А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Сильное электрон-фононное взаимодействие, приводящее к большому сопротивлению в нормальном состоянии, способствует образованию сверхпроводящего состояния, лишенного сопротивления. В этом параграфе мы провели преобразование оператора Гамильтона (88,8) в два этапа. Такое преобразование хорошо проясняет физическую картину явления сверхпроводимости. При этом, однако, из-за возникающих расходимостей приходится рассматривать только часть общего взаимодействия. Если провести преобразование (88,19) к новым ферми-операторам и к новым бозе-операторам Вч= 1",4 + рчб'-ч где 3Р— р' = 1, непосредственно в гамильтониане (88,8), то такая трудность не возникает.
Последовательная теория сверхпроводимости металлов с учетом кулоновского взаимодействия была развита Боголюбовылг [80). С этой теорией можно ознакомиться по монографии (83).. й 89. Квантование электронно-позитронного поля В главе т'111 уже отмечалось, что в релятивистской теории представление о движении одной.
частицы удастся сохранить: только приближенно с точностью до членов порядка (о/с)з. При 'движении частиц в сильных полях начинают играть существенную роль процессы виртуального и реального рождения пар частиц. Число частиц в системе при больших энергиях не сохраняется. Для описания процессов взаимопревращеннй частиц сле- Ф зя КВАНТОВАНИЙ ЗЛЙКТРОННО-ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ 427 дует использовать представление о поле, квантами котцрого являются частицы. В этом случае процессы рождения и уничтожения пар частиц находят естественное объяснение, одновременно устраняются трудности, связанные с представлением о состояниях отрицательной энергии и их роли в различных физических явлениях.' В этом параграфе мы рассмотрим квантование электронно- позитронного поля, описываемого уравнением Дирака.
Согласно 9 60, «одночастичный» оператор Гамильтона уравнения ДиРака для свободного движения выражается через дираковские матрицы р и а равенством Нр — — сар + гпсзр. В соответствии с общими правилами квантования систем ферми-частиц оператор Гамильтона электронно-позитронного поля можно записать в виде Н' = ~ %+НАУЧ" с('~, (89,1) где Ч" — (одностолбцовая матрица, содержащая 4 компоненты) является оператором, действующим в пространстве чисел частиц и удовлетворяющим перестановочному соотношению (Ч" (г'), Ч. "(г)) = б(г — г').
(89,2) Чтобы перейти к представлению чисел заполнения, надо разложить операторы ЧР по ортонормированной системе функций оператора Нв. В качестве такой системы функций рассмотрим функции соответствующие состояниям движения с определенным импульсом р = М и удовлетворяющие уравнению Ноф» А =)лЕ»ф» р. (89,3) где т = 1, — 1; Е = с )/ Язй»+ глзс'. Как было показано в 9 60, при заданном й имеется четыре собственные функции, отличающиеся значениями проекции спина на направление движения и значениями Х =- ~1, являющимися собственными значениями знакового оператора (60,12). Решения, соответствующие Х= 1, мы условились называть положительными; будем обозначать такие решения ф»«+. Решения при Ъ= — 1 будем называть отрицательными и обозначать ф„ Чтобы иметь дело с дискретными значениями й, мы наложили 428 ВтОРичнОе кВАнтОВАние систем из ФеРмионов 1гл.
х1 на фУнкцйи фйай пеРиодические УсловиЯ с пеРиодом Е = Р'т» по трем взаимно перпендикулярным направлениям; тогда условия ортонормируемости принимают вид (89,4) Если оператор поля те разложить по системе функций фй,, 'р= Х й, ай и подставить в (89,2), то мы убедимся, что операторы й будут удовлетворять обычным перестановочным соотношениям для ферми-операторов. Удобно от операторов бй А перейти к новым ферми-операторам с помощью канонического преобразования вайа = вайа+» 5йа = й — й. -а, — ° Тогда оператор поля можно записать в виде с'-~ ( йафйа+ + йа'Ь-й, -а, -)' (89,5) при этом операторы б и Ь удовлетворяют перестановочным соотношениям (бй а» бйа) = (Ьйа» Ы'а') = Ьйй'Ьаа" (89,6) О = Х Ей (бйабйа+ Ьйаййа) + Еа» (89,7) й,а где 6'а= — Х Ей — постоянная энергия вакуума, от которой й.
а можно проводить отсчеты энергий возбужденных состояний, Антикоммутаторы других комбинаций б и Ь равны нулю. Оператор д является оператором уничтожения частиц в состоянии с импульсом ЬФ; проекцией спина на направление движения Ьо и Х 1; оператор Ьйа является оператором уничтожения частицы в состоянии — ЬЬ, — Ьп и Х = — 1, или оператором рождения античастицы в состоянии ЬЬ, Ьо, Х„= 1. Таким образом, если операторы б относятся к электронам, то операторы 6 должны относиться к позитроиам (или наоборот). Подставляя (89,5) в (89,1) н учитывая перестановочные соотношения (89.6), уравнение (89,3) н условия ортонормируемости (89,4), получим оператор Гамильтона поля в представлении чисел заполнения % зя КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ 429 -Если обозначить через 10) волновую функцию вакуумного со- стояния, то эта функция определяется уравнениями йз 1О> = э 10) = О, указывающими, что в вакуумном состоянии нет частиц и античастиц.
