона, содержащими спин-орбитальное взаимодействие. Рассмотренные'выше требования симметрии волновых функций по отношению к перестановкам частиц относились к полной з тв симметРичные и Антисимметеичные волновые Функции функции, так как перестановке частиц соответствует перестановка как пространственных, так и спнновых переменных.
Если функция ф представляется в виде произведения спинозой и координатной функций (или линейных комбинаций таких произведений), то требуемая симметрия функции (72,5) может быть обеспечена несколькими парами функций Ф и у, обладающих симметрией некоторых типов относительно перестановки соответствующих координат. Для выяснения таких возможностей удобно воспользоваться схемами Юнга. .
Каждая схема Юнга относится к определенному типу симметрии относительно перестановки независимых переменных, соответствующей перестановке частиц. Схемы Юнга для координатной волновой функции Ф от 1Ч переменных хь хе, ..., хм определяются разбиением числа Ж всеми возможными способами на сумму слагаемых №+№+ ... = № Такое разбиение наглядно изображается расположением Ж клеток строками, в каждой из которых содержатся в порядке убывания числа №, )УМ ...
Нацример, число Ф = 4 можно представить пятью способами 4=3+1= 2+2=2+1+1=1+1+1+1, следовательно, при )у' = 4 имеется 5 схем Юнга (72,6) Для краткого обозначения схем Юнга иногда используются квадратные скобки, внутри которых указываются числа клеток в' каждой строке схемы Юнга.
Так, приведенные вьпне схемы Юнга для )у' = 4 изображаются соответственно [4[, [З,Ц, [2,2], [2,1,Ц, [1,1,1,Ц. Волновые функции, относящиеся к определенной схеме Юнга, получаются путем симметризации по переменным, входящим в состав каждой строки, и антнеимметризацин по переменным, входящим в состав каждого столбца, начиная с первого.
Схема Юнга [4) соответствует полностью симметрияной функции. Схема Юнга [1, 1, 1, Ц соответствует полностью анти- симметричной функции. Остальные схемы Юнга в (72,6) изображают волновые функции смешанной симметрии. Так квк переменные спииовой функции у частиц со спнном Чз пробегают только два значения з = ~'/м то функция Х может быть антисимметризована не более чем по двум переменным, 336 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ )ГЛ.!Х Другими словалги, функции )г могут соответствовать только схемам Юнга, содержащил! не более двух строк. Например, для систелэы из четырех частиц спиновые волновые функции могут соответствовать только схемам Юнга Здесь стрелками в клетках условно обозначены спиновые состояния.
Можно показать*), что для систем, состоящих из частиц спина !/э, волновые функции, соответству)ощие каждой схеме Юнга, изображают состояния с определенным значением полного спина системы, значение которого в единицах й будет в дальнейшем обозначаться буквой 5. Например, спиновые функции, соответствующие схемам Юнга (72,7), изображают, соот- ") Спиновая функция, соответствующая схеме Юнга, анти- Г!)Г з~ Ф симметрична относительно спнновых переменных частиц ! и 4. Поэтому зависимость этой функции от спиновых переменных частиц 1 и 4 можно изобразить ~ ойределителем~ который ! не меняется' при вращениях системы координатных осей, Следовательно, спиновые функции, соответствующие Б:С! .
СТ~ ., у, .~ -..-...,.. -.. ствами преобразования при вращении системы координат, т. е. они относятся к' одинаковым неприводимым представлениям группы вращения. В общем случае, при определении неприводимого представления, к которому относится спиновая функция, содержащая две строчки с а- и р-клетками, следует отбросить все заполненные столбцы, т. е. схемы Юнга У ллееге» относятся к одному иеприводимому представлению. Но функции б) полностью симметричны по отношению к а — ))-спинам.
Такие функции можно построить, располагая все спины в одном направлении, поэтому они соат! ветстиуют состояниям с полным спинок 8 — га — Р). Следовательно, 2 28+ ! спиновых функций Хжю соответствующих схемам Юнга а) и б) и различающихся 25+ ! значениями проекции полного спина, при вращении .координатных осей преобразуются друг через друга с помощью обобщенных сферических функций ))', т, е. к ° ~а в „,х ветственно, состояния с полным спином 2, 1 и О.
