А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 66
Текст из файла (страница 66)
значио. Можно ввести другую перу единичных еекторое, поеернутую по отношению к первой н плоскости, перпендикулярной [7 Вместо вещественных векторов, определяющих линейную поляризацию фотонов, можно ввести комплексные векторы е+ (0) = — 2 и [е» Щ)+ [ет(9)1, е Щ) 2 [»(е» ([7) — [ет (0)1, хзрактеризующие левую и правую кругоные поляризации. прн этом (ода(() аоа'(1)] = бддЬ«а» [аеа(~) ао а(1)) = О.
(80 13) а 8щ кВАнтОБАнне электРОмАгннтного пОля Без ЭАРядов зта к нему обобщенного импульса, выраженные через операторы рождения и уничтожения фотонов: ~4(е 1)=~~~ ( у ) е еа®)(аоа(1)+а — о аЮ)~ о, а (80,14) Р(г, 1)=1~~~~~( — ~,] е 'о'е„Щ)(а~,(1) — а, (1)). о,а Переходя в (80,6) к операторам (80,7) (80,8), (80,!2), интегрируя по объему г' и учитывая равенства ) е'~о о"'Рг='г'ьооч [ч)ХеаЩ))[!'„!Хе Щ)1=9тб„. Н = ~)~~ Йа, (а+,ао, + †). (80,18) О,а Из (80,15) следует, что операторы аоа в гайзенберговском представлении зависят от времени ааеа й „ = [ао„ Н[ =йгаоаоа, или аоа (1) = аоа (О) е Переходя в (80,2) к операторам (80,14), получим операторы напряженностей электрического и магнитных полей В=,'~;(" )'..Е '( -",.), В=с~ ( ) [й)Хе ]е"~г(а „вЂ” а~ ) о. а Вычислим оператор полного импульса поля.
Согласно классической электродннамике, плотность импульса равна вектору Пойнтинга, деленному на сэ. В связи с этим полный импульс в единице объема равен 4У'=(4ясаЪ') 1 ] [В Х В[с(аг Переходя к операторам (80,16), получаем Ф=~йк)(а~~,а + — ). найдем гамильтониан электромагнитного поля в представлении вторичного квантования 376 ВТОРИЧНОЕ КВЛНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ 1гл. х (80,17) Поскольку при суммировании по всем значениям Я каждому вектору Д соответствует'и вектор — Я, то е)а = ~ 69ат~,а О,а Операторы энергии (80,15) и импульса (80,17) диагональны в представлении квантовых чисел заполнения, так как они со- держат только операторы квантовых чисел атаа . Следова- тельно, в состояниях с определенным числом частиц )пв ) энер- гия и импульс поля определяются выражениями Е='~~й,( + —,'), 4)'=,')'„й4), В,а ч,а Таким образом, квантование электромагнитного поля соот- ветствует введению элементарных возбуждений фотонов, имею- щих энергию йав, импульс Щ и поляризацию еа(Д).
Энергия вакуумного состояния (состояние без фотонов) Е,= — 7 йед= ! 2 Ь Ю = аа, так как число возможных состояний бесконечно велико. В физических явлениях проявляются только разности энергий, поэтому энергию поля можно отсчитывать от ее вакуумного значения, Переход от классических величин А; Е, В, описывающих электромагнитное поле, к операторам называется квантованием поля.
Обычно такое квантование называется вторичным кванто- ванием. Это название используется очень часто, хотя оно не оправдано. Переход от классических величин к квантовым опе- раторам происходит только один раз. Координаты, от которых зависят А, Е, В, играют роль параметров, а не координат ча- стиц. Фотоны, соответствующие определенному квантовому со- стоянию, совершенно тождественны. Волновая функция, изо- бражающая состояние с п фотонами одного типа, имеет вид ) и) =(и!) ~*(а+)а ) О); Эта функция симметрична относительно перестановки фотонов, следовательно, фотоны являются частицами Бозе. Фотоны все.
