А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(84,13) Ю После подстановки в (84,!3) значений (84,8) получим Р = ~2~ а+а (ъ !г ! И), Р Я где (т!Р!Ивм 1 а,'(УРй)Ч„(Вам — матричные элементы, которые легко вычисляются, если известен вид оператора РЯ) и функций ~р й). Вове-операторы а~ и а„действуют на функции от чисел заполнения и . Рассмотрим далее оператор, имеющий в координатном представлении вид и й~ " $я) = Х а йо е!), Г</ где д($Е5~) — оператор, действующий на координаты (-й и у-й частиц. Этот оператор можно получить в представлении вторичного квантования путем обобщения правила (84,10), т.
е. ~~~ййь 5!)-»У=в ! '1' й)Ф'й')36,$')Фй')Ч'(90$~й'. (84,14) й<1 Подставляя в (84,14) значения (84,8), находим оператор в представлении чисел заполнения 8= — ~)~~ отава а (тр!я!уб), где А Вя кВАзичАстицы В системе ВВАимодепствуюших ВозоиОВ зэк Оператор координатного представления, заданный в виде суммы операторов, действующих на координаты трех частиц, преобразуется к представлению вторичного квантования по правилу Х Н(~,~.~)--Й, !(Г<А Й= ш ~'Р'6) Чг'6) Ч" В")НВХЛ")Ч'В")Ч'В) Ч й)гВсФ'сФ (84,15) и т.д. Сформулированные выше правила (84,10), (84,14) н (84,15) перехода от координатного представления к представлению вто- ричного квантования можно применить и к оператору (84,1), характеризующему систему тождественных бозонов, взаимодей- ствующих между собой парными силами. Таким образом, в представлении вторичного квантования оператор (84,1) преоб- разуется к виду Н= ~ Ч" (И Нш($) Ч'В) ~В+ + — '~Ф'ФФ'В')И'а, ДФЮЧ'В Ц а; (84,16) "Ф где операторы Ч' и Ч' удовлетворяют перестановочным соотно- шениям (84,9).
Дальнейший переход к представлению чисел заполнения может быть осуществлен путем использования лю- бой полной системы ортонормированных одночастнчных функ- ций. Выбор такой системы определяется свойствами взаимодей- ствующих частиц. Желательно выбрать такие одночастичные состояния, при .использовании волновых функций которых наи- большая часть оператора Гамильтона (84,16) принимает диаго- нальный вид. Часто в качестве полной системы одночастичных функций выбирают собственные функции ~р,Я) одночастичного "Ф оператора Нш(е), т. е. операторы Ф и Ч' определяются равен- ствами (84,8).
В этом случае оператор (84,16) в представлении чисел заполнения принимает вид Н = ~~~~~В,а~а„+ - ~~)~~~ а„"а„'а аз (тр ~ Р ~ уй), (84,17) е е«ЪА где (.!Я~! уб) = ~ „(),„В~ЯГ(, И,Ъ6),.6~.ВНВ. Гамильтониан (84,17) не диагонален относительно операторов й„= а~та„ числе частиц. Поэтому число частиц в состоянии ~р, не сохраняется. Если 'в начальный момент временк состояние йэь втовичнов кВАнъоВАнив систем из йозоиов игл. х определяется функцией (... н~ ...), то под влиянием операторов, входящих во вторую сумму (84,17), начнутся переходы частиц из одних состояний в другие.
Легко видеть, что.оператор полного числа частиц Й = ~ а~а, ° У коммутирует с гамильтонианом (84,17). Поэтому общее число частиц в системе сохраняется. Это сохранение связано с тем, что операторы рождения н уничтожения входят в оператор (84,17) парами. Следовательно, каждому акту уменьшения на единицу числа частиц в состоянии Ч~~ соответствует увеличение на единицу числа частиц в другом состоянии. Исследование энергетических состояний систем, описываемых гамильтонианом (84,17) (см. следующий параграф), сводится к переходу с помощью канонического преобразования к новым операторам рождения н уничтожения Ь„н Ь„, относительно которых гамильтониан имеет внд Н = ~~.'~'Е„ЬяЬ„+ Н„ (84,18) где Н, — небольшая часть оператора, не сводящаяся к диагональному виду.
Такое преобразование эквивалентно введению новых одночастичных состояний частиц с учетом самосогласованного поля, обусловленного взаимодействием между частицами. Энергии Е„ будут соответствовать новым одночастичным состояниям, которые учитывают взаимодействия мвжду частицами и тем в большей степени, чем меньшее значение имеет часть гамильтона Нь несводимая к диагональному виду. Формально гамильтониан ~~ Е„ЬеЬ описывает систему не. в взаимодействующих частиц с энергиями Е„.
Эти частицы называют квазичастицами системы реальных взаимодействующих между собой частиц. Недиагональная часть гамильтоннана как функция .операторов Ь, Ь„описывает взаимодействие .между квазичастицами. Это взаимодействие называют огтаточныи взаимодействием. Если остаточное взаимодействие мало, то состояния системы, соответствующие собственным функциям ~...
и„...) операторов Ь„, Ь„будут близки к стационарным состоянйям системы, т. е. квазичастицы можно будет рассматривать как достаточно устойчивые образования. В этом параграфе мы предполагали, что гамильтониан Нф) н волновые функции ~р (Э) одночастичных состояний реальных бозонов даны в координатном представлении. Легко убедиться, что все формулы сохраняют свой вид, если Н(э) и ч~,(э) заданы в импульсном (нли другом) представлении. Достаточно только считать, что $ определяет компоненты импульса и спиновую переменную, если частицы имеют спин, не равный нулю. $8Щ ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ 997 9 85. Основы микроскопической теории сверхтекучести Явление сверхтекучести (открыто в 1938 г. П. Капицей) связано с отсутствием измеримой вязкости в жидком гелии вблизи абсолютного нуля при движении его через тонкие капилляры и щели.
