А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Это слагаемое имеет наибольшее значение. при О = 90' (что соответствует углу 45' в лабораторной системе координат). При этом угле учет членов, соответствующих обмену, приводит к удвоению дифференцйального сечения по отношению к сечению, полученному без учета обмена. Обменный эффект является существенно квантовым эффектом.
При е- О величина Х-Р со; следовательно, последнее слагаемое в (112,5) быстро осциллирует и, усредненное в очень малом интервале углов, приводит к исчезновению обменного эффекта. При малых. скоростях относительного движения. величина ), также велика, поэтому при усреднении сечения по некоторому интервалу углов члены, соответствующие обменному эффекту, исчезают. По тем же причинам можно не учитывать обменные эффекты при малых углах рассеяния. $113. Обменные эффекты при упругом столкновении одинаковых частиц, обладающих спином Если сталкивающиеся частицы обладают спином, то состояние системы определяется функцией, зависящей от координат и спиноз.
В общем случае п(1И столкновении частиц интегралом движения является полныи момент количества движения системы. В ряде случаев можно пренебречь маловероятным изменением ориентации спина при столкновении (см. 5 121), тогда интегралами движения будут в отдельности полный спиновый момент и орбитальный момент количества движения. В этих случаях полная волновая функция Ф системы двух частиц может быть записана в виде. произведения координатной ф и спиновой функции )1. В системе центра инерции координатная функция зависит только от вектора Г, определяющего относительное движение.
Спиновая функция )((з1зз) зависит от з1 и зь определяющих ориентацию спинов обеих частиц относительно некоторого направления. Предположим, что в столкновении участвуют две одинаковые частицы со спином 1/з (электроны, протоны, некоторые ядра). Тогда суммарный спин системы либо равен О, либо равен 1.
В первом случае (синглетное спиновое состояние) координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки частиц (см. $ 72). Следовательно, координатная волновая функция будет иметь вид такой же, как функция (112,2) и сечение рассеяния 1(о;=)А(О)+А(п — 0))зс(11, если Я=О. (113,1) В триплетном спиновом состоянии, когда 3 = 1, координатная волновая функция антисимметрична, следовательно, 1г1 (Г) = е1~' — е-1А'+, ' е'А', (113,2).
л 18) — А(е —. 0) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (гл, х!Р .о34 а сечение рассеяния 1(пв =1 А (О) — А (и — О) 1в с(л), если Я =!. (11З,З) В частном случае, когда рассеяние обусловлено только кулоновскими силами, сечение рассеяния в синглетном спиновом состоянии совпадает с (112,5), а сечение рассеяния в триплетном спинозом состоянии равно 1 2 сов (А!и !я (В/2)) 1 !110 4л 12яов/ 1 в!и'(8!2) + совв(8!2) в1пв(8)2)сове(8(2) Из (113,4) следует, что при 0 = 90' (в системе центра инерции) .эффективное сечение упругого рассеяния с(пв = О. Таким образом, если рассеяние происходит на частицах с определенной ориентацией спина, то в рассеянии под углом 0 = 90' (в лаборатолп'- ной системе этому углу будет соответствовать угол 0„= 45 ) будут наблюдаться только частицы, имеющие ориентацию спина, противоположную ориентации спина частиц мишени.
Обычно рассеяние исследуется с неполяризованными пучками частиц на неполяризованных мишенях, поэтому наблюдается среднее значение эффективного сечения. Поскольку в синглетном спиновом состоянии имеется одна спиновая функция, а в триплетном состоянии — три, то среднее значение эффективного сечения будет 'равно (предполагается равновероятное осуществление каждого спинового состояния) .4(п= — сЬ + — в(а,= 1 3 4 в 4 =( — ")'~ 1 сов(А!и (яв (В/2)1 )( ~иР) !( в!пв(8/2) + сов4(8/2) в(пв(8!2)сове(8)2) )' тде хлев А в ° * 2)вов ' Хорошее согласие формулы (113,5) с экспериментальными данными было получено Вильямсом (11Ц при исследовании рассеяния электронов с энергией 20 кэВ в камере Вильсона, Перейдем теперь к исследованию общего случая рассеяния Одинаковых частиц спина з (в единицах В). силвметрия координатной функции относительного движения частиц зависит от симметрии спиновой функции системы по отношению к перестановкам спинов частиц.
