А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 83
Текст из файла (страница 83)
»г В частном случае гармонического осциллятора правило сумм (98,8) следует непосредственно из значений (98,9) ХР»мм=Р'-ь +Р" +ам=1. (98,10) 1 Силы осцилляторов всех других переходов равны нулкь Позтому, согласно (98,8), полярнзуемость осциллятора равна е' з х й,- — „(,— - ч) . Силы осцилляторов являются очень удобной характеристикой квантовых переходов в системе. Их удобство выражается в наличии простых теорем о суммах сил осцилляторов, доказательство которых опирается на перестановочные соотношения между операторами координат и импульсов. Для доказательства основной теоремы о сумме сил осцилляторов (теорема Томаса— Рейхе — Куна) преобразуем (98,7) к виду Р»м = — » ((Й! х ( т)' (й (х( т) + (Й (х ( т)' (А (х ( т)).
что пвзяходы под влиянием внешнего возмицвиия !гл. хп Равенство (98,10) является выражением правила сумм сил осцилляторов, соответствующих квантовым состояниям одной частицы в системе. Оно справедливо для произвольнрго направления оси х в системе и для произвольного состояния и. Если в атомной системе число электронов равно 2, то правйло сумм сил осцилляторов для всей системы сводится к равенству так как каждый электрон вносит свой вклад в сумму независимо. Для иллюстрации величин снл осцилляторов и правила (98,10) отметим, что сила осциллятора, соответствующая переходу !з- 2р в атоме водорода, равна 0„4162.
Таким образом, согласно (98,10), сумма сил осцилляторов для переходов с основного состояния !з во все остальные состояния (кроме 2р) равна 0,5838. При этом переходам во все состояния с непрерывным спектром соответствует часть суммы сил осцилляторов, равная 0,4359. Теоретическое вычисление сил осцилляторов требует знания волновых функций состояний, между которыми происходит переход. Такие функции хорошо известны только для гармонического осциллятора, атома водорода и некоторых других простейших квантовых систем. В.случае более сложных атомных систем эти функции могут быть вычислены приближенными методами, с которымн мы познакомимся в следующих главах.
Зная поляризуемость атомов, можно вычислить диэлектрическую проницаемость з 'или показатель преломления вещества и= )/ з, если использовать связь, даваемую классической электродинамикой, между диэлектрической проницаемостью вещества и полярнзуемостью атомов (или молекул). В случае разреженного газа эта связь выражается простой формулой а=пг= 1+ 4пУР (98,11) где () — поляризуемость атома; !у — число атомов в единице объема. В случае плотной пзотропной среды эта связь более сложная: з' — 1 4п 2 а+а з Подставляя в (98,11) значение поляризуемости (98,8) для основного состояния атома, можно определить зависимость показателя преломления вещества от частоты падающего света для ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КВАНТОВОИ СИСТЕМЫ 472 частот «т, не совпадающих с частотами квантовых переходов.
Для газа такая зависимость выражается формулой а=п2=1+ АУ~ рена /в 2 2 е отяо ет 'Чнт (98,12) Из (98,!2) следует, что чем больше сила осциллятора квантового перехода, тем большую роль играет соответствующее слагаемое в сумме (98,12), определяющей зависимость показателя преломления от частоты падающего света. О зависимости показателя преломления от частоты света говорят как о законе дис- п(тн) п1тр) «тер а,) Ряе.
!Е. Зависимость яекааателя яреломленяя от частоты; н~ лоломнтельнан Ляснереня; ЕЕ отрнцательная яаенереня. В этом случае для состояния й с энергией Ед < Е силы осцилляторов отрицательны. Поэтому в области, близкой к соответствующим частотам переходов, показатель преломления. убывает с ростом частоты. Такая зависимость показателя преломления от частоты называется отрицательной дисперсией (рис. 15,б). В соответствии с равенством (97,22) мнимые и вещественные части поляризуемости и диэлектрической проницаемости связаны между собой интегральными соотношениями, например е Г а1п е!ьа) Вй Кее(«т) =— персии света.
