А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Нейтральные пионы в 264 раза тяжелее элек- трона. Спин пионов равен нулю, внутренняя четность отрнца- тельна. В главе УП1 отмечалось, что в релятивистской теории нельзя последовательно сохранить представление о двнженнн одной частицы. Чтобы описать состояние систем с несохраняющнмся числом частиц, надо перейти к полевому описанию, прн котором частицы появляются как кванты поля. Заряженным пионам сопоставляется комплексное поле ф(г), нейтральным — вещественное поле.
Динамическая координата поля ф(г) является псевдоскалярной функцией от простран- ственных координат г н времени. Прн полевом описании моор- днната г играет роль координаты пространства, а не коордн- наты частицы. Поэтому прн полевом опнсаннн отсутствует обсуждавшаяся в Я 53 н 57 трудность введення понятия коор- дннаты релятивистской частицы. Рассмотрим комплексное скалярное поле частицы с мас- сой М, Согласно (54,5), функция з)(г) должна удовлетворять уравнению Клейна †Гордо ( †,, ЗГ2 — 17 + Ь, ) $ (г) = О. (83,1) Это уравнение опнсывает свободное движение.
Оно будет со- ответствовать пионам, не взаимодействующим между собой. Чтобы описать нх взаныодействне, надо ввести еще другое поле, переносящее взаимодействие, % 84 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ звв >> = ь» — основной объем пространства. Для упрощения записи мы здесь пользуемся циклическими граничными условиями с 2п большим периодом („при которых Ь> — — — и>, 1= 1, 2, 3; и,=0, ->-1, ... Разложим операторы поля >[> и — по полной системе функций (83,7), тогда Ф=Х(~у„) (а" "' +Ье""')е'".
>'в (83,8) Подставляя полученные выражения в перестановочные соотношения (83,5), мы убедимся, что они удовлетворяются, если новые операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям для бозе-частиц [а», аД [Ь», ЬЦ=Ь»>г, [а», а»)=[Ь», Ь»)=[а>ь Ь»]=0. Подставляя (83,8) в (83,6) и используя (83,9), находим оператор Гамильтона поля в представлении чисел заполнения О = 2~~ йе>» >!а»а»+ Ь~»Ь»+ 1[. (83,10) Заменив в (83,2)чфункции операторами (83,8) н интегрируя по объему 1>, находИМ оператор полного электрического заряда поля (83,9) сг= ~ р>!Вг = е ~~ (ат»а» — Ь»>Ь»).
(83,11) Введем операторы числа частиц и<+>=а»»а», и' >=Ь»Ь . »»». Они коммутируют с оператором Гамильтона (83,10) и опера- тором заряда полн, позтому волновые функции изображают стационарные состояния. Из (83,10) и (83,11).сле- дует, что волновая функция [и~+>) соответствует состоянию, в котором и<+> частиц имеют импульс Щ заряд !е=еи~+> н энергию и<+>йв»; волновая функция ~п<;>) определяет состояние, в котором и' > частиц имеют импульс йй, заряд Я= — еа»>-> и энергию п~ >й»>». Таким образом, квантованные состояния заряженного мезонного поля приводят к квантам поля — частицам, которые могут иметь два знака заряда н положительную энергию. Собственные значения оператора Гамильтона (83,10) всегда положительны.
Собственные значений оператора электрического заряда поля могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от числа отрицательно и положительно заряженных частиц. Вследствие перестановочных соотношений (83,9) состояния системы пионов описываются симметричными функциями (83,!2) относительно перестановки пар частиц. Поэтому пионы являются бозонами и удовлетворяют статистике Бозе — Эйнштейна, Нейтральные пионы описываются вещественным полем. Оператор (83,8) будет описывать нейтральные частицы, если по- ложить >) (г) = ф '(г). (83,13) Из (83,8) следует, что условие вещественности (83,13) выполняется, если операторы а» и Ь» связаны соотношениями Ь»=а *.
(83,14) Таким образом, операторы нейтрального мезонного поля выражаются только через операторы рождения а» и уничтожения а„: >у сы ~2У»>») \' — — 1 1 ~-~р-~ (п»е " — а «е ")е д>Р ч»ч > >»»~~* — > т . с д1 (83,15) Эти операторь> удовлетворяют перестановочным соотношениям [>г(г, г), дт' 1=(лб(г — г'), 1>1>, >1>)=~ д>, д> 1'=О, если операторы а»т и а» удовлетворяют обычным перестановочным сотношениям для операторов рождения и уни>гожения частиц (а», а»,1 (а»т, аД, (а», аД=б»»,. (83,16) Подставляя (83,15) в (83,6), получаем оператор Гамильтона нейтрального мезонного поля в представлении чисел заполнения 390 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИВ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ 1гл, к Э зп квлзичзстицы в системз вззнмодвиствкющнх возонов рй~ Оператор полного электрического заряда (83,2) в случае нейтрального поля тождественно равен нулю Я=е~(а~~аз — аг„а )=О.
