А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Таким образом, при ( ) т система будет находиться в состоянии с волновой функцией Ф„„= Х ап (т) Ф( ехр ( — (Е!Ий). (90,3) При этом вероятность того, что система находится в некотором стационарном состоянии с энергией Еь будет определяться квадратом модуля коэффициента ад(г). Следовательно, вели- чина 4 Яе) овшвв выгхжвнив для ввроятности периколя 433 Следовательно, частоты Игг учитывают смещение энергетических уровней под действием возмущения. В частном случае, когда (Е(М'(Е) ие зависят от вреЫее ее+(Пих(1) — (ее+(е(аг!е)). Из (907) следует, что (аг(Е) (т = (Аг(Е) (а, поэтому амплитуды Ае(Е) дают те же вероятности переходов, что и амплитуды а (Е). Для вычисления вероятности перехода надо решить систему уравнений (90,5) при начальном условии аЕ(0) =йЕе.
(90,8) Если матричные элементы (90,6) малы и время действия возмущения т не очень велико,.так что за время действия возмущения значения коэффициентов аЕ(т) мало изменяются относительно их начальных значений, то систему уравнений (90,5) можно решать методом последовательных приближений. В "первом приближении для определения ае(Е) можно в правую часть (90,5) подставить начальные значения (90,8), тогда получим систему уравнений для Е чь 1 г(аЕе' .И вЂ „ = (1( ((г (Е) ] 1) ехр (ио(е().
Решая эти уравнения с начальными условиями (90,8), находим с аее)е(Е)= .й ~ (е(%'(Е') (1)ехр(его(е() се('. (90,9) е Подставляя это значение в правую часть (90,5), находим уравнение с точностью до второго порядка Ео(2) (Ь вЂ” ~ — = ()( $Г (Е) ) Е) ехр((ге(еЕ) + + —,„~)~~~ (Е'(Я7Ц')е ЕЕ' ~ Ц'Е((7(Р')(1)е Е' Ф'.
Е'(Е' г.в о Решение этого уравнения можно записать в виде. Е аГее)Я= —. ~ (е е ((7(Е') е() е Е' с(1'+ е с (-( ~„) ~~~~ ~ (1(((7(Е') У')е ЕЕ'. ~ (1']Му((в)(1)е Е' с((вс(Е'. Е'тЕ' чь Л 0 (90,10) Подставляя это значение снова в уравнение (90,5), можно найти решение с точностью до третьего порядка. 436 пв входы под влияниям внвшнвго возмэшвния [гл. хп движения практически не изменяется из-за взаимодействия с атомом. Следовательно, можно допустить, что частица движется с постоянной скоростью о.
Пусть центр системы координат совпадает с центром атома, а ось х направлена вдоль направления движения частицы, тогда ее положение к моменту 1 можно определить радиусом-вектором 1с = (ог, Р, О), где Р— расстояние наибольшего сближения, достигаемое к моменту 1= О. Если положение электрона в атоме определяется радиусом-вектором г = (х, у, а), то оператор взаимодействия между электроном и пролетающей заряженной частицей можно записать в виде хв' хв гз' (хм+ вв) + 1М вЂ” т! г йз где Я )'(И)'+ Р'. При х и у « 1г в (91,1) достаточно рассмотреть только два первых слагаемых. Первое слагаемое не содержит координат электрона, поэтому матричный элемент, входящий в (90,14), будет определяться, выражением (и! В'(1) !т) — — з(хюиао8+ Ру„,), (91,2) где х = ~ <р„"х<~ п$„у„= ~ ~р„у~р Щ, гф=дхНу На; ЮО 2 29 х а ! хпты+ пуля 1а„ Н г)'+ вЧ'* (91,3) Подынтегральное выражение в (91,3) убывает быстро с изменением расстояния.
Поэтому взаимодействие существенно только в области, соответствующей наибольшему сближению. Следовательно, можно считать, что эффективное время столкновения определяется величиной Р!и. Столкновение называется адиабатичегкил, если эффективное время столкновения значительно больше периода а„', характеризующего квантовую систему, т. е. при выполнении неравенства ~птР )~ 1. (91,4) При выполнении неравенства (91,4) подынтегральное выражение в (91,3) многократно осциллирует за время эффективного 4~„, чь — волновые функции стационарных состояний электрона в атоме.
Подставляя (91,2) в формулу (90,14) и раздвигая пределы интегрирования до — со и со, получим формулу, определяющую вероятность перехода электрона атома из состояния т в состояние хс эм[ возвэждвнив хтомл пголвтхющви тяжвлои члстипьи 4зт столкновения и значение интеграла близко к нулю.
Следовательно, адиабатические столкновения не сопровождаются возбуждениями атома., Если выполняется неравенство в„0<:1, (91,5) то за время эффективного столкновения ехр([в 1) 1 и интеграл, входящий в (91,3), легко вычисляется. Полагая о1Р-' = = [п 9, находим хам + нуим ( Вупт Ф 2упт [[ы)~+ Ю[ь [ [[эФ)~+ 021 ь оВ Таким образом, при выполнении неравенства (91,5) вероятность. перехода атома из состояния гл в состояние и под влиянием взаимодействия с частицей заряда Уе, пролетающей на расстоянии Р от центра атома, будет равна 4Х е~[у„в[2 ~-(0)= вю'' если Р ) а., где а — радиус атома. Если в единицу времени через единицу площади проходит [т' заряженных частиц, то вероятность возбуждения атома в единицу времени будет определяться выражением -1 ~еле Р =14 ~ 2п033„„,(0)йР= в., [ у„~ [~[п ( — ) ° (91,6Г о Из полученного выражения следует, что вероятность возбуждения атома увеличивается при уменьшении скорости частицы до тех пор, пока и/в не сделается равным а.