Если атомы находятся в основном состоянии, то гц 0 и с ростом частоты (в области применимости формулы (98,'12)) показатель преломления возрастает. Такая зависимость показателя преломления от частоты носит название положительной дисперсии (рис. 15, и). Если атомы находятся в возбужденных состояниях (пт), то показатель преломления будет определяться формулой рл г! и='1+ 2иУ ') „' 472 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУШЕНИЯ (ГЛ. ХП (92,2) 9 99.
Элементарная теория фотоэффекта Если энергия ав фотона превышает энергию ионизации атома, то поглощение фотонов будет сопровождаться переходом электрона из связанного состояния в состояние непрерывного спектра. Такое явление носит название фотоэффекта. Фотоэффект играет существенную роль в поглощении рентгеновских лучей и у-квантов веществом и в ряде других физических явлений. Рассмотрим элементарную теорию фотоэффекта.
Вероятность 'поглощения в единицу времени с испусканием электрона определяется обшей формулой (93,4). Конечное состояние электрона принадлежит непрерыврому спектру, поэтому плотность числа конечных состояний, соответствующих испусканию электронов в направлении телесного угла аь), в нерелятивистрком приближении Е = рз/2И обределяется выражением РР аи аэ $ ~'И в)~ ал 12кь)з ~1() ~ (99,1) где Р— объем системы.
Для упрощения вычислений не будем учитывать в конечном состоянии взаимодействия электрона с атомом, т. е. конечное состояние электрона будем описывать плоскими волнами ф = — ехр(й1г) ю )/Р нормированными на объем К Такое приближение вполне допустимо, когда энергия вылетающих электронов велика по сравнению с энергией нонизации атома. т. е. прн выполнении неравенства — >)1= ~, . или $=-й — ~1.
ва х > г ° (99,3) Величина 5з представляет собой отношение энергии ионизации к кинетической энергии испускаемого электрона. Поскольку поз12 = эа — 1, то из (99,3) следует, что энергия фотонов должна быть достаточно большой'. С другой стороны, энергия фотонов должна быть малой по сравнению с энергией покоя электронов, чтобы сохранить возможность решения задачи в нерелятивистском приближении. В качестве начального состояния электрона выберем волновую функцию 1з состояния атома фо = (иа') ехР1 — — ), а = —. / ьг1 р а)' па~а ' (99,4) Подставляя (98,1) в (93,4), находим выражение для вероятности испускания в секунду электрона в телесном угле дй при поглощении фотона (21 1Т РРН ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ФОТОЭФФЕКТА 9 99] где, согласно (94,5), оператор, определяющий поглощение эле«« тромагнитной волны, нормированной на единицу объема, имеэ вид и« = — ~/ — е'" ( — «йер) ае.
е «Ьй + Ие' Подставляя (98,2) и (99,6) в (99,5) и учитывая, что в началь ном состоянии фотонов не было, а и конечном состоянии имеетГЯ один фотон, находим е«р ) Г )9 «(Р= — «~ ~ е-««е-м" (е7) фе«(ег~ «(1). — е.в, ! ~ (99,7) находим при учете (99,4) =;"' " ° е««еае«г(е9)фе (зг з) п(вч)а * (( + а««(9)9 Учитйвая полученный результат в (98,7), находим 329«а«(еЧ)«р 9) «Р = ъ,— „+ л*). «и. (99. Формула (99,9) определяет угловое распределение испускр~ мых электронов.
