А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Как было показано выше, при рассеянии частиц малой энергии в рассеянии участвуют только з-волны (! =0) н дифференциальное сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния мп2 о (! 09,26) Если в рассеянии участвуют волны с несколькими значениями 1, то, согласно (109,11), дифференциальное сечение рассеяния будет определяться интерференцией волн с различными значениями /. Например, если в рассеянии участвуют волны с 1= 0 и /=1, то г/а= —,(яптбь+ ба!пб,яп6, соз(б — Ь) сов О+ 9япэб, созтО!ай. 1 Следовательно, интерференция рассеянных з- и р-волн приводит к нарушению симметрии рассеяния вперед и назад по отношению к углу 90', которая имелась бы при рассеянии одних только з- или р-волн.
Если рассеяние' характеризуется, небольшим числом отличных от нуля фазовых смещений, то, определяя дифференциальное сечение рассеяния как функцию угла О, можно с помощью (109,1!) вычислить фазовые смещения. Такая обработка экспериментальных данных носит название фазового анализа сечений рассеяния.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. хш 616 Задачей теории рассеяния является вычисление фазовых смещений или амплитуды рассеяния по заданной потенциальной энергии взаимодействия !г(г). В ряде случаев (например, в ядерной физике) приходится решать обратную задачу — определения вида потенциала по измеренным значениям фазовых смещений. Чем большее число фазовых смещений известно, тем большие сведения можно получить о характере )г(г). й 110*. Упругое рассеяние медленных частиц Как было показано в предыдущем параграфе, рассеяние медленных частиц (Ы «'1) определяется уравнением (,~, + й') РА(г) = 2рР (г) й г (г) (! 10, 1) с граничным условием А! (0)=0 (! 10,2) где а 2ф'о Ко = — к! —.
К =й +Ко (! 10,4а) Уравнения (110,4) удовлетворяются волновой функцией !Ам (г) = С, з!пКг. (110,5) Поскольку нас интересует только фазовое смещение, то вместо приравнивания волновых функций и их первых производных достаточно приравнять при г = с( логарифмические производные — функций (110,3) и (110,5), Таким образом, получаем 1 д11 Йс(д(Ы+ба)=К С)й(КТ() ' (110 6) при г = О, и асимптотической формой 1са (г) = С ейп (йг + бв) (!! О,З) на больших расстояниях. Прежде чем исследовать общее решение этого уравнения, рассмотрим простейшие случаи.
а) Рассеяние на. сферической прямоугольной потенциальной яме — (га если г ~ (г(, О, если г)Ы, соответствующей притяжению. Решение (110,3) удовлетворяет уравнению (110,1) для всех значений г) д. Внутри ямы уравнение (!10,1) принимает вид ~ †, + Кз) !ам (г) = О, )йч (0) = О, (! 10,4) о но! УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ Если ввести обозначение Кс(п(КД) — = и (110,7) для логарифмической производной волновой функции внутренней области при Г = о(, то из (110,6) следует и» вЂ” ге (и) 1пб,=;+Ао„(ае). (1!0,8) или бо — — агс 1д (йР) — Ы.
оРазовое смещение бо, опРеделЯемое нз (1!0,8), ЯвлЯетсЯ многозначной функцией, и нас интересуют только главные значения, лежащие в интервале — н/2 ( бо ~ н/2. При малых энергиях относительного движения 1дМ = Ы+ + — + ..., поэтому (110,8) принимает более простой внд !оо)о 1 за 1 !йб - 1+„,„з' (110,8а) При выполнении неравенств Ы«'! и йоРГ1 «1 значение 1Н'бо еще более упрощается: !дб, й(Р— О=й(~ "~~"1 — !). (! !09) В этом случае интегральное сечение рассеяния = — „.1~'8,=4 (Р- 1)'=4 !'!'! — „) . (!!О,!О) Г тк !Кл) т| При малых энергиях относительного движения и глубоких потенциальных ямах выполняется приближенное равенство К =й + Ко ~ Ко (110,11) Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния на глубокой сферической прямоугольной яме при'малых энергиях относительного движения будет выражаться формулой (П0,12) Из (110,9) и(110,10) следует, что прн выполнении равенства 18 (КГ() = К~2 (! 10,!8) фазовое смещение и эффективное сечение рассеяния равны нулю.
Таким образом, при некоторых значенинх глубины и размеров потенциальной ямы последняя не приводит к рассеянию а-волн, энергия которых такова, что выполняется равенство (110,13). Это явление получило название эффекта 1оамзауера. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ сгл. х!у функции и затем в полученном выражении заменить г на — г Следовательно, а)! !=Се~аР(!А, 1, — !йт)), (1!1,17) где т! = г + г.
Легко убедиться, что решение (111,!7) может быть получено из уравнения (!11,4) путем подстановки фс ' 5, а)) = ехр ( — 1й ) Ф (т)). Если желательно выделить парциальное рассеяние кулоновским полем частицы в состоянии с определенным орбитальным моментом, то надо подставить в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом Р'(г) = ~ ХсЛяез1г волновую функцию (109,4), тогда радиальная функция )7с(г) будет удовлетворять уравнению ~с! ) +~йа — У(г) — (, ))К,(г)=0, (111,18) где' Б(г) = 2ЙА!г; )с определено выражением (111,7). Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию )7с(0) = О, имеет вид ! — )7! (г) = Г ! + +! )) (2йг)сем'Р(1Л+1 — $; 21+2; — 2!йг), (21+ !)! (111,19) где Г(а; Ь; х) — вырожденная гипергеометрическая функция (см.