Операторы полного импульса и электрического заряда поля в представлении чисел заполнения равны соответственно Р= ~ Ф РФ йзг = ~йй(йь,йьо+ ЩА,) (89,8) ()'= е ) Ф+Фй~г = е~)~~(йаьвйАР— Яо5А ).+ Яо (89 9) ( ~ Оо 9 (Нв Ю т1 ) й г = ~~ ЕА (аьооАР + ЬАРЬАа)1 А,о () = ~~ ~ (Ф Ф вЂ” 'Т'тр )й г=е ~~1(аАРОА„— ЬАРЬА ), й,я (89,10) где где Яз — полный заряд вакуумного состояния. Из (89,7) — (89,9) следует, что полная энергия, импульс и заряд поля представляются в виде суммы энергий, импульсов и зарядов отдельных возбуждений — частиц. Оператор И', = =О~А,ОАЕ* имеющий собственные значения 0 или 1, относится к частицам с зарядом а (электроны); оператор ЛА,'= ЬА,ЬА, с собственными значениями 0 и 1 соответствует античастицам заряда — е (позитроны). Следовательно, частицы монгно рассматривать как кванты возбужденных состояний.
Основное состояние, или вакуумное состояние, определяется как состояние поля без частиц. Выражения (89,7) и (89,9) содержат бесконечные постоянные слагаемые Уз и Яо, соответствующие вакуумным значениям, которые не проявляются в физических явлениях. Легко, однако, так переопределить операторы энергии и электрического заряда, чтобы вакуумные значения равнялись нулю. Действительно, 430 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ 1ГЛ. Х! Входящий в (89,10) оператор плотности электрического заряда можно записать в сокращенном виде с помощью коммутатора Р— ф(Ф'Ф вЂ” ФГ') =-' [Ф', Ф1.
(89,11) Чтобы не' нарушить уравнения непрерывности,для электрического заряда, надо наряду с оператором плотности электрического заряда (89,11) рассматривать и преобразованный оператор плотности электрического тока ,(= +~Ф', Щ Оператор электрического заряда (89,10) коммутирует с оператором О, следовательно, электрический заряд является интегралом движения, гллвл хп ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУШЕНИЯ 9 90. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое П редположим, что на систему, описываемую не зависящим от времени гамильтоиианом Нм действует в течение некоторого времени возмущение, оператор которого имеет вид )Р(~), если 0~1(т, У(т)= О, если ((О, ~) т.
В этом случае полный оператор Гамильтона Н= Нз+ У (О зависит от времени и соответствующее временное уравнение Шредингера й з —— (Н,+У (Ю))ф (90,)) не имеет стационарных решений. Оператор У(() может характеризовать взаимодействие дан- ной системы с другими телами. В простейших случаях такое из- меняющееся с течением времени взаимодействие осуществляется изменением внешних параметров: изменение расстояния, изме- нение напряженности внешнего поля и т. д. Для определения волновой функции, удовлетворяющей уран.
нению (90,1), перейдем к представлению взаимодействия. Для этого представим ф в виде ряда ф = ~~)~~ а„(1) ф„ехр ( — (ń— ), л где Е„и д — соответственно собственные значения и собствен- ные функции оператора Н,. Предположим, что до включения взаимодействия система находилась в стационарном состоянии с энергией Еь Следовательно, при г ( О и сумме (90,2) отлично от нуля только одно слагаемое: чь ехр ( —. (ЕДА), или ат(1) = Ьл, если 1 ~ О. По истечении действия возмущения, т. е. при 1 в т, коэффициенты ат снова принимают постоянные 4ЗВ ПВИВХОДЫ ПОД ВЛИЯНИВМ ВНВШНиГО ВОЗМЛЦеиня (ГЛ. хн (90,4) Я (т) (п,(т)(г равна вероятности перехода системы за время т из начального состояния 1 в состояние 1.
Для вычисления коэффициентов ад подставим (90,2) в уравнение (90,1). После умножения правой и левой частей этого уравнения на Ф' и интегрирования по всем значениям переменных, от которых зависят эти функции, находим систему уравне- ний И вЂ” „а( (М) = ~)~~ (й%'((И()'е'"И~а, ((), с (90,5) где (Й(" И11) = ~ Фг(Р (() Фг с(й1 (90,6) Й соси — — Е( — Ег (90,6а) В дальнейшем будут рассматриваться только возмущения, для которых равны нулю диагональные матричные элементы оператора возмущения, т. е. (Ц)Г(1) )() = О. В этих случаях в сумме (90,5) будет отсутствовать член с 1 = Е Если (() й"(г)10 Ф О, то можно перейти а новым амплитудам Аг(0 с помопсыо преобразования с а (т) =А (т) ехр — — (Р1 Нт(г')10 щ' й,( (йо,7) о Этн амплитуды будут удовлетворять системе уравнений ДА( (() Й вЂ” 7 (П йг (т) 1х) Аг (У) ехр (ю(гг), пгФе! где значения ад(т), их величина зависит от вида оператора возмущения (р" (1) н начального состояния, которое отмечается вторым индексом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
