А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 71
Текст из файла (страница 71)
удовлетворяли соотношениям ~ам а1)=(а'~, а1т!1='О, (а, а~~ =б (86,8) а =( — 1)' ~ /. ат=( — 1)"'~ . (86,9) ~О О/' ~1 О/' з-1 где ч,= ~2~ п! — число занятых состояний, предшествующих со- 1 1 стоянию ж Следовательно, знаковый множитель ( — 1)' равен 1 или — 1, в зависимости от тпго, четно или нечетно число занятых состояний, предшествующих ж Действце Операторов а, и а~ на волновые функции (... и, ...), Зависящие ОФ числа частиц в каждом одночастичном состоянии, характеризуется равенствами а,~... п,...) = (-1)" п,(... 1 — п, ...), (86,10) а+ ~ ... п,...) = (- 1)" (1 — п,) ~...
1 — и, ...). Как мы увидим ниже (впервые это показано Иорданом и Вигиером (77)), такие перестаиовочные соотношения приводят к правильному описанию системы фермионов. Если перенумеровать одночастичные состояния в какам-либо порядке и обозначить через п,— число частиц в состоянии з, равное О, или 1. то операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (86,8), можно записать в виде следующих матриц (в представлении, где оператор и; днагонален): 406 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ !ГЛ, Х! Используя (86,10), можно показать, что перестановочные соотношения (86,8) выполняются. Действительно, учитывая, что пз п, и (1 — и )В = =(1 — пз), имеем а,а,(...п ...)=(1 — п))...п ...), аа(...п ...)=п,(...п ...), аза,(...
и, ...)=и,(! — п,)(...п„...) О, азиз(... и, ...) О. Используя полученные равенства, легко убедиться в справедливости (868) при з = 1. Рассыотрим теперь случай з > 1, Тогда аа(...п ...п ...)=( — 1)зпа1...п ...1 — п ...) т.+т ( — 1)з гпп!...1 — и ...1 — п азаг!... и ... и,...) =( — 1) !па,(...
! — п ... и ...)= т+я — ! ( — 1)з ! пп!...1 — и ...1 — и...). ! ''' ! ''' Следовательно, а!а, 1 ... и!... и, ,) = — азаг1 ... и!... и,...). Таким же образоы можно доказать остальйые перестановочные соотношения (86,8). Из равенств (86,10) следует, что результат действия ферми- операторов а, и ат на волновые функции от чисел заполнения зависит не только от числа п, частиц В состоянии з, но и от чисел заполнения всех предшествующих состояний.
Позтому операторы а! и а. нельзя считать полностью независимыми. Если (НЦ) — е,)!р, = 0 — уравнение, определяющее Одночастичные состояния, то полный оператор Гамильтона системы невзанмодействующих фермионов можно записать в виде Н=~Ф'а)НВ)Ч'а) В. (86,11) Здесь н в дальнейшем интегрирование по $ включает суммиро- вание по спиновым переменным. Операторы поля в представле- нии чисел заполнения выражаются через операторы аа равен- ством Ч'($, 1)= ~~'а,<р,(5)а "', ш,= й .
(86,12) Используя (86,8), ортонормируемость и полноту системы функций гр„можно показать, что операторы поля в фиксированный момент времени 1, которое явно не указывается, удовлетворяют перестановочным соотношениям (Ч' (Е')* Ч" (0)) = Х Р, (й) Р; (й),(а„ ат) = й й' — и, (ч (Ь), ч (и)=РР'а). Ф'а)]=о. Здесь и в дальнейшем 6(е' — $) = йоо 6(«' — «), где 6 — спиновая переменная.
Подставляя (86,12) в (86,11), можно найти $ ЗЩ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМНОНОВ 4ОТ оператор Гамильтона системы фермионов в представлении чисел заполнения Н= Хз,а",а,= ~з,д,. Энергии е, н Волновые функции д, могут относиться к Одноэлектронным состояниям в атомах, молекулах и твердых телах, когда не учитывается взаимодействие между электронами, или когда взаимодействие учитывается приближенно путем введения дополнительного эффективного поля. Операторы суммарного числа частиц в системе и плотности р(5) числа частиц в точке $ определяются интегралами У=~Ч'а РВ) (В, р(и=~ Р'а)б(а — Ю Ра')а'. Подставляя в эти выражения (86,12), находим их вид в предстявленин чисел заполнения Й= Ха~~а, р(5) = ~2~ а'~а щ'(В) (~,($). 8 яв' Оператор Ж коммутирует с оператором Гамильтона Н, поэтому число частиц в системе является интегралом движения.
В системе с 1У стабильными фермионами (электронами, протонами н т, д.) их общее число имеет определенное значение (мы не рассматриваем взаимодействие данной системы с частицами большой энергии). Следовательно, волновые функции, описывающие состояния такой системы, должны быть собст'венными функциями оператора суммарного числа частиц, соответствующими собственному значению 1У, т.