При дальнейшем уменьшении скорости, когда ав„~ о, (91,7) формула (91,6) перестает быть справедливой (не выполняется неравенство (91,5)). Однако, поскольку Р > а, то прн условии (91,7) адиабатическое неравенство (91,4) выполняется для всех значений Р и возбуждение атома пролетающей частицей делается маловероятным. Максимальная вероятность возбуждения соответствует скорости частицы о = ав„. Для высоких возбужденных состояний атома справедливо квазиклассическое приближение.
В этом случае в„соответствует круговой частоте вращения электрона вокруг ядра., 4ЗВ пвэвходы под влияниям внишивго возмэщиния 1гл. хп 5 92. Адиабатическое и внезапное включение и выключение взаимодействия В предыдущем параграфе было показано, что если скорость заряженной частицы столь мала, что выполняется адиабатическое условие ав„)) о, (92,1) то частица не -может вызвать квантовых переходов, соответствующих частоте в„. Величина а/о характеризует время пролета частицей атомной системы. Величина в ' характеризует период колебаний в атомной системе. Таким образом, адиабатическое условие соответствует большому отношению времени пролета (времени изменения взаимодействия) к периоду колебаний в атомной системе.
В рассмотренном примере скорость изменения взаимодействия (его включение и выключение) определялась скоростью пролетающей частицы. В общем же случае изменение взаимодействия может происходить по произвольному закону. Рассмотрим два предельных случая: а) Лдиабатическое изменение взаимодействия. В этом случае изменение энергии взаимодействия за время одного периода колебаний в атомной системе мало яо сравнению с абсолютной величиной разности энергии соответствующих состояний ~в„' — „г (и(%" (1)(т)~ ~ йв„. (92,2) Следовательно, при выполнении квазиклассического приближения максимальная вероятность возбуждения соответствует слу.чаю, когда скорость частицы совпадает со скоростью движения электрона в атоме.
ХоФя при выполнении адиабатического условия (91,4) не происходит квантовых переходов в атоме, пролетающая частица вызывает в атоме возмущение (при больших Е это возмущение может быть большим), которое строго коррелировано.с движевием этой частицы и исчезает при удалении частицы. Такого рода взаимодействия носят название адиабатических взаимодействии.
Адиабатические взаимодействия не приводят к квантовым переходам в состояниях с дискретным спектром. Чем больше абсолютная величина разности энергий уровня Е и ближайших уровней Е„, тем лучше выполняется условие адиабатичности для начального состояния т. Для состояний непрерывного спектра адиабатическое условие (91,4) никогда не выполняется, так квк разность энергий между соседними уровнями ń— Е бесконечно мала. э эх ВКЛЮЧЕНИЕ И ВЫКЛЮЧЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 439 б) Внезапное изменение взаимодействия. В этом случае к некоторый момент времени, например при включении взаимодействия, выполняется неравенство ~ в ' — (и ! Ф'(1)! т) ~ ~ йв„.
(92,3) При исследовании этих предельных случаев удобно преобразовать выражение (90,14), используя равенство о е ~пт — (п ~ ф" (1) ~ пг) ٠— (и ~ ф' (1) ] гп) е ~от~ .1о — 1в„~ (и! 1г'(1) ~гп) е'"" 'Ж. (92,4) о Подставляя (92,4) в (90,14) и учитывая, что значение на границах интегрирования равно нулю, получаем г Йй„т(т)= — ~ е'"т ' е (п~Ф'(1)!пг)д1 .
(92,5) йм Если выполняется неравенство (92,2), то за время изменения знака функции ехр(1в„„,1) множитель, стоящий перед этой функцией, меняется мало и можно его вынести из-под знака интеграла. Тогда интегрированию легко выполняется, и для вероятности перехода находим хйтт(т)= г г ~ Ег (В~В'(1) ~иг)~ Згн ( 9 ) ° ~ ~тт Учитывая (92,2), получаем неравенство хй„т « 1. Другими словами, при достаточно медленном, в смысле выполнения неравенства (92,2), включении и выключении взаимодействия квантовая система, находившаяся до включения взаимодействия в.
невырожденном состоянии гп, останется в том же состоянии после выключения взаимодействия. Если включение возмущения происходит внезапно, т. е. Изменяется от 0 до )Р' «мгновенно» (в течение времени И, малого по сравнению с периодом в '), а затем изменяется адиабатически и выключается адиабатически, то вклад в интеграл (92,5) будет осуществляться только за время включения взаимодействия. За это время множитель ехр((гг 1) по условию изменяется мало и его можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл сразу вычисляется, и мы получаем для вероятности перехода простое выражение =1(п~)Р ~ш>~ (Л „.)-', (92,6) 440 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНВШНВГО ВОЗЬПЧЦЕНИЯ [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
