А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 88
Текст из файла (страница 88)
При а = а4г Г = О, следовательно, С= О, та. ким образом, Г=-1П(1-2(йго)= — 1п3/1+4йггаг+(Ф, где !аФ=2йго. Итак, условие (106,16) для экранированного кулоиовского потенциала принимает вид ггггг[[ь УТ44-4442)'4.44]4 «44А КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. Х!Ч Значение Ф не превышает и/2, значение логарифмического слагаемого мало меняется с изменением радиуса экранирования, поэтому в качестве общего условия применимости борновского приближения для кулоновского взаимодействия можно принять Е,Е,Я' ~ До, (106,17) где и = йй/!А — относительная скорость сталкивающихся частиц. в) Потенциал прямоугольной фор м ы. Потенциальная энергия У(г) = — Ум если г ( г(, и равна нулю для всех остальных значений г.
В этом случае неравенство (106,!6) принимает вид ~~и — 1 Уэ(емх' — 1) Й о = Ф,', (з пэй (+ й ((й( — з1п(2й ()))" ° —,",;, «1; Поскольку йхвэ/р = 2Е, где Š— энергия относительного движения, то полученное неравенсвво можно записать в виде Уо ~ 2Е. (106,18) В ядерной физике установлено, что для описания упругого рассеяния нейтронов на атомных ядрах можно в первом приближении использовать потенциальную яму с параметрами Уя —— .50 МВВ и д = 1,3 АТ10 м см, где А — массовое число ядра. Следовательно, при исследовании рассеяния нейтронов на атомных ядрах можно применять борновское приближение только при энергиях относительного движения, удовлетворяющих неравенству Е )) 25МВВ, (106,19) Согласно (106,!О), амплитуда рассеяния в борновском приближении (ф, -Р ~р, = ехр (1й,«) ) принимает вид А)ю(й)= — ~,, ) е'~'У(г)с(~г, (106,20) где ЗЮ = й(йр — йь) — импульс, передаваемый при рассеянии.
Формула (106.20) допускает простую интерпретацию: каждая единица объема дает вклад в амплитуду рассеяния, равный — — ~~К У (г) еьг'. Множитель е'ч' определяет фазовое смещение 2Д волны, рассеяннов элементом объема в точке г, по отношению к волне, рассеянной элементом объема в точке г= О. Если У(г) не изменяет знак, то при рассеянии вперед (д = О) все элементы объема дают рассеяние в фазе и амплитуда рассеяния Функция ГРинА для сВОБОднОЙ чАстицы имеет максимальное значение Аьа'(О) 2 йе ~ При других направлениях рассеяния вклады от различных эле- ментов объема отличаются по фазе. Эффект интерференции воли, рассеянных разными элементами' объема, можно учесть отношением которое принято называть формфактором. й 107".
Функция Грина для свободной частицы находим О(«1«')=О(« — «)=(2Н) ~ ~ РА,~ «, с(ед. (107,1а) Это выражение после. интегрирования по угловым переменным можно преобразовать к виду де~е" 0(Х)=(4ие!х) ' ~ е, йу, (! 07,2) где к = (« — «'(. Интеграл (107,2) вычисляется с помощью теории вычетов. Его значение остается неопределенным до тех пор, пока ие заданы правила обхода полюсов д = ~ й. Правила обхода полюсов определяются из граничных условий, накладываемых на функцию 6(х) при х- оо.
Чтобы получить решения, соответствующие уходящим от центра волнам, следует выбрать путь интегрирования А, указанный иа рис. 20. Тогда интеграл (107,2) равен умноженному на 2Н! Вычету подынтегрального выражения в единственном полюсе д = й, лежащем внутри контура интегрирования. Таким образом, находим (107,3) Функция Грина свободного движения частицы определяется уравнением (106„5). Перепишем это уравнение в виде б («! «') = (Р + й9 ' й (« — «').