е. должно выполняться ра- венство 1У=) Ч" В)Ч'6) Ф (86,13) для всех состояний рассматриваемой системы. Операторы любых других физических величин системы фермнонов получаются из операторов координатного представления по следующим правилам: если оператор Р в координатном представлении изображается суммой операторов Р(з), действующих на координаты каждого электрона в отдельности, то этот оператор в представлении вторичного квантования имеет вид Р= ~ Ч" 6)Р(0Ч" й) Ъ. Подставляя далее в это выражение значение Чг(В) из (86,12), находим оператор Р в представлении чисел заполнения Р = ~ аеа, (з ~ Р ~ 1), (86,14) 408 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ.
ХМ Где (з(рй=- ) Ч,'(Юр(е)й~(ЮСЪ вЂ” матричные элементы оператора координатного представления; ~р~(8) — собственные функции оператора Н(8). Если оператор 8 в координатном представлении выражается суммой 8= Х 8(тЛ ",) ~<ч <т «" ° т <и операторов, действующих на координаты р-фермионов, то этот оператор в представлении чисел заполнения имеет вид '8 = — ~ атат ... ат а, .; . а, (з,з ... з ~ 8 ~ з' ... з',), р Зр р1 где (ЕРВ ' р~~~зр''' ~~)= = ) Ч,*, (В ) " У.* (В,) а (Б, " Е,) Р; (В,) " Ч, (В,) с й, " г(В,.
Итак, в системе фермионов операторы физических величин выражаются через ферми-операторы увеличения а, и уменьшения т а, числа частиц в одночастичных состояниях з такими же формулами, как в системах бозонов Операторы физических величин выражались через бозе-операторы б+ и й (см, (86,14), (86,!5)). Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому типу фермионов сопоставляется свой оператор Ф и свои операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа заполнения фермионов данного сорта.
Операторы Ф, относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов. Основное состояние системы Й' невзаимодействующих одинаковых фермионов соответствует состоянию, при котором л1 состояний зь зм ..., зн наименьшей энергии заполнены электронами, а остальные состоянйя свободны. Наибольшая энергия зр уровней, занятых в основном состоянии, называется энергией Ферми.
Основное состояние системы будет соответствовать состоянию, прн котором все уровни з с энергией з, ~ ер заполнены фермионами, а уровни с энергией е,) ер свободны. Волновая функция основного состояния с точностью до знакового множителя определяется выражением Фо= П а~10), (86,15) р(<р1 $86) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 4зз где в произведении участвуют все состояния з с энергией е,~зе, 10) — волновая функция состояния, в котором нег частиц ни на одном уровне. Очевидно, что функция (86,15) удовлетворяет условию (86,16) где )ч' — общее число фермионов. Сумма ~ здесь и в даль»«ю нейшем обозначает суммирование по всем состояниям с энергией а,~ зе.
Полная энергия системы фсрмионов в основном состоянии (нулевая энергия) определяется равенством Е =(Ф ~ ~ а~а,а,1Ф)= ~ е,. '.«Р1 ' '' ' .«й' (86,17) ~Р а „~,= а~,, если а,(з„. (86,18) Состояние слабо возбужденных систем, состоящих из большого числа фермионов, мало отличается от состояния ФФ Изменение начального состояния сводится к освобождению некото-' рых уровней с энергией а. ( Зе и заполнению соответствующего числа уровней с энергией з,) ае. Состояния остальных фермионов остаются при этом неизменными. Поэтому слабо возбужденные состояния системы неззаимодействующих фермионов можно характеризовать указанием состояний частиц с энергией е. ) Зе и освободившихся состояний †«дырок» при е, ( егн Такое описание системы одинаковых фермионов называют «дырочным-представлением».
В дырочном представлении состояние Фе (86,15) называют «вакуумным состоянием». Вакуумное состояние обладает нулевой энергией й» (86,17), от которой можно отсчитывать энергию возбуждения. Возбуждение системы соответствует рождению пары частиц — частицы в состоянии з (е, > ее) и «дырки» в состоянии з'(з,,~~а„).Другие состояния возбуждения характеризуются рождением нескольких пар частиц. Переход системы из состояний большей энергии в состояния меньшей энергии соответствует «аннигиляции» пар. Чтобы описать такие процессы, введем наряду с ферми-операторами ат, а, (при е, ) з ) новые операторы бт, р, (з,(~е„)рождения и уничтожения «дырок» в состоянии з.
Пусть состояние з характеризуется импульсом р и проекцией спина О, тогда уничтожение частицы в состоянии з эквивалентно рождению дырки в состоянии — р, — О, которые мы будем кратко обозначать « — з». Следовательно, операторы рождения н уничтожения дырок связаны с операторами частиц соотношениями ао вто»ичнов квантование систем из ев мионов (гл. х) Естественно, что операторы р, и р~ удовлетворяют перестано.
вочным соотношениям <й, й))=б.( антикоммутаторы между другими комбинациями операторов р. и между операторами р, и операторами а, равны нулю. Вакуумное состояние в дырочном представлении определяется условиями а,Ф« = О (если а, > ар); р,Ф« — — О (если е, ер).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
