А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Оператор Н, содержит произведения четырех новых ферми-операторов. Для возбужденных состояний малой энергии порядок величины Н2 значительно меньше остальных членов, поэтому Н2 можно опустить. . До сих пор вещественные функции ио и оо канонического преобразования были произвольными при условии выполнения равенства (87,12). Выберем теперь эти функции таким образом, 4!6 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. Х! чтобы обратить в нуль оператор (87,!8). Для этого достаточно потребовать, чтобы' выполнялось равенство 2е (й) и»в» — — — (и~ — От) ~~)~~ т„,и„,в»,. (87, 17) Легко убедиться, что (87,17) является одновременно условием минимума энергии основного состояния (87,14) при дополнительном равенстве (87,12).
Введем обозначение к~ Д» — у 74 и»'О» Т»»'Э тогда из (87,17) и (87,12) можно выразить и» и О» через е(й) и Д»'. и»= — 1+ 1 »(а) 1 1 Г»(а) ) ОЭ Мд,'+~(а) ) ' " ' ~ )~д',+ "(а) (87,19) Подставив полученные выражения в (87,17), находим уравнение, определяющее величину Д», АХ а (87,20) Ь» +»~(» ) Таким образом, вследствие взаимодействия между фермионами спектр элементарных возбуждений определяется величиной Е(й)= Уе (й)+Д»а. (87,22) Каждому значению импульса Ьй соответствуют два типа элементарных возбуждений системы фермионов, характеризуемые собственными функциями новых операторов чисел заполнения А»»А»о(п»о) = п»э~п»о) и А»1А»1)п»1) = пы ~пи). СостоЯниЯ (п»э) н (а»~) имеют соответственно энеРгии Е(й)п»э и Е(й)п»ь Уравнение (87,20) имеет сложный вид.
Значение Д» зависит от спектра энергий з» одночастичных состояний без взаимодействия, отсчитанных относительно химического потенциала ц и функций т»м, определяемых силами взаимодействия между двумя фермионами. Подставляя значения (87,18) н (87,19) в (87,15), можно преобразовать диагональную часть оператора Гамильтона к виду В Х ТРЩ~Я (А А .~ А[А ) (872Ч а«л евгмионы, взаимодвиствтющив па»ными силами «17 Изменение одночастичного спектра, т.
е. разность е(Й)— — Е(Й), определяется величиной Ьа, которая является корнем уравнения (87,20). Перейдем к исследованию этого уравнения. Прежде всего легко видеть, что уравнение (87,20) имеет тривиальное решение: Ьа = О, нли иаоа = О. Выберем это решение и виде лаа2 если е(Й)= — — р ) 0; ~ (87,23) если е (Й) = — — р < О. ! 2т иа= 1, оа=О, па=О, оа=1„ Чтобы определить физический смысл полученных решений, рас- смотрим каноническое преобразование, обратное (87,1Ц: А»а= иааач — оаа а т А , = иаа „ , + оааа, . т (87,24) При значениях (87,23) вне сферы Ферми (е(Й) 0) операторы Ааа=аач„Ам=а а, ч, уничтожают фермионы соответственно определяющим максимальный импульс р» = айо сферы Ферми.
(е(Й) ( 0) эти опеРатоРы Равны А, =- — а»а .. Аа, =а»а, следовательно, они соответствуют рождению фермионов, или уничтожению «дырок» в состояниях ( — Й, — '(а) и (Й'7»). Таким образом, преобразование (87,24) при значениях (87,23) эквивалентно переходу к дырочному представлению, рассмотренному в $86. Энергия новых одночастичных состояний при этом всегда положительна: Е(Й) = та«а(Й) (в соответствии с (86,20)). При достаточно больших силах притяжения, когда выполняется неравенство ч~п таа 2$" .аа 1е (а')! наряду с тривиальным решением уравнения (87,20) имеется не. тривиальное решение, при котором Ла чь О.
Вычислим значение Ла для случая, когда можно предположить, что функция та»1 равна постоянному значению т, если Й н Й' лежат внутри интервала Йа — д, Йа + д, и равна нулю, когда Й и Й' лежат вне этого интервала. Тогда, согласно (87,18), значение Ьа равно постоянному Ь для Й, находящемуся в том же интервале, и уравнение (87,20) принимает вид 418 втоРичное квхитОВАние систем из Фегмионое 1гл, х1 Если Л больше расстояния между соседними уровнями е(й), то сумму можно заменить интегралом, используя равенство '„)',... = Р(2н)-' [ ... й. Полагая р=л~йе/(2ш), имеем Е(й) ~ 8'Ае(А — ае) Далее д Й=4ИЬе(й. Теперь можно написать Вычисляя интеграл и разрешая полученное уравнение Относительно Л, находим 28 еед е 1» ЬРЛ (87,25) т 1 — е ВГ« геее Непосредственно из (87,25) следует, что это выражение нельзя получить путем вычисления эффекта взаимодействия между фермионами методом теории возмущений.
Теория возмущений дает поправки к энергии в виде степеней малой энергии взаимодействия т, а величина о стремится к нулю как ехр( — Етт) и при значениях т ж 0 не может быть разложена в ряд. Перейдем к выяснению физического смысла величины Л. Для этого выразим энергию основного состояния Ее через Ь. Подставляя (87,18) и (87,19) в (87,14), находим е(е) [)~е (е) + л~~ — е(е)~ — ~ ьее 1 Ее= У, )7 ее (е) + ь~е Если Л = О, то Ее —— 0 и функции канонического преобразования сводятся к (87,23) для тривиального решения уравнения (87,20).