(107,1) Подставляя в (107,1) интегральное представление б-функции через собственные функции оператора свободного движения б(« — «') = (2И) ( ехр(йу (« — «'ф(зд К8АНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ о04 [ГЛ. Х<Ч Чтобы получить функцию Грина 6< >(х), соответст[ьующую сходящимся волнам, надо интегрирование в (107,2) проводить по .контуру В, указанному на рис.
20. В этом случае внутри кон-тура будет полюс <1 = — й и 0< >(х) —— ' (107,4) Правила обхода полюсов можно указать и путем формальной замены в знаменателе (107,2) значения й значением й+ (а для -А-и ч-те Рнс. 20. Прввнлв ооволв полюсов лля получвння Функцнй Грннв О+ н О функции 6<+>(х)„где е — малая положительная величина, которая после вычисления интегралов должна быть устремлена к нулю.
При такой замене полюса подынтегрального выражения «) = ~(я+ [е) смешаются в комплексную область (рис. 20, С) и внутри контура интегрирования остается полюс й+<а. После интегрирования надо перейти к пределу е- О. Для получения функции С< >(х) надо в знаменателе подынтегрального выражения (107,2) провести замену й- 1< — <е (рис.
20,В). В ряде случаев при проведении промежуточных вычислений иет необходимости в явном вычислении функции Грина, и удоб.но пользоваться символической записью. Покажем, как зто де.лается на примере уравнения (106,1). Имея в виду дальнейшие обобшения, перепишем уравнение (106,1) в виде (107,5) аенкция и инл для своводнои частицы э юп где Н= — — „Ф ф2 (107,6) — оператор свободного движения частицы с приведенной массой р; Е,— энергия относительного движения.
Формальным решением уравнения (107,5), соответствующим «падающей» волне Ф„удовлетворяюшей уравнению (Š— Н)Ф =О, (107,7) будет фа Фа + (Еа НО) Уфа Решения уравнения (107,5), соответствующие сходящимся волнам, будут определяться уравнением ф'.'=Ф.+(Е.— 1 -Н,) 'Уф,','. (107,9) Уравнения (107,8) и (107,9) являются интегральными уравнениями. Для явной записи уравнения (107,8) надо разложить функцию Уф,'+' по собственным функциям Ф„оператора Н~, т. е. по функциям, удовлетворяющим уравнению (Е« — Н) Фд — О, (107, 10) В нашем 'случае оператор Н» является оператором кинетической энергии свободного движения и его собственные функции являются плоскими волнами (при нормировке в д-пространстве) Ф =(2я) 'ехр(йуг), Е,=— Рд' Итак, разлагая 1'ф'~~ по полной ортонормированной системе функций Ф, имеем Мф~ = ~ Фэ(Ф«! к!фа )~1~7» (107э11) (107,10а) где (Ф 1 У )ф'+')=(2н) ь ~ е 'э~'г'(г') ф'+' (г') с(»г', (107,12) Чтобы выделить решения, содержащие только расходящиеся рассеянные волны, надо указать правило обхода полюсов, соответствующих энергии Е,.
Это удобно сделать, заменив Е комплексным значением Е«+1е. Таким образом, искомое решение будет иметь вид 4."=Ф.+(Е.+(е+ Н,) 'П~'.". КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. ХРГ Подставляя (107,!Ц в уравнение (107,8) и учитывая, что ф являются собственными функциями оператора Ое (см. (107,10)), можно написать Подставляя в это выражение (107,10а), (107,12) и Е„ = йьй9(2(ь), находим явный вид интегрального уравнения Г К(г')фвы(г')Аюдаг ~'ль Язг фд+ (г)= ф (г)+ йь(~ ), ~ "(ь 1 .,)ь ь, (107у13) где е'= (ье/(юг).