Двум частицам со спином з соответствует (2з + 1)в различных спиновых состояний, которые будут отличаться значениями суммарного спина системы и его проекциями. Пользуясь правилом векторного сложения ($41), можно пока.Яать, что суммарный спин Я системы, состоящей из двух одина- % пя оъменныв эффекты пги гпгггом столкновснни члстиц вз5 ковых частиц, будет пробегать (2з+1) различных значений 3=2з, 2я — 1, 2з — 2, ..., О. (113,6) Если спиновая функция одной частицы есть ~р,, то каждому значению 3 спина всей системы будет соответствовать волновая функция Х м (1, 2) = 2', (з., з,гп,т, ~ ЯМ) ~р, „ (1) <р, (2).
(1 ц 7) Учитывая свойство симметрии (41,18) коэффициентов векторного сложения н равенство з~ = з, = з, мы убедимся, что при перестановке частиц спнновая функция тлм (1,2) изменяется по закону Хзм(1» 2)=( — 1) ~хам(2* 1). (113,8) С другой стороны, в соответствии со свойствами системы тождественных частиц ($72), полная волновая функция Ф при перестановке двух частиц должна изменяться по закону Фзм (1„2) = фзм (1, 2)Хзм(1, 2) =( 1) срэм (2 !), (113,9) т. е.
эта функция сямметрична, когда з — целое число, н анти- симметрична, когда з — нецелое число. Сравнивая (113,8)' и (113,9), мы прнходим к заключению, что фзм(1. 2)=( — 1)з фзм(2, 1). (113, 10) Итак, координатная волновая функция системы, состоящей из двух одинаковых частиц, симметрична при четном и антисиммегрнчна при нечетном полном спине системы. Следствием этой общей теоремы является то, что при рассеянии двух одинаковых частиц дифференциальное сечение рассеяния будет определяться формулами сЫ+>=! А(0)+ А(п — О) !здИ, если 3 четно, (113,11) йФ->=! А(0) — А(п — О) !зНЯ, если Я нечетно.
(!13,12) При рассеянии частиц с произвольной ориентацией спинов полный спин системы 5 не фиксируется, поэтому, если все возможные спиновые состояния равновероятны, то эффективное сечение рассеяния будет равно йт= В'(Я„) с(о4+>+ В'(Я„„) г(а~->, (1 13,13) где )Р(3~), )Р(3„,) — относительные числа спиновых состояний, соответствующих четным и нечетным значениям 5. Из (113,6) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !гл. х!у следует, что ь+ ! 2ь+!' 2ь+! ' 2ь+! ' ь+! 2ь+! ' если 3 целое, если з полуцелое; ! если з целое, (113,! 4а) 'я!'%„) = (113,146) если з полуцелое. ! Из (113,11) и (113,!2) следует, что дифференциальное сечение рассеяния не изменяется при замене й на и — О. Таким образом, общим свойством дифференциального сечения рассеяния Одинаковых частиц является его симметрия в системе центра инерции относительно угла рассеяния 0 = 90'.
й !14*. Общая теория неупругого рассеяния В предыдущих параграфах исследовалось только упругое рассеяние, при котором не изменяются внутренние состояния сталкивающихся частиц. Чтобы рассмотреть неупругие столкновения, необходимо учесть внутренние степени свободы сталкивающихся частиц. Предположим, что происходит рассеяние частицы массы !ь на сложной системе А, совокупность внутренних степеней свободы которой будем обозначать буквой $.
Если масса частицы значительно меньше массы системы А (рассеяние электрона на атоме, рассеяние нуклона на атомном ядре и т. д.), то начало координат системы центра инерции будет совпадать с центром тяжести системы А. Будем предполагать, что падающая частица не тождественна частицам, входящим в состав А, Если обозначить через г координату падающей частицы, то уравнение Шредингера, определяющее рассеяниер будет иметь вид (Е,— Н 5) + — !Р) Ч~(г, $)=)Р(г, ~) !Р(г, Ц, (114,!) где Š— полная энергия; Н($) — оператор Гамильтона, Опреде.ляющий состояния системы А; )Р(г,$) — оператор взаимодействия частицы с системой А. Если !рь(5) и еь — собственные функции и собственные значения оператора НЦ), то собственные значения и собственные функции оператора Н, = Н ($) — ' — Чь (114,2) ВЬ 2я можно записать в виде Еья= еь+— Иу' 2я (114,3) Ф = !р ($) ехр (!дг).