Теория сверхтекучести на основе представления о гелии (при Т(2,19'К) как о «квантовой жидкости» была развита Ландау (75). Микроскопическая теория сверхтекучести гелия была развита Боголюбовым (76). Предложенный Боголюбовым метод приближенного вторичного квантования системы взаимодействующих бозонов представляет значительный интерес не только для теории сверхтекучести, но и для ряда других приложений в случаях, когда нельзя пользоваться теорией возму!цений.
В этом параграфе мы познакомимся с основными идеями метода Боголюбова. Атомы гелия (Не4) являются бозе-частицами, так как их спин равен нулю. Они слабо взаимодействуют между собой. Оператор Гамильтона системы А/ атомов гелия в координатном представлении имеет вид Н= ~4 Н(г!) + ~ йг()г/ — г/~), 1=1 1<l где Н(г/) — оператор кинетической энергии свободного движения; (Р— оператор энергии взаимодействия двух атомов. Если в качестве полной системы ортонормированных функций выбрать собственные функции оператора Н(г/), т. е. плоские волны /р»= $~-'ье!»' (нормированные на большой объем )/ в форме куба с периодическими условиями на гранях куба), соответствующие энергии свободного движения е»= ззй»72т, то, согласно $84, в представлении чисел заполнения оператор Гамильтона имеет вид Н= ~~)~~ а а~~а + — ~)~~ а» а/' а„а ° (й й ~ йГ ~ й;й';) (85,1) Здесь (й!й»!ЩйаЩ= 1/ Ь (йз+ й! — йз — й!), (85,2) у(! в'!- Е1! ) при этом (~й( — й,О = ~ ж(~).'('-"/ ( р= 1 йу(р)рз(ПЦй! — й!~р)/(р (85,3) ~в, а!~.
— действительная функция, зависящая от абсолютной величины рааности й! — й, и являющаяся фурье-представлением энергии зеа ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЯ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [гл. х взаимодействия пары бозонов, ( 1, если йг+й(=йг+йн 1 О если йг+ й1 ~ йг+ йн (85,4) Из (85,!) следует, что двухбозонное взаимодействие, изображаемое в представлении чисел заполнения второй суммой в операторе Гамильтона, содержит четыре оператора. Каждое слагаемое этой суммы указывает, что взаимодействие соответствует исчезновению пары частиц в состояниях с импульсами (в единицах а) аг и й1 и одновременному появлению пары частиц в состояниях с импульсами йг и йн Согласно (85,2) и (85,4), такой переход осуществляется только с сохранением суммарного импульса двух частиц.
Подставляя значение (85,2) в (85,1), получим окончательный вид оператора Гамильтона в представлении чисел заполнения для системы одинаковых бозонов, взаимодействующих между собой парными силами, которые зависят только от абсолютной величины расстояния между двумя бозонами 1 «А ~ «2 «г "1 * (! ! 2 2) Во второй сумме выполняется суммирование по всем возможным значениям йь й(, Йг, яг, удовлетворяющим закону сохранения суммарного импульса, указанному в скобках под суммой; функция ч ° = т(~й; — й,!) определена (85,3).
«,«, В случае системы невзаимодействующих бозонов. основное состояние системы соответствует «конденсации» всех частиц в состоянии с наименьшей энергией (й = О). При наличии слабого отталкивания между атомами в основном состоянии системы подавляющая часть атомов все еще будет в «конденсированном» состоянии, т. е. в состоянии с наименьшей энергией. Таким образом, и при наличии слабого взаимодействия, которое имеет место между атомами гелия, «конденсат» содержит ао атомов, при этом по мало отличается от полного числа Ф атомов в системе. Чтобы исключить Влияние периодических условий (с большим периодом Т,), введенных для упрощения записи, следует в конечных результатах переходить к пределу У- оо. Стремление У- оо должно происходить одновременно с 1У- оо так, чтобы плотность частиц оставалась постоянной (АУ = сопз1).
Из (85,5) следует, что операторы а~та,=п и а,а«»=а +1 входят во вторую сумму в виде отношений п«Я ь (а«+ 1)/У. Поскольку а«ж Ж, то при указанном выше предельном переходе эти отношения остаются конечнымн однако при У- оо ««61 ОснОВы микРОскопическОИ теОРии свеРхтекучести авз разность 'Юя «О"а — о. Поэтому можно пренебречь некоммутативностью операторов рождения а»Р и уничтожения а« частиц в состоянии й = 0 и заменить их обычными числами. Тогда, вводя, согласно Боголюбову, новые бозе-операторы для й чь 0 Ь = а»п-' а, Ь» = а и,„-ь а „ «о« ««»о о (85,6) можно преобразовать (81,5) к виду Н = 1 + ~~~ е (Ь) Ь«Ь«+ + я, ~ т (Ь) ~Ь»Ь-» + Ь«Ь «+ 2Ь»Ь»1 + Н, (85,7) где е(й) й«й«(2т, знак штрих указывает, что суммирование не включает значение 1 = 0; члены, содержащие произведения трех и четырех бозе-операторов Ь», Ь», обозначены Н'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