Схемы Ю ° ~Щ'Д1,Щ~ ЮЛ * * ф1 ~~ гм . состоящей из трех частиц спина '/м изображают соответственно два возможных состояния со спинами А5 и 1!р. Схемы ю Ш!], $ ~~ ~с ч ~Р- жают состояния со спином ! и О. Схемы Юнга для спиновых функций характеризуют только полный спин системы. Поэтому каждая 'схема Юнга, соответствующая полному спину 5, изображает 25+ 1 различных спиновых состояний, которые отличаются друг от друга проекциями полного спина. Если обозвачить волновые функции двух возможных спиновых состояний частицы спина '/т соответственно через а и р, то спиповая функция; соответствующая схеме Юнга . (Суммарный спин равен О), будет иметь вид у (1, 2) = =(а (!) й (2) — а (2) б (1)), (72,8) К схеме Юнга (Ш) (суммарный спин равен 1) относятся трн спиновые функции у„(1, 2) = — (а(1)(3(2)+ а(2)б(1)), 1' 2 !1,т(1, 2) =а(1) а(2), Км(! 2)=Р(1)Р(2).
(72,9) Каждому спиновому состоянию системы й! частиц, т. е. каждой схеме Юнга для спиновой волновой функции т, можно найти такую схему Юнга для координатной функции Ф, чтобы полная функция. была антисимметрична относительно одновременной перестановки координатных и спиновых переменных любых двух частиц. Например, если в системе четырех частиц спнновая функция т соответствует схеме Юнга (4), то эту функцию надо умножить на координатную функцию, соответствующую схеме Юнга (1, 1, 1, 11 В общем случае можно показать, что полная волновая функция ф будет антисимметрнчной, если спиновая волновая функция, соответствующая некоторой возможной схеме Юнга,,умножается на координатную функцию, соответствующую ч гя симметРичные и АнтисимметРичные ВОлнОВые Функции ззт :,",1 338 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 1ГЛ.
1ХМ транспонированной схеме Юнга* ). Например, для системы яея'з1 тырех'частиц возможны три антисимметричные функции (индекь;Ф: " СЫ У ФУНКЦИИ ф УнаэмзаЮт ЗНаЧЕНИЕ ПОЛНОГО СПИНа СОЕТОЯНИЯ).,.'э , ~1 ы Ф =Ф " ПШПП, ) ( г д" ,3 гс А й. Если система состоит из частиц полуцелого спина з) Ъ то спиновая волновая функция будет содержать не больше чем (2з+!) строк. В этом случае, 'вообще говоря, полный спин системы, сбстоящей более чем из двух частиц, не определяет однозначно 'схему Юнга спинозой функции. Волновые функции систем. частиц, обладающих целым спином, должны быть симметричны, поэтому они изображаются произведениями координатной и спинозой функций, относящихся к одной и той же схеме Юнга, илн линейными комбинациями таких произведений.
Некоторые вопросы симметрии волновой функции системы, состоящей из двух частиц' произнольного спина, будут рассмотрены в теории рассеяния Ц 113). 3 73. Элементарная теория основного состояния атомов с двумя электронами Исследуем энергетические состояния системы, состоящей из двух электронов, движущихся в кулоновском поле ядра заряда ле. К табиы системам относится атом Не, содержащий два электрона и ядро с л = 2, однократно ионизированный атом Ь1, двукратно ионизнрованный атом Ве и другие многократно ионизированные «гелнеподобные» ионы.
Пренебрегая спин-орбиталь- ь) Каждой схеме Юнга можно сопоставить несколько волновых функ. ций. Поэтому, в общем случае, аитисимметрнзоваииые волновые функции представляют собой линейные комбииапии произведений функций, относящихся к указанным схемам Юнга. Эти комбинации выбираются так, чтобы они были собственнымн функциями полного момента н других интегралов движения. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМОВ С ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ $7и ным взаимодействием, можно записать оператор Гамильтона си- стемы в виде Н =Но(1, 2)+ У„о, (73,1) а волновая функция 7Ро=~рм(1)щ,(2)= — „( —,) ехр ~ — —,(г,+го)1. (733) 1 х о х Волновая функция (73,3) симметрична относительно перестановки пространственных координат двух частиц. Чтобы получить антисимметричную полную функцию, надо умножить (73,3) на аитисимметричную спиновую функцию двух частиц «(,(1, 2).
ФУнкциЯ «(,(1, 2) соответствУет схеме ЮНга и изобража~т со'стояние с нулевым значением полного спина. В первом приближении теории возмущений энергия основного состояния системы равна (73,4) Е=Ео+ Ф где Я = ~ фо, (!) — <ро„(2) 7Ь, 7Ь вЂ” среднее значение энергии кулоновского взаимодействия двух электронов в состоянии (73,3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