(! 14,4) ь ич ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ Собственные функции нормированы условием (2п) ~~)~„~ Во (9Вр'$')ехр(1В)(г — г'))БРВ)= ь = б (5 — $') б (г — г'). (114,4а) Предположим, что начальное состояние («падающая волна») определяется функцией Ф, = Фоь, = Вро (5) ехр (й,г), -' (114,5) соответствующей основному состоянию системы А и относительному движению частицы и системы А с энергией ЬЪо/(2р); при этом Е,=во+я й /2р. В конечной стадии рассеяния система А переходит в состояние Врь.
поэтому конечное состояние определяется функцией Фьь, = Врь (В) ехр (ьйьг), соответствующей энергии Еь —— еь + 1В йь((2р)„где й йь!(2р)— энергия Относительного движения после рассеяния. 'В силу закона сохранения энергии при рассеянии должно выполняться равенство Е„= Еь, из которого следует, что энергия относительного движения после рассеяния Определяется равенством ооьо ь Воз 2 Π— =Во — Бь+ ° 2р 2р * Различные конечные состояния, отличающиеся квантовыми числами Ь и, следовательно, внутренними энергиями системы А, называются канолаььи рассеяния. Канал рассеяния называется Открытым, если начальное и конечное состояния удовлетворяют условию бьа2 2р ео — еь+ ='» )О. В этом случае энергия относительного движения частиц после рассеяния положительна, т.
е. они могут удаляться на бесконечность (реальный процесс рассеяния). Канал рассеяния называется закрытыАВ, если выполняется неравенство Вьао. ео — еь + — ' < О. 2р Нас интересуют решения уравнения (!14,1), соответствующие «падающей волне» Ф, и рассеянным, уходящим от центра волнам. Для получения таких решений удобно перейти от дифференциального уравнения к соответствующему интегральному уравнению. Вычислим предварительно функцию Грина б КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ <ГЛ. Х<Р оператора левой части уравнения (114,1). По определению, эта функция должна удовлетворять уравнению (Е, — На) 6 (г$ ! г'$') = Ь (г — «') Ь ф — $').
(114,6) При этом функция Грина, соответствующая уходящим от центра волнам, определяется выражением Д+<(.ьь ! .~Ц~) (~ еь) (ьа ьа') ч~~)~~ й<ь+< (114 7) Еа — <чо+ «! ь где <+< 2 -3 ьат~ьд(ГЮ .~ь ч+<ч 2 х« Ь ~а йь = — !теь — еь + — '~. Ь2 (114,8) Малая положительная величина т< в (114,7а) определяет только правило обхода полюса, поэтому после вычисления интеграла следует переходить к пределу 2< в О.
Для открытых каналов, т. е. для состояний Ь, в которых йь > О, фУнкциЯ ГРина канала, согласно РавенствУ (см. 9 107), !1~ <(2 )-з ~ екР(<чг) <(з ехР(<"ь|г!) (1!49) ч+о а Аь — д +«< 4п!г! приводится к виду И~~+< (< $ !2'Т) = — ~~, <р~($) <р~(5') Р «!, ! . (114,10) Интегральное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (114,1), при «падающей волне» Ф, можно записать в виде Ч<а (Г~ Ьа) =Фа а да „~~ <рЬ(Ь) Х Х ~ <рь(й') Р! 21, ) В'(г'з')Ч«+<(г'$')г(з <(ьг'+ + ~) ~ дььь<(гВ !г'В') Ю(г'В') Ч<~+<(г'В ) Щ'<(ьг', (114,! 1) ь где первая сумма соответствует всем возможным открытым каналам (рассеяние и реакции); вторая сумма по Ь' соответствует всем закрытым каналам (й» < 0). Функции Грина закрытых ка- $ ня ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ налов определяются непосредственно выражением (114;7а) Знак '+ у функции Ч"<+1 указывает, что зта функция соотвегсгвует уходящим от центра рассеянным волнам.
Уравнение (114,11) часто записывают в символической форме Ч"',+'= Ф, + (Е, — Н, + )т1) 1»Чг',+', (114,11а) предложенной Липпманом и Швингером (112). Чтобы определить амплитуду рассеяния, надо найти асимптотическое значение (114,11) на больших расстояниях от центра, когда вклад в Ч", '(г, $) дают только открытые каналы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
