А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Явный вид этой функции нам далее не потребуется, й — волновой вектор. Электронная волновая функция всего металла, содержащего Ж электронов проводимости в объеме У, является антисимметризованным произведением У функций (88,1). Основное состояние соответствует заполнению электронами нижайших блоховских состояний, т. е. заполнению ростояний„лежащих в области й-пространства внутри поверхности Ферми. Будем предполагать.
что эта поверхность лежит далеко от границы зоны и изотропна, т. е. представляет собой сферу радиуса йь При возбуждении электроны из состояний Й ( Аз переходят в состояния А > Ам Если еэ — энергия состояния электрона с квазннмпульсом лй, то в представлении вторичного квантования оператор Гамильтона системы электронов (с точностью до постоянного слагаемого) имеет вид 422 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ Из ФЕРМИОНОВ [ГЛ, ХТ, ~ $„(т'„)г'(г — и)); Следовательно, в представлении вторичного и квантования оператор электрон-фононного взаимодействия мож- но написать в виде Н, = ~ Ф (г) ~~) $„(Р„Ю (г — и)) Чг (г) г(г = и = — ~ Ф (г) ~ (Р (г — и)(Чали) Ч'(г) е(з», (88,3~ и где Ч" — оператор, выражающийся через ферми-операторы а„ и блоховские функции (88,1) с помощью равенства Ф = = '~ ае,еы'и„(г) т .
(88,4~ уу Аи Оператор смещения ионов $„определен (82,16), следовательно, (Р„их„) Ч~~~ 1.~/ ~~~~ (6 ежи — 6тче ци), где 6, 6т — бозе-операторы; е — скорость продольных звуковых волн, соответствующих волновому вектору д, так как только продольные волны дают вклад в (88,5) и для них ы(д) = ее. Подставляя (88,4) и (88,5) в (88,3) и учитывая, что сумма Х ехр (Щи) равна 1Ч, если 9 = О, и равна нулю, если 9 Ф О„ получаем окончательное выражение операторов электрон-фонон- ного взаимодействия в представлении чисел заполнения Н =~ Н, Н =10(д)й 5" +э.с., (88,62 еи (88,5~ ГДЕ р'"= Х ат иа„ А (88,7у — сокращенное обозначение сумм произведений ферми-опера- торов; В(е) = ~/ ~ и'„У~и ТРà — малая величина, определяющая электрон-фононное взаимаи действие.
Интегрирование ведется по одной элементарной ячейке. Буквами «э. С.» в (88,6) и в последующих выражениях указываются члены, эрмитово сопряженные ко всем предыдущим. Оператор взаимодействия (88,6) не зависит от спииового состояния электронов, поэтому в дальнейшем мы не будем явно учитывать спиновый индекс о во всех выражениях. ч ев] взлимодвнствив элвктгонов с девонами мвталла %за Оператор (88,6) получен в предположении, что ионы м)ггйе щетке движутся как единое целое, что Х>(д) зависит только а, д н не зависит от А и что колебания ионов в решетке делятсф„Ьа продольные н поперечные для всех значений д, поэтому вза очо действие (88,6) осуществляется только с продольными ф1зт)~о.
нами. Без этих упрощений вычисления сильно усложняют чя, Такое усложнение оправдывается только при,.необходимость чо. лучить количественные результаты. Вследствие взаимодействия электронов с фононами меня~ ~я энергетические состояния электронов и фононов.
Нас будет()ф тересовать только поведение электронов. Изменение си<я и ва фононов под влиянием электронов будет учитываться только вчс пенно путем использования экспериментального значения 'ч~я скорости звука з. Я) Итак, система электронов, взаимодействующих с фонон~ 'Чн, будет описываться оператором Гамильтона Н' Н, + Наи Н,= Х а„агза„+ Х йм Й~~д~. С 8) Нзз — определяется формулой (88,6).
и Для оценки роли электрон-фононного взаимодействия т~~о ведем предложенное Фрелихом [82[ преобразование оперэт йа (88,8), чтобы исключить возможно большую часть оперэ йа взаимодействия. Преобразованный гамильтониан имеет вигз Н= е 'зНез= Н'+1[Н', Я вЂ” — [[Н', Я, Я + ...,9) ( гв Оператор преобразования, содержащий малое взаимодейс" 11е, выбирается в виде 5=8 = Х 5~, 5 =у да+у"З~, (8 10) где у = Х Ф(Й, д)атза„ (В '[ 1) Функции Ф(й,д) связаны с взаимодействием. Их явный вид) чу дет определен ниже.
