А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При низких температурах оператор Н' можно опустить, так как операторы Ь« имеют порядок малости Ф '. В этом можно убедиться, если учесть, что из (85,6) следует равенство ~~Р Ь Ь = Х'и и =Л' — и. «*» «» - а. Преобразуем гамильтониан (85,7) к аиду и~я(01 + ~ч)~~ Н (85,8) где Н»=а»(Ь»Ь»+Ь «Ь»)+у«(Ь Ъ «+Ь,Ь»). (85,9) с помощью канонического преобразования р~ (Й) = Ь«СЬ ф+ Ь~ «ВЬ ф> р«(Й) = Ь» ВЬ ф + Ь-» СЬ ф. (85,11) Оператор (85,9) совпадает с рассмотренным в $52 оператором (52,10), если в последнем положить а = р = г«», у = у» А = Ь», В = Ь м Следовательно, (85,9) приводится к диагональному виду Н«= 2Е,(й) + Е(Ь) ~1«+ (й) 1«, (й) + 1«+(Ь) 1«, (й)1 (85,10) )гл. х 400 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОБ При этом (й) ~ е(Й) + 2»(а)нот(а)~'й у ~5~= ',, 5|=(1 — И») '*, (85,12) Ф Ео(й) =О»(1)» — 1) Е(и).
Из (85,11) и (85,!2) следует, что ре(й) =)»1( — й), Е(й) = = Е( — й). Учитывая эти равенства и (85,10), преобразуем (85,8) к виду Н= + ~)~~ Ее(й) +,т Е(й) )е+(Й) )е, (Й). (%,13) Из (85,!3) следует, что малые возбужденные состояния системы атомов гелия (низкие температуры) можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений, которым соответствуют квазичастицы с энергией, зависящей от й согласно (85,12). Поскольку при малых возбуждениях пе = Ф, то (85,12) можно заменить приближенным выражением Е(й)=~ 4 + — у (й)~ - (85,14) При малых импульсах Е(й)=( — т(0)) й!й/(1+ ...).
(85,15) Скорость передачи элементарных возбуждений (групповйя скорость звуковых волн) поэтому (85,15) можно записать в виде Е(й) — ло )е!. Чтобы основное состояние, соответствующее Отсутствию квази- частиц, было устойчивым, необходимо, чтобы выполнялось неравенство ,„(()) ~ 1) т (р) е(зр ~ () В противном случае при малых й энергия была бы комплексной, что означало бы неустойчивость рассматриваемых возбужденных достояний. Указанное неравенство выполняется, если энергия $ ЗЗ) ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОП ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ взаимодеиетвия между атомами в основном положительна, т. е.
между атомами должны действовать отталкивательные силы. Из (85,!4) следует, что при больших импульсах энергия элементарных возбуждений зависит от импульса по закону Е(й) = — + —. йхйа )У» (Ц угл )у (85,16) Согласно (85,3), при возрастании й значение»(А) стремится к нулю, поэтому при больших импульсах энергия элементарнь1х возбуждений (квазичастицы) совпадает с кинетической энергией отдельных атомов. Зависимость энергии от импульса элементарных возбуждений (85,14) в системе бозонов, между которыми действуют слабые силы отталкивания, можно изобразить кривой, указанной на рис. 14. Спектр возбуждений л такого типа имеет ту особенность, что йе ППП вЂ” „= Ок, Ф 0 е (й) аяйх Е(А) =— е) Рассыотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной скоростью Если жидкость обладаег вязкостью, то вследствие трения о стенки в жидкости возникают элементарные возбуждения, т.
е. часть кинетической энергии движения частично переходит во внутреннюю энергию. Определим условия, при которых в жидкости могут возникать элементарные возбуждения (квази- частицы) с энергией Е(р) и импульсом р. В системе координат, покожцейся относительно капилляра, знергия этого возбуждения будет равна Е(Р)+ р». Если начальная кинетическая энергия была Ем а после возникновения аозбуждения Ез, то должно выполняться равенство Еа па+ и (Р) + Р».
Следовательно, условие торможения жидкости сводится к выполнению нера- венства Е (Р) + Р < О. (85,18) При заданном аначенин абсолютной величины импульса сумма, стоящая в левой части 'неравенства (88,18), имеет наименьшее значение, когда импульс р 85 1т\ Рас. Рь зависимость анергна ааемен( 7ъ тарных еоабумденнй ог импульса а снерхпронодящнх системах (спаоганая крннаях Штрнхояой линней показана Кан ПОКаЗаЛ ЛаНдау (751, СВЕРХ-. ааергняснободныхяастнц. текучее состояние движения жидкости может наблюдаться только при .скоростях течения и ( О„р е).
В случае идеального газа и элементарных возбуждений с энергией 402 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ЕОЗОНОВ 1гл. х (штриховая линия на рис. 14) значение о =ш(п — =О. Е(й) кР йй Поэтому явление сверхтекучести будет отсутствовать при любой сколь угодно малой скорости течения жидкости. Итак, явление сверхтекучести жидкого гелия при низких температурах определяется коллективными свойствамн системы взаимодействующих бозонов (атомы гелия), приводящими к спектру элементарных возбуждений Е(й), для которого ппп — ~ О. Е (й) йй направлен против скорости и.