Учитывая, что -з 1' ехр(ьч(г — г')1 ь ь (2п) 1, + . ь . дд=б~ь>(г — г), а также (107,3), мы убедимся, что уравнение (107,13) тождественно совпадает с интегральным уравнением (106,8). й 108. Теория упругого рассеяния в борновском приближении то, согласно $93, в первом приближении вероятность перехода в единицу времени из состояния ф, в состояние фь с направлением импульсов.а телесном угле ь(11 определяется формулой ь(Р = — 1(ф,1У1ф,>)'ь(р, (108,3) где и еььм (Р 12яй)' (108,4) Рассеяние частиц при столкновении можно рассматривать как квантовый переход в состояниях непрерывного спектра из начального состояния, соответствующего свободному движению с импульсом р, = йй„в конечное состояние с импульсом ййь под влиянием оператора возмущения У(г), определяющего энергию взаимодействия сталкивающихся частиц.
Покажем, что вычисление вероятности такого перехода В первом приближении теории возмущений соответствует первому борновскому приближению в теории рассеяния. Если начальное состояние изображается плоской волной ф,= ехр(й,г), (108,1) нормированной на одну частицу в единице объема, а конечное состояние фь=ехр(ею), (108,2) $ ке! упРуГОе РАссеяние В БОРновском пРНБлиженин 507 — число конечных состояний в 'единице объема с направлением импульса в телесном угле дь), оь — скорость относительного движения частиц в конечном состоянии. Разделив вероятность перехода (108,3) в единицу времени на плотность потока 'падающих частиц, численно равную О,— скорости относительного движения, получим при учете (108,4) сечение рассеяния в элемент телесного угла д!1, аР на ь (Еяьд)*а 1(Фь!!'1Фа) ! Г(ьь. (108,6) Прн упругом рассеянии Оь = О и формула (108,5) переходит в формулу (106,14а), полученную в первом борновском приближении.- Учитывая явный вид волновых функпий, можно преобразовать матричный элемент перехода к виду (Фд! !г !Ф ) = ~ К(г) ехр 1ю'(«, — «ь)г)с(дг= $/(«д — «,), (108,6) где бр = й(«д — «) — импульс, переданный частицей при рассеянии.
Таким образом, матричный элемент, определяющий сечение рассеяния, является фурье-образом потенциала, соответствующим переданному импульсу при рассеянии. При упругом рассеянии 1«ь!=1«а!= «и ! «ь «а != 2«зш е, (108,7) где 6 — угол рассеяния. Следовательно, вероятность рассеяния под углом 6 связана с вероятностью передачи импульса Ьр = = 2ИЕ п(6!8). Если потенциал !г(г) сферически симметричен, то в (108,6) можно провести интегрирование по угловым переменным ЮО )г(«ь «а) = 1а а ! " )г(г)г з(п(1«ь — «, !Г)Й'. (1088) 1аь — аа 1, о Таким образом, в этом случае фурье-образ потенциала зависит только от абсолютной величины переданного импульса, и сечение упругого рассеяния принимает вид НО = "„,, $1' '(2«з(п — ) $ ГИ.
(108,8а) Если !г(г) является четной функцией от г, то (108,8) можно написать в виде !Г(«ь «) = „~ „~ )Г(г) см! ь "а1гь!г (108,86) ! «ь — аа КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (гл. Ягч Вычислим явный вид дифференциального сечения упругого рассеяния для простейших потенциалов: а) Экранированное кул онов с кое поле У (г)= ехр~ — — ).
Подставляя это значение в (1088), находим 4»а»а» г га!. 1((йь — й. И= )аь а ! + ' а Подставляя это выражение при учете (108,7) в (108,8а), получим явный вид дифференциального сечения рассеяния 2(»х»а»а» 15 о ! 4Р» 5! о (В/2) + В /г~~ ~ При го- ао экранирование отсутствует и формула (108,9) переходит в известную формулу Резерфорда — 108 9а МЗ ! 2р» 5!и» (В/2) 1 ! 2(»о» 5(п» (В/2) / где о — скорость относительного движения. Сравнивая (108,9а) с (108,9), мы видим, что экранирование кулоновского поля не сказывается иа упругом рассеянии для всех углов О ) Оо, где Оо определяется из условия 2рго з(п(Оо/2) = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
