А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Сумма косинусов в подынтегральнсм выражении (32.27) ве изменяется, если поменять местами точку наблншения и точечный источник. Это означает, чзс то 1ечнып источник поысцЬонный о Р1, Ласт м точит Р~ такой жс эффект, кок и эффект, создаваемый а точке Р 1Очечпьом истОчнйкОм ровной ипзспсне1юсгв, пОысщепнььч о Ро. Эзо утверждение составляет содержание теоремы взаимности Гол ьм1 опьпа. Вторичные псточпнии. Перепишсчс формулу (32.27) в виде 1, Ф(Р ) = ( Ф'(Р,') е, (Б, Ва 157 аа1ййлу фйрнуиы нйфрйкййй Фр*юав — Ииржсфй (32.28) Ф'(Р,) = — А 4 г (сов(1» г1а)+сов(в го1)) (3229) ° Ф ел Л 1"1 ОС 15В Гасйелйжайж систеы кйерлиаат й еиесиестйх истйаайай й ийфайй- ййевиео картейая ф Г1рвнененне форнупы Грина нв дает рв1менмл аадачм о волноаон' пола, а даат мнтагралйнае ураанвннв дла определений аолноаогй пайп.
Применимости приближенна Кмригйфа обусловпй. ваатсп нйпостйю дпийы опатовых волн па сразив. йию слинванынн райнера. нн ймрана и отворотив а амрамак. О При юких условиях можно йринемктй формулу Грина! Каков фиаическнй смысл услоама мялучекмя! Каковы условия применимости приближенна Френеля1 В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля поле в точке Ро создается вторичными источниками на отверстии Яо, интенсивность которых характеризуется формулой (32.29). Видно, что отличие этих источников от волны А ехр(11сг1з)/г1а заключается в следующем: 1) амплитуда вторичной волны отличается от амплитуды падающей волны множителем Щбя); 2) зависимость амплитуды вторичной волны от направления распространения дастся множителем сов(в, Ьа) + сов(4 Во1), который отличается от множителя, предлагавшегося Френелем; 3) фаза вторичного источника отличается от фазы падающей волны на х/2 ввиду наличия множителя — 1 Тем самым разрешается трудность с фазой волны, указанная в коппс 8 31 в свящ с методом зон Френеля., Таким образом, в приближении Кирхгофа в рамках электромагнитной теории свеи удается преодолеть трудцйсти метода зон Френеля и ответить на вопросы, которые теория Френеля была не в состоянии разрешить (амплитуда вторичных источников, характер зависимости амплитуды излучения вторичных источников от направления, фаза).
Приближение Френель В типичных условиях дифракционная карти1вь наблюдается в плоскости, параллельной экрану с отверстиями. Плоскость, в которой наблюдается дифракционная картина, будем называть плоскостью лн1)1ракпноююй корзины, а другую плоскость — плоскосгыс источников. В каждой плоскости. введем прямоугольные декартовы системы координат, оси Х, У которых параллельны, а оси У совпадают, причем положительное направление оси У согласуется по обычному правилу с направлением осей Х, У(рис. 158). Вдиничный вектор нормали (см. (32.27)) направлен в сторону, из которой приходит излучение. Функция едал /гм описывает волну, движупзункя к точке Р,.
Обозначим (х, у) координаты точки Ро в плоскости дифракционной картины, (х', у') — координаты точки Р, интегрирования в плоскости источников, дб' = дх'ду' — элемент эта плотлйри нн поверхности источникои, а е 'р (л', у') (е "™ /г1 з щчтшнтуду истОчникОВ. Тогтр (сьь ' (32.27)1 (32.3О) 'Р(х у) 4 з),'Р(х', У) —, (саз (н. т1») + соз(в газ))ба. — т», е'"" л Л (32.3П (32.32) Г— ! — расстояние мех~щ~ плоскостуми. Член с косинусами в полынтегральнам выраженни является медленно меняютдейсл функцией ло сравиенюо с бьютро оспиллирующим множителем ехр(Щ. Он не оказывает практического влияния ла картину интерференции, не изменяя ее вилнмости, и лишь слабо влияет на среднюю яркость.
Кроме того, в большинстве практически важных случаев углы (ц ги) н (К те~) изменяютса в небольших пределах вблрзи нулевого значениа В этом предположению называемом приближением малых углов, без сутцественного искажения результатов можно косинусы принять равнымн единице: стиМ, ггх)=1, соз(ть тю) 1 (32.33) и представить формулу (32.31) в вина удобном для применений: (32.34) Подстввляя разложение (32,3б) в (32,34), находим А ею, ж((»») +(г У)) Ф(х,у) = — — 1 Ч'(х'.У)ехр~ эят 21 ~сл ОУ (32 37) Вынос роз(п.
г)з) + саз (ть те> из-пап знака интеграла с использтниаием равенств (32.33) возможен благодаря тому. Что эю фунюшя мецчепж очещ, медленно де сраввеитяс Р быстро псциллйрующвм эксловеициальным множвтелем ехр(Щ строго говоря, при вьшосе этой функции эа знак интетралл необходимо заменить ее некоторым значением по теореме о среднем. Однако точное знатение этой величины несущестненно, поскольку, буду ы множителем, она тп ОКНЗЬШрсе Впиявия На ВидиыаетЬ Ивтсрфсрснцнаииай Картним И Итраст РОЛЬ Маещтабиата .множителя Расчет точного значения интенсивностей в днфференциалавсй картине в подавллтощем больпшнстве случаев ле представляет интереса Поэтому целесообрззнр ю загромождать формулы несущественными множителями и воспользоваться равенствами (32.33). Дальнейшее упрощение формулы производится тюске в предположеннн малых углов„которое математически формулируется в вила неравенств !х — л')ту«п 1.