Если Л Ф О, то Ее(0. Таким образом, при Ь чь 0 нетривиальные решения (87,20) энергетически выгоднее тривиальных. Возбужденные состояния системы соответствуют «рождению» квазичастиц, зависимость энергии которых от импульса ойределяется формулой (87,22). Последнюю при р= й йо/(2гп) можно записать в виде (87,26) ю »Л ФвРМИОНЫ, взАИМОдвИСТВУЮЩИН ПАРНЫМИ СИЛАМИ 4Я При больших разностях Й вЂ” Йю зависимость энергии квазичастиц от импуЛьса такова же, как для свободных частиц с массой и. Однако при приближении ~й~ к значению йю (юйю — гра ничный импульс сферы Ферми) энергия возбуждения стремится не к нулю, а к конечному пределу 11шЕ(й)=Ь», прн 1й!-»йю.
Следовательно, величина а», определяет разность энергии между основным и первым возбужденным состоянием системы фермионов. Если ййю чь О, то говорят, что в спектре элементарнь1х возбуждений системы фермионов имеется энергетическая и1ель. В связи с этим возникает определенная устойчивость возбужденных состояний по отношению к внешним воздействиям, которая и обусловливает явление сверхпроводимости. Система может отдавать и получать энергию порциями, не меньшими Ь»,.
При Л» Ф 0 функции (87,19) канонического преобразования одновременно отличны от нуля, следовательно, новые ферми- операторы Аю и А, соответствующие рождению и уничтожению квазичастиц (кванты элементарных возбуждений), относятся к состояниям, являющимся суперпозицией фермионных и дырочных состояний системы невзаимодействующих частиц. Другими словами, элементарные возбуждения, относящиеся к значению Л»~ О, являются коллективными возбуждениями.
Тривиальному решению Л» = О уравнения (87,20) соответствует другое — «нормальное» основное состояние с большей энергией, от которого непосредственно начинается непрерывный (для бесконечно большой системы) спектр возбужденных состояний. Рассмотренный выше эффект появления щели в спектре возбужденных состояний системы, согласно (87,10), связан с взаимодействием фермионов в состояниях с противоположными импульсами. Такое взаимодействие называют эфгректом спариеания. В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о вычислении химического потенциала системы взаимодействующих фермионов в основном состоянии. Химический потенциал основного состояния определяется из условия л1=(Фю!Ж~Фю), (87,27) где 1У' — число частиц в системе; Фю — функция основного со. стояния системьк соответствующего отсутствию квазичастиц в системе, т.
е. Фю удовлетворяет равенствам А»юФю АМФю = О. Чтобы использовать (87,27) для определения химического потенциала, выразим оператор числа частиц )у'= 2~а~», а, че 420 ВтОРичное кВАнтОВАние систем из ФВРмионоэ 1гл. Х! рез новые операторы с помощью преобразования (87,11), тогда получим )у= ~х~~~ (2оэ+(ВА — оэ)(А21АА1+ АаоААо)+ + 2иэоэ(А22Ааэ, + АА2АМ)).
Подставляя это 'выражение в (87,27) и используя (87,19), находим уравнение, определяющее 12, )у= ~~)~~2огэ= ~ (1 — (. (87,28) 22ге'(гг)+Вэ ~ где эгэг вг е(й) = — — * — р = — (й — йб). 2т ВАТ Если 2хэ= О, то (87,28) сводится к равенству (87,29) Учитывая, что е (1 О, если й>й„ 112(э)12 1 2, если й(йм мы убедимся, что равенство (87,29) совпадает с равенством, определяющим максимальный импульс рР эйэ сферы Ферми. Следовательно, при ЬА — — 0 химический потенциал 2 РР 12= — = е„ гт совпадает с энергией Ферми.
Если Ьэчь О, то, заменяя в (87,28) сумму интегралом, получим равенство л а2 Ц ~ й22(й, О \ $/(а2 ф21 ~ А) определяющее величину йм а следовательно, и 12 = й йэ/(2л2), через плотность частиц в системе 1У/'г' и значения ЬА. 9 88*. Взаимодействие электронов с фоноиами металла и микроскопическая теория сверхпроводимости Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана только в последнее время работами Купера, Бардина, Шрнффера (78„79) и Боголюбова (80). Мы рассмотрим здесь только основные идеи теории, которые иллюстрируют важность взаимо- взхимодвиствин элвктгонов с еононхми мвтлллл действия электронов металла с колебаниями ионов, т.
е. взаимодействие системы фермионов с системой бозонов. Сопротивление металлов обусловлено взаимодействием электронов с фононами решетки, которое приводит к рассеянию электронов. Фрелих [8Ц еще в 1950 г. высказал идею о том, что и сверхпроводимость металла также обусловлена взаимодействием электронов с фононами решетки. В работах [78, 79, 80[ было показано, что такое взаимодействие при некоторых условиях приводит к наличию в спектре возбужденных состояний электронов энергетической щели над основным состоянием. В связи с этим возникает устойчивость'возбужденных состояний, соответствующих прохождению тока через металл, что и приводит к сверхпроводимости.
В идеальной решетке (неподвижно закрепленные ионы в узлах решетки) движение электрона в зоне проводимости определяется блоховской функцией ~'„, = — э""п„(г) К„, (88,1) Но.=,~~ е„а„ааа~ ь э,а (88,2) где атэи а„— ферми-операторы рождения и уничтожения квази- частиц. Для определения оператора взаимодействия электронов с фонопамн решетки учтем, что при смещении иона, занимающего и-е место в решетке, на величину $„энергия взаимодействия электрона с решеткой)~~~К(г — и) — изменяется на величину и которая представляет плоскую волну, модулированную функцией из (г), удовлетворяющей условию периодичности иэ(г) = = пэ(г+ а), где а — вектор решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