мат. дополнение, (Г,!1)). Решение (111,19) при йг» 1 принимает асимптотический вид ййс(г)=)аз!п(йг — — +Ь! Х!п2йг), (1!1 20) При этом фаза парциального кулоновского рассеяния определяется равенством ГО+ с+ А) г()+ ! — сх) Из (111,!9) следует, что квадрат волновой функции в з-состоянии в точке г ж 0 определяется выражением — = е "А) Г (1 + 1А) г' = йа(г) )а 2ВХ е~~ — 1 Для потенциала отталкивания и малых скоростей Х )) 1, поэтому )а)а!з ж 2И)е-з~.. Мнонситель ехр ( — 2ИХ) измеряет проникновение частицы в кулоновский барьер и называется множителем проникновения. ЭФФЕКТЫ ОБМЕНА ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 5 ня й 112. Эффекты обмена при упругом рассеянии одинаковых частиц без спина В предыдущих параграфах рассматривались столкновения неодинаковых частиц, не имеющих спина.
Рассмотрим теперь процесс упругого столкновения одинаковых частиц без спина. Ктаким частицам относятся, например, альфа-частицы, ядра атомов С1т, О", атомы инертных газов и др. При упругом рассеянии этих частиц их внутреннее состояние не меняется, поэтому состояние каждой частицы определяется указанием только ее положения в пространстве, Как было показано в $ 71, система, состоящая из двух частиц, не имеющих спина, может описываться только симметричными функциями по отношению к перестановке частиц. 'Это свойство симл1етрии волновой функции должно быть учтено и в теории рассеяния одинаковых частиц. Учет тождественности частиц приводит в теории рассеяния к новым эффектам, которые Принято называть эффектами обмена.
В системе центра инерции относительное движение двух частиц определяется радиусом-вектором г = г, — гь где г1 и гэ †координа каждой частицы в отдельности. Если начальное состояние определяется относительным движением частиц вдоль оси е, то волновая функция системы для больших г без учета тождественности частиц имеет вид ф (г) = е'А'+ — е'~'. (112, 1) В системе, состоящей из двух одинаковых бесспиновых частиц, функцию (!12,1) следует симметризовать. Учтем, что при перестановке двух частиц вектор г меняет знак.
Следовательно, в сферической системе координат 1г~ остается неизменным, а угол й переходит в и — О. Поэтому симметричная волновая функция будет иметь внд т)1,(г)=Ж(е1~ +е '"'+ ! ! ! е1А'), (112,2) Г где Й определяется из условия нормировки волновой функции. Первые два слагаемых в (!12,2) определяют начальное движение обеих частиц в системе центра инерции: одна частица движется вдоль положительного направления оси е, а другая ей навстречу. При 1т' = 1 функция (112,2) нормирована так, что плотность потока, соответствующего движению каждой сталкивающейся частицы, равна по абсолютной величине о = Эй/!1, т.
е. скорости относительного их движения (11 — приведенная масса). Второе слагаемое в (112,2) соответствует рассеянной 632 [ГЛ. Х!Р КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ волне. При рассеянии на углы О и л — О, как видно из рис. 22, имеются рассеянные частицы в направлении ОВ; поэтому число частиц, рассеянных в одну секунду в элемент телесного угла РИ в направлении О, равно /„т:2!И= — ! А(О)+ А (и — О) (тсИ. и Следовательно, эффективное сечение упругого рассеяния, 'при котором одна из частиц отклоняется в направлении телесного угла еИ, равно с(о=! А(0)+А(п — О) (теИ.
(112,3) Без учета симметрии волновой функции эффективное.сечение рассеяния одной частицы в направлении телесного угла СИ Рис. 22. Два возможных рассеяяия одинавонмх частиц. иогда расееанные частицы летят в нанравлеини ОА и ОВ. равнялось бы просто сумме сечений рассеяния под углом О и 22 — О, т. е. с(о'= Ц А (О) (2+1 А (и — О) )2) СК2. (112,4) Разность сечений (112,3) и (112,4) обусловлена обменным эффектом, т. е. корреляцией в движении частиц, возникаюшей йз-за симметрии состояния по отношению к операции перестановки частиц.
Применим полученный результат к случаю кулоновского рассеяния (например, рассеяние а-частицы на а-частице). Учитывая явный вид амплитуды кулоновского рассеяния (111,10), находим ! . 2 соя [А !и 2кт (в/2)1 ), 2)гнт / 1 а!и' (8/2) + сгж' (Е/2) з)и (О/2) созе (О/2) 1 ' "=( — ")'~ где Х = аахен/(йо). Эта формула впервые была получена Моттом, поэтому упругое рассеяние одинаковых бесспиновых частиц, обусловленное кулоновским взаимодействием, называется моттовским рассеянием. Последнее слагаемое в (112,5) обусловлено $ ИЩ ОБМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УПРУГОМ СТОЛКИОВЕНИИ ЧАСТИЦ 5З3 эффектом обмена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