Повтому для выполнения (85,18) необходимо осуществление неравенства Е(р) — рв(0, или в> —. Е (р) Р Итак, если зависимость энергии злементарного возбуждения от импульса Е такова, что га)и†= о„рчьО, то при скорости е ( оар неравенство (88,!8) Р не выполняется, и течение жидкости ие замедляется, т. е. будет обнаружи- Е ваться явление сверхтекучести. Если гп1п — О„то при течении жидкости с любой сколь угодно малой скоростью в жидкости могут возникать злементарные возбуждения.
ГЛАВА Х! ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ФЕРМИОНОВ й 66. Представление чисел заполнения для систем невзаимодействующих фермионов В главе Х мы познакомились с описанием состояний квантовых систем, состоящих из одинаковых бозонов в представлении чисел заполнения. В представлении чисел заполнения автоматически учитывается свойство тождественности частиц и требуемая симметрия волновой функции относительно перестановок частиц.
В этой главе будут исследованы системы, состоящие из одинаковых фермионов. Как было показано в $ 72, состояния систем, состоящих из одинаковых фермионов, определяются функциями, антисимметрнчными относительно перестановки любых 'двух фермионов. В связи с этим для систем, в которых приближенно можно говорить о состояниях отдельных фермнонов, справедлив принцип Паули, согласно которому в каждом одночастичном состоянии не может находиться больше одного фермиона. Исследование системы одинаков>2х фермионов мы начнем с простейшего случая системы, содержащей А> невзанмодействующих фермионов малой энергии, когда еще не происходит образование античастиц.
Предположим, что состояние движения отдельного фермиона в некотором внешнем поле, порождаемом другими частицами (например, атомными ядрами в атомах и молекулах), определяется оператором Гамильтона О($), где $ — совокупность пространственных и спиновых переменных. Пусть з. и >р~(в) — соответственно собственные значения и собственные функции оператора О(в). Индекс з характеризует все квантовые числа, определяющие одночастичное состояние. Полный гамнльтониан в координатном представлении Волновая функция в том же представлении является антисимметричной функцией 2р(в>, ..., 5>2), зависящей от 4А! переменных; $! — совокупность пространственных и спиновых переменных 2-й частицы.
404 ВтОРичное кВАнтОВАние систем из ФеРмиОБОВ 1гл, х! Б представлении чисел заполнения состояние системы определяется указанием числа частиц в каждом одночастичном состоянии. Пусть оператор числа частиц в состоянии з имеет внд й, = а'~а,. (86, 1) Чтобы оператор (86,1) описывал, состояния системы фермионов, он должен в согласии с принципом Паули иметь только два собственных значения 0 и 1. Следовательно, в представлении чисел заполнения эрмитовый оператор й, изображается диагональной матрицей ' ' 0 1 ° (86,2) Напомним,.что оператор числа частиц в системе бозонов изобра- жался диагональной бесконечной матрицей (32,12). Две соб- ственные функции оператора (86,2), относящиеся соответственно к собственным значениям 0 и 1, имеют вид )0)= и (1)= (86,3) Предположим,' что оператор а, является оператором уменьшения числа частиц в состоянии з на единицу; тогда по определению а,~О) = 0 и а,~1) =! 0).
(86,4) Следовательно, в представлении, в котором оператор й. диагонален, оператор а, изображается неэрмитовой матрицей а.= О О (86,6) Оператор (86,6) (86,7) эрмитово сопряженный оператору а., обладает тем свойством, что а1'~ О) = ~ 1) . и а~~ ~ 1) = О, из чего следует, что оператор ат увеличивает на единицу число частиц в состоянии з, если в этом состоянии нет частиц, и обра- щает в нуль функцию, соответствующую состоянию з с одной частицей. Из определений (86,5) и' (86,6) следуют перестановоч- ные соотношения для введенных операторов, которые мы будем называть ферми-операторами, (а,, а,)=(а~, а )=О, (а,, аД=1, $ !В! ПРЕДСтАвленИЕ чисЕЛ зАпОЛнЕНИя Для сист'ем ФЕРМИОНОЗ 4ОЗ где фигурные скобки используются для обозначения антиком- мутатора двух операторов, т.
е. (а, р) з— м ар+ йа. Порядок расположения операторов в антикоммутаторе безразличен, (а, 6) = (6, а), поэтому действие операторов а, и а~ может быть обращено. Если ввссти ! 0)=( / и ! 1)=~ =~1/ -~01' то а, будет Оператором рождения, а~ — оператором. уничтожения. Мы будем придерживаться определений (86,3) — (86,6). Операторы а, и а~ определяются матрицами (86,6) и (86,6) не полностью.
Необходимо еще указать связь этих операторов с операторами а,, и а~, для других состояний. Будем считать, по аналогии со случаем частиц Бозе, что соотношения типа '(а„а!) = 0 выполняются для всех операторов, кроме операторов а, н аь (для каждого состояния з), для которых (а,, аД= 1. Другими словами, потребуем, чтобы операторы аь а„, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