Подставляя (88,8) и (88,10) в (88,9), находим, учит1 чя (88,6) и собирая члены одинакового порядка малости, Н=Н + ~~)~~(1[Н М+ Н )+ + ( ~~~(-'[Нь Яч[+ Нт) ° Ят~+ ° ° ° (Зг ч2) Оператор (88,12) легко вычисляется, если учесть, что фе~ ~~и. опеРатоРы а„, азт коммУтиРУют с бозе-опеРатоРаыи ач н го 424 ВТОРИЧНОВ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ, Х! (88,13) 2 [Нм Я+ Н»= 2 ~~0(ф)д~а~~а~ «+ з. о.
Следовательно, Н-— = 1,),[Ц(Н, 3)+ Н,1. Б,1= — 2 ~~~ Я(дай ата„ч, У аД вЂ” й' (д) [й а~» а, У а [+ з. с.[. 1 Фь Усредняя полученное выражение по вакуумному состоянию фо. ионов, находим, используя значения (88,14) и (88,15), Проведенные преобразования имеют смысл только при уело. вин, что функции (88,15) являются малыми, так как в против. ном случае ряд (88,9) не будет сходиться. Таким образом, наше преобразование можно применить только для' части Н„,.
не содержащей значений и, при которых знаменатель (88,15) бли. из свойств ферми-операторов следует равенство [а+оп а+ а„)= б, ата„— б„„а~ ас Используя (88,11) и (88,13), вычислим предварительно коммутаторы [а+а„, у [=Ф(1щ) а~~а„~ — Ф(й+ д, и) ат~ а„; [д~тд~, а [= — а . Используя найденные соотношения, вычислим в (88,12) члены, линейные Относительно знергии взаимодействия: 1(НМ Ят]+ Нт —— = 1~ ~ („— е„+ ла ) Ф (йд) + О (д) )(а ата„ч+ з. а. (88,14) Выберем функции Ф(й, д) так, чтобы все выражения (88,14) обращались в нуль, т.
е. положим (88,15) При значении (88,15) находим О Ог) ВЗАНМОДЕИСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОНОНАМИ МЕТАЛЛА огв зок к нулю. Если обозначить часть Н, соответствующую таким значениям и, через Н~7, то оператор Гамильтона электронов металла (с точностью до квадрата параметра взаимодействия) в вакуумном состоянии относительно фононов (низкие температуры) принимает вид Н = ~)~~ а ага — ~' " " о а о " о + Н~',~. (88,17) ~-ай) 1гг(ч))ге+а аг а АФ а а а (еа — е, )г (Ва)г Второе слагаемое в (88,17) можно интерпретировать как энергию взаимодействия между электронами, обусловленную виртуальным обменом фононами. При этом каждое слагаемое в сумме соответствует взаимодействию между электронами, имеющими квазиимпульсы йй и йй'= й(й — д).
Это взаимодействие соответствует притяжению, если еа-о — еа( ваго. Поскольку еа= е а, то для электронов, имеющйх противоположно направленные импульсы, т. е. при й'= й — д = — й, знаменатель в слагаемых суммы (38,17) принимает значение, равное ого . Если в операторе (88,17) выделить члены с й — и = — й, то получим оператор Н= Х е аага — Х т(у) агап аагааа, (88,18) где т(д)= 1-+ — > О, и=2й~О. Переходя в операторе (88,18) к новым ферми-операторам с помощью канонического преобразования Боголюбова па= иаАао+ оаАан 1 (88,19) а а=иаАА1 — оаАао, ~ где и'„+его=1, сведем задачу к уже рассмотренной в 5 87. Как было показано в 9 87, при достаточно большой величине ч(д) в спектре возбужденных состояний электронов появляется энергетическая щель О.
Возбужденные токовые состояния становятся устойчивыми и соответствуют сверхпроводящему состоянию. Для их уничтожения надо затратить энергию, которая выделяется при переходе электронов в сильно коррелированные состояния движения, приводящие к их «спариванию». При мазом электрическом токе любой процесс одночастичного рассеяния электронов (разрыв пары) связан с увеличением (а не уменьшением) энергии системы электронов, несмотря на то, что энергия токового состояния больше энергии основного состояния.
Процесс рассеяния будет запрещен до тех пор, пока добавочная энергия электронов, связанная с появлением тока, будет 426 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ ИГЛ, ХТ меньше энергетической щели. Если р — средний импульс электрона в токовом состоянии, то прн возникновении тока измене- В2И ние энергии электрона е(й)= — по абсолютной величине 2м будет равно ~р В ~ = — . Поскольку й = йм то сверхпроводе(А) ! рва димость должна наблюдаться при — < Л. Рлео Сверхпроводящее состояние возникает только в таких металлах, для которых энергия электрон-фононного взаимодействия достаточно велика. С другой стороны, чем больше электрон-фононное взаимодействие, тем больше сопротивление металла В нормальном состоянии, так как при этом велика вероятность рассеяния электронов с испусканием н поглощением фононов. Этим качественно объясняется известный факт, что хорошие проводники (серебро, медь, золото) не переходят в сверхпроводящее состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