)у — у'!Ф с 1, (32.35) Прн рыполненви условий (32.3рт вырвжентп (32.32) можно разложить в рлп ло (32.35) и ограинчлтыж членюнн второго поряаха: г=т(1+(х — ')зтт»+( — у')зтт»1'з =1+(х ~) +(г (32.3б) 21 й 33 Днфрвнянв Фрвунгофсрв Рассматривается дифракниа е даиьиеа зона и обсундястса критерия дадьвости Изучается иифракпиоинея рс»детка и обеундается днфракпна иа псрнодичсскик структурак * и неоивородностя» среды.
Область дифраища Фраунгофера Представляя показатель экспоненты в (32.37) в лиле 1ЬИх — х')'+(у — у')») Ру(ха+у») 1Ь(х'»+у') Ф(хх'+уу') 21. 21 21 (33.1) (33,2) распределение ннтспсивносги в дифраяциснной картине определяется хвалратом модуля Ф(х, у). Следовательно, эхспонешлщльиые ьшожнтели перед иитеграчом в (322) нвхахого влиящвз на раслределсэле интенсивности в дифраяционной яартивв не одазывают, посхольху по молулю раввы ещпппга Интегрирование в (33.2) подразумевается по Всей ллОщаДи У плосхости, учитывазс что»Р (х', у') = О в точяах непрозрачных частей экрана Другими,словами, интегрирование по х' и у' производится в пределах ст — со до со. Поэтому Ф(х, у) с точносцяд до множителей, один нз которых фвзорый, зависящий от (т, у) является образом Фурье-фунхции: ър(х,у)схр[1й(х а+у з)1(21))... (33.3) Нзучсиис дяфрщщии в ьщтсмвгичесхом смысле сволится х применению теории преобразований Фурье.
Наличие эяспоненцнального множителя в (33.3) несхольиз усложняет выполнение преобразования Фурье и тем самым затрудняет анализ дифрахцяонной картины Простейший случай дифрахции осуществляется прн устранении зт1»го множнтеня Если отверстие достаточно мало, а расстояние до блосяоспг лифрахционнсй картины достаточно велико (1- со), то ехр[йг(х'з+у'а)1(21)) -е 1. (33.4) Днфрахция пря выполнении этого условия называется фраунгоферовойг влн просто лифрвяцней Фраунгофера. Одиахо не тодьхо при бесхонечных 1 можно пренебречь зяспоненциальным членом в (33.3).
Достаточно, чтобы этот член не осциллировал, т, е. пояазатель эяспоненты не превосходил где мелленно изменяющвяса величина гм1 в знаменателе вынесена из-лед знака интеграда, 21р посхольху она не охазывает влияния на вилнмость интерфереишюнной хартищг, а лищь очень слабо меняет ее обццчо ярхость. РЗ В больщннсше практически важных случаев для описании дифрахции достаточно пользовапься приближением (32.37), называемым приближением Френеля. Дифраяцвь рассматриваемая в этом приближении, называатся дяфракший Френеля.
Прн определенных условиях возможны двльнейшее упрощение формулы (32.37) и переход ь лриближенщо Фраунгофера. кхо яу2 или даже был и/2. например, соз (я/4) = ип (я/4) = 0,7 и в качестве критерия воэможности — пренебрежения влиянием экспоненциального множителя в (33.3) на дифракцию можно привязь, 4 например, условие (33.5) 21 4 21 =х +у (33.6) — максималыюе расстояние от центра до края отверстия, на котором происходит дифракция.
Иэ (33.6) заключаем, что п(и расстояниях / ) /мнн = 2йр'/я = 4р "/Х (33.7) пвблюпвстсп дпфрвкюж Фрвупгофсра Друнпмп словами, область дкфрвкпнв Фраупгофсрв просэ првется от бескопечпосэп ло пскотороно мвпвмвпьпнпо рвсстовппв (см, (33.7)]. Например, при й- 0,5 мкм, р' =1 см = 10 ем находим /,„800 м, т, е днфрвкцню Фрвунгофера можно наблюдать начиная с очень больших расстояний.
Однако уже при р' = 1 мм = 10 ' м Йн 8 м, что ближе'к лабораторным условиям. При р' =0,1 мм получается / „=8 ам и дифрвкцня Фраунгофера может изучаться совсем в небольшой области пространства. Множитель перед интегралом в (332) не оказывает влияния на распределение интенсивности в дифракционной картина Для упрощения написания формул дифракции Фраунгофера целесообразэю приравнять его к единице и не выписывать.
Тогла формула (33.2) принимает вид (33.8) При таком написании формулы следует помнить, чзо она может служить дпа вычисления относительных, а не абсолютных величин интенсивностей в дифращиониой картина Кроме того, в ней Ф и Ч' имеют различные размерности. Например если Ф вЂ” амплитуда, то.'Р имеет размерносгь амплитуды, деленнсй щ площадь, поскольку левая и правы части (33.8) имеют одинаковую размерность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