й 84. Квазичастицы в системе взаимодействующих бозоиов Пусть э; — совокупность трех пространственных координат и проекции спина 1-й частицы Бозе (частицы с целым спином). Оператор Гамильтона системы Н одинаковых частиц, которые взаимодействуют между собой парными силами, в координатном представлении имеет вид Нш ХНш(Ы+ Х 1)г(Ь Ы (84,1) 1 ! 1С! где Нш(5;) — оператор Гамильтона одной частицы без учета взаимодействия с другими частицами.. Состояние системы У одинаковых частиц определяется в координатном представлении уравнением Шредингера где волновая функция ф является функцией в абстрактном 4Н-мерном конфигурационном пространстве. Как было показано в $ 72, эта функция должна быть симметричной относительно перестановки пар частиц.
Исследование свойств систем, состоящих из многих тождественных частиц в координатном, импульсном или другом представлении, в котором отмечаются состояния каждой из частиц в отдельности, не оправдано усложнено ненужной детализацией. В таких системах все явления не должны зависеть от нумерации частиц. Такое требование автоматически удовлетворяется в представлении вторичного квантования. Чтобы ознакомиться с правилом перехода к этому представлению при описании системы взаимодействующих бозонов, рассмотрим вначале систему невзаимодействующнх одинаковых бозонов. В этом случае оператор Гамильтона является суммой операторов, относящихся к каждой частице в отдельности, Нз Х Нш (Ы. (84,2) Пусть в, и ф ($~) — собственные значения и собственные функции оператора Нш($~) одной (-й частицы.
Состояние системы в координатном представлении определяется указанием набора квантовых чисел т для каждой частицы системы. Вследствие в аз квззнчхстипы в снствмв взхнмодепствзюших возонов Звз — операторные функции, удовлетворяющие, согласно (84,6), перестановочным соотношениям Юй), Ф (ЙХ=Ь( — В'), (Фа), ФВ')1=0. (84,9) Таким образом, переход от координатного представления оператора'(84,2) к оператору в представлении чисел заполнения осуществляется по правилу ,)' Нш ф) -+ ) Ч" (в) Нш ф Ч' ф) ~ф. (84,10) в ! Если операторные функции Ф($) выбираются в виде (84,8), то ~ Ф+ (й) Нш ($) Ф Я) д$ = ~ е„а~а„. Однако переход к представлению чисел заполнения может быть осуществлен с помощью преобразования (84,10) и в том случае, если операторные функции ФЩ, удовлетворяющие (84,9), записываются в виде (84,8) при использовании любой полной системы ортонормнрованных одночастнчных функций.
Пусть, например, Х ($) — полная система ортонормированных функций. Тогда операторные функции Ф(5) будут иметь вид Ф й) = Х ЬвХ,.В). ! Они удовлетворяют перестановочным соотношениям (84,9), если Ь, — бозевские операторы, т. е. '(Ь„Ь'1=6„, (Ь„Ь,)=0. Подставив (84,11) в (84,7), находим Н,=ХТ., Ь!Ь„' в (84,12) где Т,„, =-~Х',6) НшФХ,В)1~.
Оператор Гамильтона (84,12) не коммутнрует с оператором числа частиц б, Ь~Ь„позтому число частиц в одночастичных состояниях, определяемых функциями Х,(в), не является интегралом движения даже' при отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, выбор функций х,(с) для характеристики одночастичных состояний нельзя признать удачным. Однако если мы не знаем решений уравнения (84,4), то можно воспользоваться недиагональным оператором (84,12) 394 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ЕОЗОНОВ [ГЛ. Х и диагоналнзовать его с помощью канонического преобразования к другим операторам по методу, изложенному в 3 30.
Правило перехода (84,10) от оператора (84,2) в координатном представлении к оператору (84,5) в представлении вторичного квантования можно перенести на любые операторы в координатном представлении, если они выражаются через сумму одночастичных операторов.
Пусть, например, "йю " Вл)=ЕРФИ). где Щ;) — оператор, действующий на координаты 1-й частицы. В силу одинаковости частиц все слагаемые в этой сумме отличаются лишь номером частицы. Переход к представлению вторичного квантования соответствует преобразованию ~~~~~Рйк)-+Р= ! Ф й)Рй)Фй)д$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