гда движутся со скоростью света, поэтому нх масса покоя равна нулю. С помощью (80,13) и (80,14) можно вычислить переста- иовочные соотношения для компонент операторов векторного потенциала, относящихся к разным точкам пространства в один момент времени. Таким образом, получаем (А~(г, г), Аа(г', Т)1=0, 1, й=х, у, х, ~А(гз т)ю вт' ~=14пйсьмь(г — г). Э ВЦ ФОТОНЫ 6 ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЬЮ 3ТТ Легко вычислить и перестановочные соотношения для компонент напряженностей полей: (Е~(г, 4, Ет(г', ~))=(В,(г, Т), В~(г', Т)) О.
Коммутируют также параллельные составляющие Е и В; например, (Е, (г, Т), В„(г', Т)) = О. Однако перпендикулярные составляющие операторов Е и В не коммутируют, например, (Е (г, Т), В„(г', Т))= Апов — Ь(г — г'). Перестановочные соотношения для других компонент получаются при циклической перестановке х, у, е. Из перестановочных соотношений следует, что перпендикулярные составляющие Е и В не могут одновременно иметь определенное значение в одной точке пространства. 5 81. Фотоны с определенным моментом и четностью В предыдущем параграфе было показано, что элементарные возбуждения электромагнитного поля — фотоны — могут характеризоваться энергией йа, импульсом ЬД и состоянием поляризации, т.
е. двумя векторами еь ем перпендикулярными друг другу и вектору ге. Такие состояния фотонов не являются единственно возможными. Возможны также состояния, в которых фотоны имеют определенное значение энергии, углового момента и четности. Напомним, что и свободное движение бесспиновой частицы в некоторых состояниях характеризуется определенным значением момента и четности (см. $35). Фотоны с определенным моментом и четностью испускаются и поглощаются системами (атомами, молекулами, атомными ядрами и др.), состояния которых также характеризуются-определенными моментами и четностью.
Фотоны являются квантами электромагнитного поля. Чтобы исследовать фотоны с определенными угловыми моментами и четностью, надо представить потенциалы электромагнитного поля в виде суперпозиции состояний, соответствующих определенным моментам и четности. Затем методом вторичного квантования перейти к операторам чисел заполнения. Определим вначале полную систему функций, соответствующих определенному значению углового момента и четности фотона. Угловой момент любой частицы складывается из ее орбитального и спиновото моментов.
Поскольку масса покоя фотона равна нулю, то обычное определение спина как момента зтв ВТОРичнов кВАнтОВАниЙ систем из Бозонов [ГЛ. х Й,=ООО Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для компонент оператора момента. Собственные функции 1И„ операторов 1 О О 3, и 8 =5~+ЯР+3,=2 О 1 О О О 1 удовлетворяют уравнениям ЗВХ,„=аж, Юд,„=р)(ш, и=1, ΄— 1. Если вместо трех взаимно ортогональных единичных векторов е„, е„, е„направленных вдоль осей декартовой системы координат, ввести три вектора 1 е~ = — — (е„+ геа); еэ е„ е, = = (е„— юе„), (81,4) ! 2 покоящейся частицы к фотону неприменимо.
Тем не менее весьма удобно ввести понятие спинового момента фотона как наименьшего из возможных значений его момента количества движения. Как показывает опыт, наименьшее изменение момента системы, испускающей или поглощающей один фотон, равно 1 (в единицах В, которыми мы будем пользоваться далее в этом параграфе). Поэтому можно считать, что спин фотона равен 1. Если обозначить оператор спина фотона через Я, а оператор орбитального момента й, то оператор полного момента Х=Е+В.
(81,1) Собственные функции У~С операторов Р и У, называются векторными сферическими функциями. Векторные сферические функции, следовательно, удовлетворяют уравнениям Ма = г (Х + 1) Уи. .(81,2) У Уу~ = шУц Проекции оператора спинового момента частицы со спином Я = 1 можно записать в виде трех матриц Фотоны с ОпРеделенным моментом и четностью зтй в вн то спиновые волновые фУнкции фотона 'Хь„можно записать в виде Х,,=еь Хьо=еа Хь — ~ — — е н (81,5) В базисной системе векторов еь еь ем в которой определены операторы (81,3), функции (81,5) выражаются соответственно с помощью матриц 8()Я Векторы е„и спиновые функции Х~«удовлетворяют условиям ортонормируемости в виде ««' ««" 'ч«Х!«' 5««" (81,6) где е„'=( — 1)«е „.