Обозначим через 6 угол между направлениями вектора й фотона и вектора «7 электрона, а через угол Ф вЂ” уг«~ л между плоскостью й«7 и плоскостью ей, тогда (еЧ)9 = 49 з(пеВсоз'Ф (99,1 ' О) Далее, из (99,8) имеем Ке = /«9+ 49 — 2йЧ соз «8. В силу неравенства (99,3) кинетическая энергия электро" а мало отличается от энергии фотона ь«9 ж '/трое, следователь«« ' Ф ««ее й= — = —. Еве ' Поэтому Щ т о/(2с). Далее, учитывая (99,4), находим йа ~ ж о/(с$) 1. Из (99,3) и (99,4) следует «)а = 1Д'>~~1. По««у ченные соотношения приводят к приближенному равенству 1+ Кеае » "«)зае(1 — — соз9). (99,1 Проводя в этом выражении интегрирование по частям при учет те ортогональности векторов й и е и вводя вектор йК передаваемог О атому импульса К=8 — «7, (ддю 8) ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [Гл ХП 4?4 Подстаяовка (09,10) и (99,11) в (99,9) дает ° Ззлер Ма В .еф Ь и еье ~! — 'е е) е (99,12) КОГда ЬЕЕ ОЧЕНЬ бЛИЗКО К 1, ЗНаЧЕНИЕ $- Ое И МНОжИтЕЛЬ г (й) — 0,12.
$ !00, Переходы, обусловленные взаимодействием, не зависящим от времени Рассмотрим квантовые переходы под влиянием взаимодействий, не зависящих от времени. К таким переходам относятся: а) процесс внутренней конверсии, т. е. процесс передачи эяергии возбуждения ядра электронам атома; б) эффект Оке — перестройка электронной оболочки атомов с несколькими электронами, сопровождающаяся вылетом одного электрона из атома. где ае = Ье!(ре') — боровский радиус. Таким образом, большинство электронов испускается в направлении электрического вектора электромагнитной волны (В=п(2, Ф=О), т. е. перпендикулярно направлению падающего фотона.
Наличие угла 6 в знаменателе (99,12) приводит к небольшому сдвигу максимума испускания вперед. Это смещение максимума возрастает с увеличением скорости электрона. В релятивистском случае максимум сильно смещен вперед, Вероятность фотоэффекта при вырывании электрона из состояния 1з атома 'сильно .возрастает с ростом л (как лз). Поскольку йуе (Ьв)ь, то в области применимости проведенного расчета (! (( Ьв е. 1гсе) вероятность фотоэффекта сильно убывает с ростом частоты фотона.
Если мы разделим вероятность перекода в единицу времени (99,12) на плотность поток» падающих фотонов, равную с при нормировке (99,6), то получим дифференциальное эффективное сечение фотоэффекта. Если энергия фотона мало превышает энергию ионизации электрона 1, то конечные состояния электрона нельзя описывать плоскими волнами, а нужно пользоваться точными функциями электрона в непрерывном спектре. Нерелятивистские расчеты с волновыми функциями непрерывного спектра в кулоновском поле были проведены Штоббом !911 Расчеты показывают, что учет кулоновского взаимодействия уменьшает вероятность фотоэффекта на множитель 1 ЛΠ— Л р~,Е г Ьв .1 — ехр ( — 2лй) э 1ЮО~ Взхимодеиствие, не зАВисящее от ВРемени 47$ а конечное состояние в волновой функцией ф„(г) = У 'ехр (Йг). (100,2) Если обозначить волновые функции начального и конечного состояния ядра соответственно ®(д) и ~ь(ч), то волновые функции .начального и конечного состояний всей системы будут иметь вид ! О) = фо (г) фо (4У) и ! йь11= фи (г) %ь (47) (100,3) Вероятность внутренней конверсии в единицу времени для электрона в состоянии 14 будет определяться общим выражением г(РАΠ— — -й — ! (ЙЬ! Р' 10) 'гор, (100,4) где др= †(1 — число конечных состояний электронов на УВМ (Еяв)з единичный интервал энергии, испускаемых в телесный угол 011, Если длина волны, соответствующая энергии возбуждения атомного ядра, значительно превышает а, то эффекты запаздывания взаимодействия малы и оператор йу сводится В этом параграфе мы рассмотрим процесс внутренней кон-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