Любой вектор $ можно представить в виде А= ~ А„е„= .Я ( — 1)" е „А„, «« тогда, используя (81,6), имеем А„= Ае„. (81,7) (81„8) Компоненты А «можно назвать сферическими компонентами вектора. Подставляя (81,4) в (81,8), легко найти связь между сферическими и декартовыми компонентами вектора А+1= ч — -- (Ав -— '- (АР) Ао = А .
! 1' 2 Оператор орбитального момента Т, коммутирует с операторами спина (81,3), поэтому, согласно правилу векторного сложения моментов ($41), векторные сферические функции можно образовать из линейных комбинаций спиновых функций Хь«и сферических функций уь,,„«(я), являющихся функциями Такое представление вектора удобно при исследовании изменения его при повороте системы координат и в ряде других приложений. Пользуясь (81,6) и (81,7), можно показать, что скалярное произведение двух векторов выражается через их сферические компоненты с помощью равенства АВ=,Я~ (-1)" А«В „. « ЗВО ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ !Гл. х единичного вектора и = ЩЯ, определяющего направление движения фотона.
Таким образом, Ул = Х (11.р, гп — !т! Улт) Хщуд „(и), (81,10) Р где (! 1.!т, т — !т~ Хт) — коэффициенты векторного сложения. Из (81,!О) следует У=1.+1, 1., !й — 11; т= РХ, ч (У вЂ” Ц, ..., (81,11 так как только при выполнении этих условий коэффициенты векторного сложения, отличны от нуля. При операции инверсии фУнкциа 1О„ менЯет знак, а фУнкциЯ Уы „ УмножаетсЯ на ( — 1)ь, поэтому векторная сферическая функция (81,10) соответствует состояниям с определенной четностью, равной ( 1)ем Векторные 'сферические функции (81,10) образуют полную ортонормированную систему функций — ° Ул. Утм йй=б бее бтл.
Каждому значению.( соответствуют три векторные сферические функции,.отличающиеся, согласно (81,11), значениями 1,: У,, (и), У, +ь (и), У, ь„,(п). Вспоминая правило, определяющее четность сферических волновых функций, можно показать, что четность Утх равна ( — 1)~+'; четности Улд+ь„, и Ух х ь равны ( — 1)~. Векторная сферическая функция У,,„ перпендикулярна вектору распространения и. Она соответствует полному моменту У и четности ( — 1) + и обычно называется поперечной векторной сгрерической функцией магнитного гила. Введем для нее обозначение Уь (и) =— Упт(п).
Векторные сферические функции магнитного типа выражаются через обычные сферические функции равенством (и) У ж (и) е У (и) у"т!т+ ц где К= — 'т ХЧО1= — Ми ХЧО). Рассмотрим далее вторую векторную сферическую функцию, перпендикулярную (81,13) и вектору распространения и. Такую функцию можно образовать следующим образом: Уе (п)= — !.[и К Ум (и)!. э з» аотоны с опэвдвлвнным момвнтом и чвтноотью зв! Подставляя в это выражение (8!,!3), мы убедимся, что функция Уг выражается через произв)оэдные от обычной сферической функции Ув (и)= ~ Ч,У (и). (81,14) 1 !Х+,) а .о Функция (81,14) определяет состояние фотона с моментом Х и четностью ( — 1)т.
Эту функцию называют поперечной векторной сферической функцией электрического типа. Учитывая равенство ЯЧоУ =(2Х+1) н(Х1/Х+1Улт+ь +(Х+1) )/ХУ.. ь ), мы убедимся, что векторная сферическая функция электрического типа является линейной комбинацией двух векторных сферических функций, соответствующих орбитальным моментам Х+1иХ вЂ” 1: Угс (п)=(2Х+ 1) ~*(3// Улт~ь,„(п) + )//+ 1 У..
ь (п)). (81,15) Таким образом, в состояниях, описываемых векторной сферической функцией электрического типа, орбитальный момент фотона не имеет определенного значения. Другими словами, в этих состояниях нельзя разделять полный момент на орбитальную и спнновую части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
